【正文】 n?Ω |b |a (n+1)?Ω 單模輻射場與二能級原子構(gòu)成的系統(tǒng) ω0=(EaEb)/?= ωaωb |n |n+1 42 對于由單模輻射場與一個二能級原子構(gòu)成的相互作用系統(tǒng)，上節(jié)里，我們已經(jīng)在相互作用圖像下，給出了系統(tǒng)態(tài)矢的表達(dá)式()和系統(tǒng) Hamiltonian算符中的 相互作用項表達(dá)式 () ，即有 （假定光場的初始光子數(shù)為 n或者 (n+1)） 00? ?af i ( ) i ( )? ? ? ? ?( ) [ ] ( 2. 20 )eeI ttH t g a a? ? ? ??? ? ? ???, , 1 (2( ) ( ) , ( ) , 1 .1 8 )Ia n b nt C t a n C t b n? ?? ? ?0 ( )ab? ? ??? 系統(tǒng)狀態(tài)隨時間演化的方程 43 在相互作用圖像下，系統(tǒng)態(tài)矢隨時間的演化，是由系統(tǒng)總能量算符中的相互作用項推動的，即有以下方程 af?i ( ) ( 3 . 1( ) ) I I It H tt??? ??將 ()、 ()和 ()式代入上式，再利用定態(tài)能量算符本征態(tài)的正交歸一關(guān)系，可以求得（書上 ()和 ()）。 狀態(tài)演化方程的幾種解 使用迭代法求出 Ca, n (t)和 Cb, n+1(t)的各階近似解，也可以求出它們的強(qiáng)信號解，從而確定系統(tǒng)處于 態(tài) |a, n和 |b, n+1上的幾率 。 在 t＞ 0時刻，由于光場與原子之間的相互作用，原子有一定的幾率躍遷到上能級而光場相應(yīng)減少一個光子，即代表該過程的幾率振幅 Ca, n (t)≠0 for t＞ 0. 46 為了具體地求出 t＞ 0時 的幾率振幅 Ca, n (t)，對 ()式的第一式積分，取一階微擾近似，有 , , 1 00( 1 ) 0,0,1( ) 1( ) i 1 d ( ) e x p [ i ( ) ]e x p [ i ( ) ] 1( ) 1ta n b nanbnCtC t g n t C t ttC t g n??????????? ? ?? ? ? ? ?? ? ??????? ? ???( 一 階 近 似 )系統(tǒng)從 |b, n+1 態(tài)躍遷到 |a, n態(tài) 的幾率為 22( 1 ) 2 0, 20s in [ (( ) 2 ]( ) 4 ( ) 3() )antC t g n ????????47 ?系統(tǒng)受激吸收的幾率正比于光場的初始光子數(shù) ( n+1)，因此若初始光子數(shù)為零，原子就不會從下能級躍遷到上能級 ?共振吸收時， Ω=ω0，幾率最大。 50 ?初始光場的光子數(shù)相同的情況下，同一系統(tǒng)的受激發(fā)射幾率與受激吸收幾率相同，都是正比于初始光場的光子數(shù) ?自發(fā)發(fā)射幾率等于一個光子引發(fā)的受激發(fā)射幾率。而經(jīng)典電磁場不存在零點能，不能自然地解釋自發(fā)發(fā)射 ?共振發(fā)射時， Ω=ω0，所有躍遷過程幾率最大。 所有模式 （ 頻率 ） 上總的自發(fā)發(fā)射幾率 ， 等于對各個模式上的自發(fā)發(fā)射幾率求和（ 頻率連續(xù)分布時 ， 對應(yīng)連續(xù)求和 ， 即積分 ） 。考慮到上式第三個等號右端積分的下限通常滿足 ω0t/21，為方便令 ω0t/2=∞ ，且利用公式 2s in( ) d πx xx??????54 22 0s p , t o t a l 32 π( 3 . 6 )VP g tc??最后求得所有模式上總的自發(fā)發(fā)射幾率為 把 2 2 20 0 0( ) sin , g D E k z E V????代入 ()式，對空間求平均（相當(dāng)于用 1/2代替 sin2kz），并且取近共振近似 Ω=ω0，得到 2 3 3sp ,to ta l 0 0 ( )π P D t c???55 （ 個人體會：在初始時刻 t≈ 0， ω0t/2 ≈ 0，則得到的結(jié)果只有 ()()式結(jié)果的一半 ） 2 3 3sp 0 0 π ( )W D c???