【正文】 nii ??? ?每個參與人的支付函數(shù).},。,2,1,:.2)。但在一些特殊博弈中，一個參與人的最優(yōu)策略選擇可能并不依賴于其他參與人的策略選擇，即無論其他參與人選擇什么策略，他的最優(yōu)策略是唯一的，這種最優(yōu)策略被稱為 “ 占優(yōu)策略 ”（ dominant strategy）。該故事講的是，兩個嫌疑犯作案后被警察抓住，分別被關(guān)在不同的房間里進行審訊。警察告訴每個人，他們的可選擇的策略與支付如下表： 一、占優(yōu)策略 均衡 ? 在該博弈中，每個囚徒有兩種可能選擇的策略：坦白和抵賴。如， B選擇坦白，若 A選擇坦白時支付為 8，選擇抵賴時支付為 10，因而坦白比抵賴好；若 B選擇抵賴， A坦白時的支付為 0，抵賴時為 1，因而坦白比抵賴好。同樣， “ 坦白 ” 也是 B的占優(yōu)策略。注意：這里 若對應所有的占優(yōu)策略嚴格的為局中人 ，is i )(*:, * 即的嚴格最優(yōu)策略是 i ss ii?*39。* ,),(),( iiiiiiiii sss ssussu ???? ???*39。 在一個博弈里，若所有參與人都有占優(yōu)策略存在，則占優(yōu)策略均衡是可以預測到的唯一均衡，因為沒有一個理性的參與人會選擇劣策略。 .),(,:**1**占優(yōu)策略均衡稱為策略組合那么的占優(yōu)策略是如果對于所有的在博弈的策略式表述中定義ii sssisi ??二、重復剔除的占優(yōu)策略均衡 在絕大多數(shù)博弈中，并不存在占優(yōu)策略均衡。 案例： “ 豬智博弈 ” 豬圈里有兩頭豬（大豬和小豬），豬圈一頭有一豬食槽 ,另一頭安裝著一個按制豬食供應的按鈕，按一下鈕，有 8個單位的豬食進槽，但需 2個單位的成本。具體的博弈支付和結(jié)果如下表： 小豬 按按鈕 等待 大豬 按按鈕 3， 1 2， 4 等待 7， 1 0， 0 豬智博弈 依賴于小豬的策略：若小豬選 “ 等待 ” ，大豬的最優(yōu)策略是 “ 按 ” ；若小豬選“ 按 ” ，大豬的最優(yōu)策略為 “ 等待 ” 。 可能的均衡是什么呢？若小豬是理性的，他只會選 “ 等待 ” ，因為 “ 等待 ” 嚴格優(yōu)于 “ 按 ” 。因此，（按，等待）是該博弈唯一的均衡。該策略組合就是博弈的均衡解，稱為 “ 重復剔除的占優(yōu)策略均衡 ” 。 例：找出下列博弈的重復剔除的占優(yōu)策略均衡 局中人 B L M R 局中人 A U 1， 0 1， 2 0， 1 D 0， 3 0， 1 2， 0 局中人 B L M 局中人 A U 1， 0 1， 2 D 0， 3 0， 1 局中人 B L M 局中人 A U 1， 0 1， 2 三、納什均衡 納什均衡 （ Nash equilibrium）是指這樣一種均衡，博弈中的每個局中人都確信，在其他局中人策略給定的情況下，他選擇了最優(yōu)策略。 正式定義： iSs ssuss uissssssissssuuSSGniiiiiiiiniiiininn????????????,),(),(:,),(,),(},。同樣（ U， M）也是一個納什均衡。在兩人博弈中，有一簡單的方法。 表 Ⅰ 參與人 B L C R 參與人 A U 0， 4 4， 0 5， 3 M 4， 0 0， 4 5， 3 D 3， 5 3， 5 6， 6 納什均衡與占優(yōu)策略均衡及重復剔除的占優(yōu)均衡之間的關(guān)系 （ 1）每一個占優(yōu)策略均衡、重復剔除的占優(yōu)均衡一定是納什均衡，但逆命題不一定成立。 （ 2）納什均衡一定是在重復剔除嚴格劣策略過程中沒有被剔除掉的策略組合，但沒有被剔除掉的策略組合不一定是納什均衡，除非它是唯一的。在表 Ⅰ 中，沒有任何一個策略嚴格劣于另一個策略，因而沒有一個策略組合能被剔除掉，即沒有被剔除掉的策略組合很多，但（ D， R）是唯一的一個納什均衡。即 是一個納什均衡，當且僅當對所有的 ， 根據(jù)該定義，有些博弈不存在納什均衡。 ),( ***1 ni sss ??i).,(m a xa r g ** iiii ssus ??流浪漢 找工作 游蕩 政府 救濟 3， 2 1， 3 不救濟 1， 1 0， 0 顯然，該博弈沒有納什均衡。 兒童 B 正面 反面 兒童 A 正面 1， 1 1， 1 反面 1， 1 1， 1 該博弈是一個零和博弈，沒有納什均衡。