【正文】 （5）末兩位數(shù)不是：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．如個(gè)位數(shù)與十位數(shù)都是都是奇數(shù)的數(shù)，個(gè)位數(shù)是而十位數(shù)是偶數(shù)的數(shù)．例13 有100盞電燈，排成一橫行，從左到右，我們給電燈編上號(hào)碼1，2，…，99，100．每盞燈由一個(gè)拉線開關(guān)控制著．最初，電燈全是關(guān)著的．另外有100個(gè)學(xué)生，第一個(gè)學(xué)生走過來，把凡是號(hào)碼為1的倍數(shù)的電燈的開關(guān)拉了一下；接著第2個(gè)學(xué)生走過來，把凡是號(hào)碼為2的倍數(shù)的電燈的開關(guān)拉了一下；第3個(gè)學(xué)生走過來，把凡是號(hào)碼為3的倍數(shù)的電燈的開關(guān)拉了一下，如此等等，最后那個(gè)學(xué)生走過來，把編號(hào)能被100整除的電燈的開關(guān)拉了一下，這樣過去之后，問哪些燈是亮的？講解 （1）直接統(tǒng)計(jì)100次拉線記錄，會(huì)眼花繚亂．（2）拉電燈的開關(guān)有什么規(guī)律：電燈編號(hào)包含的正約數(shù)（學(xué)生）才能拉、不是正約數(shù)（學(xué)生）不能拉，有幾個(gè)正約數(shù)就被拉幾次．（3）燈被拉的次數(shù)與亮不亮（開、關(guān)）有什么關(guān)系：0123456789關(guān)開關(guān)開關(guān)開關(guān)開關(guān)開 燈被拉奇數(shù)次的亮?。?）哪些數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)：平方數(shù)．（5）1～100中有哪些平方數(shù)：共10個(gè)：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100．答案：編號(hào)為1，4，9，16，25，36，49，64，81，100共10個(gè)燈還亮．例14 已知直角三角形的兩條直角邊分別為正整數(shù)，斜邊為正整數(shù)，若為素?cái)?shù)，求證為平方數(shù)．證明 由勾股定理，有 ，但為素?cái)?shù)，必有 解得 ，從而 ，為平方數(shù)．例15 求證，任意3個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積不是平方數(shù)．證明 設(shè)存在3個(gè)連續(xù)正整數(shù)（）的積為平方數(shù)，即存在整數(shù)，使 ，即 ，但，故均為平方數(shù)，有得 ，（注意）這一矛盾說明，3個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積不是平方數(shù)．例16 設(shè)是異于2，5，13的任一整數(shù)．求證在集合中可以找到兩個(gè)不同元素，使得不是完全平方數(shù)．證明 因?yàn)?，所以不是完全平方?shù)只能是．若結(jié)論不成立，則存在正整數(shù)，使同時(shí)成立，由①知是奇數(shù)，設(shè)代入①得 為奇數(shù)，代入②、③知均為偶數(shù)．設(shè)，代入②、③后相減，有 ． 由于為偶數(shù)，故同奇偶，可被4整除，得為偶數(shù)．這與上證為奇數(shù)矛盾．所以，在集合中可以找到兩個(gè)不同元素，使得不是完全平方數(shù)．例17 ()設(shè)為正整數(shù)，整除．證明是完全平方數(shù)．　　證明　令，是正整數(shù)．式中是對(duì)稱的，不妨設(shè)．　　(l)若，則．本題獲證．　　(2)若，由帶余除法定理，可設(shè)（是整數(shù))，則為正整數(shù)，由 且 得 ， 所以必有， 化簡 ，得 ， 　　于是　 ，其中．　　此時(shí)若，則，本題獲證．　　若，可繼續(xù)令（是整數(shù)），仿上可推得，　　此時(shí)若，則，本題獲證．　　若，可如上法做下去．因，且均為整數(shù)．故總能得到某個(gè)，使，是完全平方數(shù)．綜上本題獲證．　　這種證明的方法叫“無窮遞降法”，是17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Fermat．1601一1665)首創(chuàng)和應(yīng)用的一種方法． 四．整除整除的判別方法主要有7大類．1．定義法．證，有三種方式．（1）假設(shè)，然后證明．（定理4）（2）具體找出，滿足．（3）論證的存在．例18 任意一個(gè)正整數(shù)與它的十進(jìn)制表示中的所有數(shù)碼之差能被9整除． 證明 設(shè)，其中，則 按定義 ．2．?dāng)?shù)的整除判別法．（1）任何整數(shù)都能被1整除．（2）如果一個(gè)整數(shù)的末位能被2或５整除，那么這個(gè)數(shù)就能被2或５整除． （3）如果一個(gè)整數(shù)的末兩位能被４或25整除，那么這個(gè)數(shù)就能被4或25整除． （4）如果一個(gè)整數(shù)的末三位能被8或125整除，那么這個(gè)數(shù)就能被8或125整除． （5）如果一個(gè)整數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和能被3或9整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3或9整除．