單位時間內(nèi)的總自發(fā)發(fā)射幾率（即自發(fā)發(fā)射速率）為 56 4. 拉比強(qiáng)信號解 前面為了計算受激發(fā)射和受激吸收幾率，在微擾近似下求解 ()式，這種近似只適用于相互作用很微弱的情形。下面就用非微擾方法求拉比強(qiáng)信號解 , 0 , 1, 1 0 ,( ) i 1 e xp[ i ( ) ] ( )( ( ) i 1 e xp[ i ()) ] ( )a n b nb n a nC t g n t C tC t g n t C t??????? ? ? ? ? ???? ? ? ???57 對 ()式再次對時間求導(dǎo)，并且以原來的 ()式代入，可以得到 2, 0 , ,2, 1 0 , 1 , 1( ) i ( ) ( ) ( 1 ) ( )( ) i ( ) ( ) (( )1 ) ( )a n a n a nb n b n b nC t C t g n C tC t C t g n C t????? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???()式是兩個常系數(shù)齊次微分方程，其特征方程是： s2+ps+q=0，對于第一個方程，p=i(Ωω0)，對于第二個方程， p=i(Ωω0)；對于兩個方程都有 q=g2(n+1)。例如，把 ()式代入 ()式的第一個方程，即 , 1 0 ,i( ) e x p [ i ( ) ] ( )1b n a nC t t C tgn??? ???60 可得 0,10e x p [ i ( ) 2 ]( ) [ i ( c o s sin )1 ( ) ( si n c os ) 2]bntC t x A x t B x tgnA x t B x t?????????? ? ?這樣，我們只需要系數(shù) A和 B來表達(dá)解 Ca, n (t)和 Cb, n+1 (t)。當(dāng)輻射場與原子共振時， Ω=ω0，上述解化簡為 61 ,00,10,1( ) [ si n c os ] e xp[ i ( ) 2]e xp[ i ( ) 2]( ) [ i ( c os si n )1 ( ) ( si n c os ) 2]( ) si n c os1( ) [ i ( c os si n ) ]1anbnanbnC t A x t B x t ttC t x A x t B x tgnA x t B x tC t A x t B x tC t x A x t B x tgn????????? ? ? ? ??????????? ? ?????????????220( ) 4 ( 1 ) 2 ( 1 )x g n x g n??? ? ? ? ? ??于是有 62 1. 假設(shè)系統(tǒng)初始時刻 t=0處于下能級、光場有 (n+1)個光子，即 22, , 1( 0 ) 0 , ( 0 ) 1 0 , 1a n b nC C B A? ??? ? ?,1( ) si n( 1 ) c os( 1 )( ) i c os( 1 ) i si n( 1 )( )anbnC t A g n t B g n tC t A g n t B g n t?? ? ? ? ???? ? ? ???于是在任意時刻 t時，有 2 2,2 2,1 ,1( ) si n ( 1 )( ) si n( 1 )( ) i c os( 1 ) ( ) c os ( 1 )ananbn bnC t g n tC t g n tC t g n t C t g n t???? ??????????? ??????63 2. 假設(shè)系統(tǒng)初始時刻 t=0處于上能級、光場有n+1個光子，同理有 22 2,22 2, 1 , 1( 0) 1 ( ) c os ( 1 )( 0) 0 ( ) si n ( 1 )a n a nb n b nC C t g n tC C t g n t???? ? ? ??????? ? ? ????