類似地，（反面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）都不是納什均衡。 純策略和混合策略納什均衡 : 如果一個策略規(guī)定參與人在每一個給定的信息情況下下只選擇一種特定的行動，則稱該策略為純策略。在博弈的策略式表述中，混合策略可定義為在純策略空間上的概率分布。,{????????????對于所有的的概率選是的一個混合策略稱為布則概率分個純策略有假定參與人中博弈個參與人的策略式表述在?? ?? ??????).(,),(),( 1???????iiini iii ii代表混合策略組合空間而的一個混合策略為其中代表混合策略組合的混合策略空間代表用 ??? ?? ?????????Ssnjijjiiiniiiiiiisusv iivv1111)())((),(:,),([),()(???????????它可被定義為策略組合混合之外所有其他參與人的是除的期望效用函數(shù)表示參與人用?? 社會福利博弈的支付矩陣 流浪漢 找工作 游蕩 政府 救濟 3， 2 1， 3 不救濟 1， 1 0， 0 以社會福利博弈為例求解混合策略納什均衡。則政府的效用函數(shù)為 : 求其微分可得到政府最優(yōu)化的一階條件 : 因此 , 在混合策略均衡 ,流浪漢以 ， 概率選游蕩。對此的可作如下解釋：首先假定最優(yōu)混合策略是存在的。即若 政府將選擇不救濟； * ?? ?? ，政府將選擇救濟；只有當 時，政府才會選擇混合策略 或任何純策略。流浪漢的效用函數(shù)為： ?? ??)1,0( ?????????????????3)12()1(3)1())1(03)(1()1(12(),(??????????????? v LGL 最優(yōu)化一階條件為： 0)12( ?????? ??Lv 因此 ， 該結(jié)論可解釋為：若 θ ，流浪漢的最優(yōu)選擇是找工作；若θ ，其最優(yōu)選擇是游蕩；只有當 θ =，他才選擇混合策略 或任何純策略。故 θ *=， r*=。 從反面進行說明。因此，r。因此， r。 納什均衡的弱點： ? （ 1） 多重性。 女 足球 芭蕾 男 足球 2， 1 0， 0 芭蕾 0， 0 1， 2 如在 “ 性別戰(zhàn) ” 博弈中，有兩個純策略納什均衡：（足球，足球），（芭蕾，芭蕾）。 一、 博弈的擴展式表述 [博弈樹的構(gòu)造（尤其是信息集的概念） ]。 三、定義和討論完全信息動態(tài)博弈的基本概率 ——子博弈精煉納什均衡及其求解方法。 第三節(jié) 完全信息動態(tài)博弈 在靜態(tài)博弈中，所有參與人同時行動（或行動雖有先后，但沒有人在自己行動之前觀測到別人的行動）；在動態(tài)博弈中，參與人的行動有先后順序，且后行動者在行動之前能觀測到先行動者的行動。博弈的擴展式表述“ 擴展 ” 的主要是參與人的策略空間。 一、博弈的擴展式表述 博弈的擴展式表述包括以下要素： （ 1）參與人集合： i=1,2,… n ；此外，將用 N表示虛擬參與人 “ 自然 ” 。 （ 3）參與人行動空間：每次行動時，參與人有些什么選擇。 （ 5）參與人的支付函數(shù)：行動結(jié)束后，參與人得到些什么（支付是所有行動的函數(shù)）。 如同兩人有限策略博弈的策略式表述可用博弈矩陣表述一樣， n人有限策略博弈的擴展式表述可用博弈樹表示。假定該博弈的行動順序如下 ：（ 1）開發(fā)商 A先行動，選開發(fā)或不開發(fā)；（ 2）在 A決策后，自然選擇市場需求的大?。唬?3）開發(fā)商 B在觀測到 A的決策和市場需求后，決定開發(fā)或不開發(fā)。 博弈樹給出了有限博弈的幾乎所有信息，其基本構(gòu)建包括： （ nodes）：包括決策結(jié)（上面三個）和終點結(jié)（ B的四個策結(jié)）。此例中，決策結(jié)包括 1個空心圓和 6個實心圓，終點結(jié)包括對應 8個支付向量的點。如 A有兩個選擇，用 “ 開發(fā) ” 和 “ 不開發(fā) ” 兩個枝表示。博弈樹上的所有決策結(jié)分割成不同的信息集。引入信息集的目的在于描述：當一個參與人要作出決策時，他可能并不知道之前發(fā)生的所有事件。 情形 2：假定行動順序如前，但 B在決策時并不確切地