【正文】 aph series. Cambridge, MIT Press (1963). Gallager proposed a regular LDPC code by random construction. 疎なパリティ検査行列とは 11 ?「受信語」「通信路の誤り率」「パリティ検査行列」「反復(fù)回數(shù)」をパラメータに持つ復(fù)號法。 ?本質(zhì)的に「足し算」「掛け算」を繰り返して使うだけ。 LDPC符號 SumProduct 復(fù)號とは Loop : 非ゼロ成分を縦橫交互に動き、 何歩で戻れるか。 12 LDPC符號 SumProduct 復(fù)號をもう尐し [ ] サイズｋ ｎの０１行列は、 （ｋ＋ｎ）個の頂點からなる２部グラフと同一視される。 どのようにすれば、ループが大きくなるか。 ＢＬＥＲが小さく出來る。 LDPC符號の構(gòu)成 非正則 LDPC 符號 正則ではないＬＤＰＣ符號 非正則にすることで、どのようなメリットがあるか。 ＢＥＲが小さくできる。 群の各元を頂點とし、 群の二つの元の差が生成元であれば頂點を結(jié)ぶ。 [ ] サイズｋ ｎの０１行列は、 （ｋ＋ｎ）個の頂點からなる２部グラフと同一視される。 19 量子情報理論 古典情報理論と量子情報理論 20 量子情報理論 古典情報 １ビットを表す記號 ０もしくは１ 古典情報理論と量子情報理論 量子情報 １量子ビットを表す記號 c0|0 + c1|1 ただし、 |0 = , |1 = , |c0|2 + |c1|2 =1 つまり、 c0|0 + c1|1= 1 0 0 1 ( ) ( ) ( ) c0 c1 |0 |1 「スカラー倍は同一視」されるという性質(zhì)も持つ。 ベクトルを基底に射影することで観測結(jié)果とその確率が直感的にわかる。 誤り訂正をする際、情報を見ると情報が壊れる。 非複製定理 知らない量子狀態(tài)を正確に複製できない。 操作の公理 量子回路はユニタリ変換として記述される。 証明） あるユニタリ変換 Uで複製をしようとする。 U|0|0 = |0|0, U|1|0= |1|1ができるとする。 複數(shù)量子ビットの記述 観測 知らない量子狀態(tài)を正確に知りえない 我々が可能な観測： V=V0+V1 . V0と V1は直交する空間 a=b+c （ b in V1, c in V2） 観測結(jié)果 0 である確率 |b| 同時に狀態(tài)は bに遷移 1 である確率 |c| 同時の狀態(tài)は cに遷移 観測に用いる空間が１次元のとき、その基底で観測すると言われる。 24 量子情報理論 古典誤り訂正符號に話を戻す。 例） ０１０であれば、０００だと推測ができる。 実は、既に良い例を知っている！ 誤り訂正に情報自身を観測する必要があるか？ 25 量子情報理論 パリティ検査行列が ０００１１１１ ０１１００１１ １０１０１０１ であるとする。シンドロームが ０ １ １ ならば、（左から）３ビット目にエラー発生。 量子誤り訂正符號の研究では、そのような「符號の構(gòu)成」「復(fù)號法」「性質(zhì)」を探索する。 ただし、 |x = ← (x+1)番目だけ１ あとは０。 複數(shù)の量子狀態(tài)を記述 0 0 . . 1 . 0 () 27 シンドロームを求めよ CNOT回路と呼ばれる量子回路（ユニタリ変換）を 用いればシンドロームを計ることができる。 ヒント： ２量子ビットであるから、 行列のサイズは４ ４である。 シンドロームの上のビットは、 符號語の２ビット目と３ビット目の和である。 これらの考察に注意すれば、 CNOT回路により実現(xiàn)可能。 この時、シンドロームは２ビット。符號化された ３量子ビットからなる狀態(tài) |cに対し、 ２量子ビット加えた |c|0|0を用意。 ５量子ビット目も同様。 対応する古典符號は０００と１１１。 １量子ビット目にビット反転が起きたとすると、 a|100 + b|011 シンドローム用に２つの量子ビットをつけ加え、 CNOTによりシンドロームを求めると ( a|100 + b|011)|01 後ろの２量子ビットを観測すると、 誤り位置がわかる。 量子誤りとは ( ) 量子符號化の回路もユニタリ変換で書かれることに注意。 つまり、ビット反転以外の誤りも発生する。 実際、 0 1 1 0 という形の行列として書ける。 1 0 0 1 ビット反転と位相反転 ユニタリ変換全體が誤りとして発生するため誤りの種類は無限に存在する。 X=( ) Z=( ) 33 量子誤り |0+|1 ? |000 + |111 と符號化される。 位相反転 問： 実際にシンドロームを計算せよ。 古典（線形）符號の條件式 誤り eが検出可能 ? eが符號語ではない。 內(nèi)積の條件は量子ならではという印象を受ける。 つまり、 C2?C1 を用いて、量子符號を構(gòu)成する。 ビット誤り訂正には C1の役割が大きく、 位相誤り訂正には C2⊥ の役割が大きい。 アダマール回路 Hとは以下の行列で書かれる。 ビット誤りを X、位相誤りを Z、 アダマール回路を Hとしたとき HH=XX=ZZ=単位行列、 HXH=Z、 などが成り立つ。 38 ＣＳＳ符號 CSS符號の符號語は 符號語 c in C1に対し、 Σ|c + d d : C2 と記述される。 この符號語の各量子ビットにアダマール回路を 操作させる。 雙対符號とアダマール回路 39 ＣＳＳ符號 以上からアダマール回路を経由することで C1 ? C2⊥ ビット誤り ? 位相誤り と対応できることがわかった。 これは、上の矢印が ?であることだけでなく、 位相誤り訂正の後に、 C1に戻せること、 つまり、符號語に戻せることを意味する。 パリティ検査観測は、観測を表す行の列で書かれる。 Ｉ，Ｘ，Ｚ，Ｙ（＝ＸＹ）で構(gòu)成された行の 固有値は１もしくは １である。 特に、パリティ検査観測の各行は、 互いに可換な行列とする。 ○ ○ ○ ○ ○ ○ 42 スタビライザ符號 パリティ検査行列の一般化 古典誤り訂正符號のパリティ検査行列は ＩとＺのみからなるパリティ検査観測とみなせる。 ０をＩと置き、１をＺと置けば、自然な対応が得られる。 実際、 Ｃ１のパリティ検査行列をＨ１とし、 Ｃ２ ⊥ のパリティ検査行列をＨ２とするとき、 Ｍ１をＨ１の０ ?Ｉ、１ ?Ｚ Ｍ２をＨ２の０ ?Ｉ、１ ?Ｘ と置くことにより、 ＣＳＳ符號のパリティ検査観測は Ｍ１ Ｍ２ と表せる。 とくに、ＣＳＳ符號の元になる古典符號の対が構(gòu)成できれば、 量子技術(shù)を用いず、古典符號として実裝するだけで、 量子暗號に効果を與えられる。 １ビットの情報を符號化し、１誤り訂正可能と するためには符號長ｎは幾ら必要か？ 古典符號では、３ビットであった。 スタビライザでは５量子ビットで済む。（量子シングルトン限界） それぞれの応用 45 正則 LDPC符號を代數(shù)的組合せ論により構(gòu)成、いわゆる Cayley グラフを用いる。 このグラフの色を、 パリティ検査観測のＺとＸに対応させる。 ＬＤＰＣスタビライザ符號 * *