結(jié)論：在強(qiáng)信號作用下，當(dāng)輻射場與原子發(fā)生共振 Ω=ω0時 ，原子總是在上下兩個能級之間不斷地反復(fù)躍遷，躍遷的頻率正比于光場數(shù)的平方根，即輻射場越強(qiáng)，狀態(tài)的反轉(zhuǎn)越快。為此需要對激光器建立一個簡化的等效模型 65 66 輻射場 原子系統(tǒng) 損耗機(jī)制 泵浦過程 原子與場相互作用 激光系統(tǒng) 環(huán)境 67 ?假定場為單模輻射場 ?假定原子是二能級的且是靜止的 ?假定場的振蕩頻率等于原子的中心頻率 ?把激光器中的輻射場作為研究對象，而把其他的一切看作是對場產(chǎn)生影響的背景條件（稱作“庫”），把庫對場產(chǎn)生的影響歸結(jié)為兩類：增益和損耗。 單模激光場 增益飽和非線性 ， 近似到四級微擾 激活原子 損耗原子 |b |a 增益 損耗 線性損耗，近似到二級微擾 激光器的全量子理論模型 69 假設(shè)原子與輻射場在 t=t0時刻開始發(fā)生耦合，由原子和輻射場構(gòu)成的系統(tǒng)的密度算符，滿足 Schr246。dinger圖像下，原子與輻射場構(gòu)成的系統(tǒng)其總 Hamiltonian算符滿足 ()式，即 ? ?0 a f a f? ? ?0? ? ? ? ? ? ? ?, ( )? ? ? ? ? ? ?( 1 2 )S S S SSabH H H H g a aH a a??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ???70 將 Schr246。 71 a f a f 0 a f 1 a f 1 1a f 1 a f 0 a f 2 a f 2 20101?? ? ?( ) ( ) [ ( ) , ( ) ] di1?? ? ?( ) ( ) [ ( )(, ( ) ] di5 .2 )I I I II I I Ittttt t H t t tt t H t t t? ? ?? ? ???????? ??????對 ()式兩邊從初始時刻 t=t0開始進(jìn)行關(guān)于時間的積分，便得到以下遞推關(guān)系 例如，把 ()式的第二式代入第一式右邊，得 1a f a f 0 a f 1 a f 0 1a f 1 a f 2 a f 2 2 120001 ?? ? ?( ) ( ) [ ( ) , ( ) ] di1 ? ?? [ ( ) , [ ( ) , ( ) ] ] d d( i )I I I II I Ittttttt t H t t tH t H t t t t? ? ????????72 這個過程可以重復(fù)進(jìn)行下去，得到 1a f a f 0 a f 1 a f 0 12a f 1 a f 2 a f 0 2 1a f 1 a f 2 a f 3 a f 0 3 2 13000120 0 0?? ? ?( ) ( ) ( 1 i ) [ ( ) , ( ) ] d? ? ?( 1 i ) [ ( ) , [ ( ) , ( ) ] ] d d1? ? ? ?[ ( ) , [ ( ) , [ ( ) , ( ) ] ] ] d d d( i )......I I I II I II I I Ittttttttt t ttt t H t t tH t H t t t tH t H t H t t t t t? ? ???????????? ? ?這稱作“微擾級數(shù)展開”，因為只有相互作用能足夠小，相當(dāng)于在系統(tǒng)上附加的一個“微擾”時，展開的無窮級數(shù)才收斂。 73 對于以上微擾展開，令（為方便去掉上標(biāo) I）： ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )a f a f a f a f? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) (.. 5 .). 3t t t t? ? ? ?? ? ? ?其中 稱為第 n級微擾（ n=0,1,2…) ，且有 ()af?n?( 0 ) ( 0 ) ( 0 )a f a f 0 a f 1 a f 2 a f 0( 1 ) ( 0 )a f a f 1 a f 1 1( 1 ) ( )a f a