證明 由，有， （6）如果一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差能被7或11或13整除，那么這個(gè)數(shù)就能被7或11或13整除． 證明 由 ，知 ， 又由，而均為素?cái)?shù)知，能被7或11或13整除．（7）如果一個(gè)整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個(gè)數(shù)能被11整除．證明 由，有3．分解法．主要用乘法公式．如．．．例19 試證．證明 改證．設(shè)，則 得．又 得．但，得，即．例20 設(shè)與為正整數(shù)，滿足 ，求證可被1979整除（1979）證明 得1979整除，但1979為素?cái)?shù)，得可被1979整除．例201 2009年9月9日的年、月、日組成“長長久久、永不分離”的吉祥數(shù)字20090909，而它也恰好是一個(gè)不能再分解的素?cái)?shù)．若規(guī)定含素因子的數(shù)為吉祥數(shù)，請(qǐng)證明最簡分?jǐn)?shù)的分子是吉祥數(shù)．證明：由其中為正整數(shù)，有 ，這表明，整除，但為素?cái)?shù)，不能整除，所以整除，得是吉祥數(shù)．4． 余數(shù)分類法．例21 試證．證明1 任何整數(shù)被3除其余數(shù)分為3類 ，（1）時(shí)，有 有．（2）時(shí)，有有．（3）有．綜上得，．證明2 ，得 ，又，得．5．?dāng)?shù)學(xué)歸納法．6．反證法．7．構(gòu)造法．例22 個(gè)連續(xù)整數(shù)中必有一個(gè)能被整除．證明 設(shè)個(gè)連續(xù)整數(shù)為 ，若這個(gè)數(shù)被除沒有一個(gè)余數(shù)為0，則這個(gè)數(shù)的余數(shù)只能取，共種情況，必存在兩個(gè)數(shù) ，使 其中，相減 ，有 ，即 與矛盾．故個(gè)連續(xù)整數(shù)中必有一個(gè)能被整除．也可以由得 ，推出，與為整數(shù)矛盾．例23 個(gè)連續(xù)整數(shù)之積必能被整除．證明 設(shè)個(gè)連續(xù)整數(shù)為 ，（1）若這個(gè)連續(xù)整數(shù)為正整數(shù)，則 只須證明，對(duì)任何一個(gè)素?cái)?shù)，分子中所含的方次不低于分母中所含的方次，由高斯函數(shù)的性質(zhì)，有 得為整數(shù)（證實(shí)了組合數(shù)的實(shí)際意義）（2）若這個(gè)連續(xù)整數(shù)中有0，則連乘積為0，必能被整除．（3）若這個(gè)連續(xù)整數(shù)為負(fù)整數(shù)，則 由（1）知為整數(shù)，故為整數(shù)．例24 有男孩、女孩共個(gè)圍坐在一個(gè)圓周上（），若順序相鄰的3人中恰有一個(gè)男孩的有組，順序相鄰的3人中恰有一個(gè)女孩的有組，求證．證明 現(xiàn)將小孩記作，且數(shù)字化 則“3人組”數(shù)值化為 其中．又設(shè)取值為3的有個(gè)，取值為的有個(gè)，依題意，取值為1的有個(gè)，取值為的有個(gè)，得 ，可見．例25 （1956，中國北京）證明對(duì)任何正整數(shù)都是整數(shù)，并且用3除時(shí)余2．分析 只需說明為整數(shù)，但不便說明“用3除時(shí)余2”，應(yīng)說明是3的倍數(shù)．作變形 ，命題可證． 證明 已知即， ①因?yàn)橄噜?個(gè)整數(shù)必有偶數(shù)，所以為整數(shù)．又①可變?yōu)?，因?yàn)橄噜?個(gè)整數(shù)必有3的倍數(shù)，故能被3整除；又，所以能被3整除；得用3除時(shí)余2．五、同余根據(jù)定義，同余問題可以轉(zhuǎn)化為整除問題來解決；同時(shí)，同余本身有很多性質(zhì)，可以直接用來解題．例26 正方體的頂點(diǎn)標(biāo)上或，面上標(biāo)上一個(gè)數(shù)，它等于這個(gè)面四個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)的乘積，求證，這樣得出的14個(gè)數(shù)之和不能為0．證明 記14個(gè)數(shù)的和為，易知，這14個(gè)數(shù)不是就是，若八個(gè)頂點(diǎn)都標(biāo)上，則，命題成立．對(duì)于頂點(diǎn)有的情況，我們改變?yōu)?，則和中有4的數(shù)改變了符號(hào)，用表示改變后的和，由 ，知 ， 這表明，改變一個(gè)，和關(guān)于模4的余數(shù)不變，重復(fù)進(jìn)行，直到把所有的都改變?yōu)?，則，所以，．例27 設(shè)多項(xiàng)式的系數(shù)都是整數(shù)，并且有一個(gè)奇數(shù)及一個(gè)偶數(shù)使得及都是奇數(shù)，求證方程沒有整數(shù)根． 證明 由已知有 ， ①， ②若方程存在整數(shù)根，即．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，與①矛盾．有為偶數(shù)時(shí)，有，與②矛盾．所以方程沒有整數(shù)根．六、不定方程未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的整系數(shù)代數(shù)方程，稱為不定方程．求不定方程的整數(shù)解，叫做解不定方程． 解不定方程通常要解決3個(gè)問題，方程是否有解？有解時(shí)，有幾個(gè)解，解數(shù)是有限還是無窮？求出全部解．例28 解方程．解法1 由知方程有整數(shù)解． 觀察特解，列表1232