【正文】 函數(shù)空間的無條件基如果將小波基寫為 { }那么，在函數(shù)空間 F中的任何一個(gè)函數(shù) f都可以表示為 f= ? j,m j,m,具有無件收斂，其中 ? j,m為小波系數(shù)； 性質(zhì) 2： 小波應(yīng)該具有正交或雙正交的性質(zhì) 。 性質(zhì) 4:小波滿足多分辨分析的框架 ,這就使得快速小波變換成為可能 。這就促使人們對整數(shù)到整數(shù)小波變換的探索。（ 4） 連續(xù) 小波變換 連續(xù)小波變換的定義為： 如果函數(shù) ()t? 滿足條件 ： 2() d? ????? ? ??? （ ） 就稱 ()t? 為基本小波。 對于任意的 2()f L R? ，若任意的 2()LR?? ， 則 f的連續(xù)小波變換定義為 ： ,( , ) ( ) , ( )1 ( ) ( )f a babW a b t f ttb f t dtaa????? ? ????? （ ） 由小波變換 ( , )fW ab 重構(gòu)原函數(shù) f（ t）公式為： , 21( ) ( , ) ( )f a b t b d a d bf t W a bC a a??? ? ? ?? ????? （ ） 其中 : 2()Cd? ????? ?? ?? ? ?? () 母小波可以是實(shí)函數(shù)，也可以是復(fù)變函數(shù)。 在公式（ ）中尺度參數(shù) a的作用是把基本小波 ()t? 作伸縮。分析可知，由 ()t? 縮放 a倍變成 ()ta? 。反之，當(dāng) a1時(shí) ，若 a越小，則 ()ta? 的寬度越窄， 1a 與頻率角 ? 等價(jià) 。 無論是為了理論分析的簡便性還是出于實(shí)際計(jì)算的可行性分析，對小波變換進(jìn)行離散化處理都是十分必要的。 對尺度參數(shù) 的離散化 ,一般的做法 是取一個(gè)合理的值 a0,使尺度 參數(shù) a 只取 a0 的整數(shù)幕 ,即 a 從以下整數(shù)序列中取值 : 0 1 20 0 0 01, , ,ja a a a? 對位移參數(shù) b 進(jìn)行離散化處理 ,當(dāng)尺度取 a=a0時(shí) ,取位移 b=b0,即在 a=a0j時(shí) , 相應(yīng)地取 b=ka0jb0。若取 a0= 12 ，此時(shí)小波函數(shù)滿足穩(wěn)定條件： 2( ) , , 0 ,iA B R A B????? ? ?? ? ? ? ? ? ?? () 此時(shí)就得到二進(jìn)小波和二進(jìn)小波變換。 在實(shí)際應(yīng)用中離散小波變換更合適 于計(jì)算機(jī) 運(yùn)算 的處理。由于高維小波的理論還不夠完善，所以我們簡單討論二維小波。 小波函數(shù)的選取不是任意的，通常 要求小波函數(shù)是歸一化的 且 具有單位能量的解析函數(shù) ,所以要滿足以下的條件： （ 1） 在定義域的一個(gè)很小的區(qū)域之外，函數(shù)值要求全部為零，即定義域要求是緊支撐的，函數(shù)具有速降的特性。 小波變換具有如下三條性質(zhì)： （ 1）線性性質(zhì)：若 ,( ) ( ) , ( ) ( )a b a bW f f t W g g t? ? ? ?且 ( ) ( ) ( )z t f t g t???? ，則 , , ,( ) ( ) ( )a b a b a bW z W f W g???? （ ） （ 2）位移定理 ：若 , ( ) ( )abW f f t?? 且 0( ) ( )z t f t t??，則0,( ) ( )a b a b tW z aW f?? （ ） （ 3）頻域表示：若 ( ) [ ( ) ] , ( ) [ ( ) ]f F f t F t? ? ? ??? 則12, 1( ) ( ) ( )2 jbabW f a f a e d?? ? ? ?? ????? ? （ ） 3 第二代小波分析的基本理論 第一代小波的的重要特點(diǎn)就是利用特殊函數(shù)的伸縮和平移而得到。然而，在某些情況下伸縮與平移運(yùn)算并不能解決問題，相反，很有可能會帶來一些限制因素，此時(shí)就需要對信號進(jìn)行延拓。第二代小波變換又稱為提升小波變換。有正向提升過程和逆向提升過程倆種方法。即： 0 1 1 1 1,a a c a c? ? ? ? ? （ ） 分解的方法有多種，比如將前一半的數(shù)據(jù)劃分為 a1，后一半的數(shù)據(jù)作為 c1； 也可以將 偶數(shù)點(diǎn)劃分到 a1，奇數(shù)點(diǎn)劃分到 c1。 ○ 3 提升過程：用 c1中的數(shù)據(jù)來提升 a1中的數(shù)據(jù)，提升算子記作 S，則： 1 1 1()a a S c?? （ ） 與預(yù)測過程一樣用新的提升值來代替原來的提升值 a1。步驟為： ○ 1 提升過程：用 c1中的數(shù)據(jù)來提升 a1中的數(shù)據(jù)，提升算子記作 S，則： 1 1 1()a a S c?? ○ 2 預(yù)測過程：用 a1中的數(shù)據(jù)來預(yù)測 c1中的數(shù)據(jù)，預(yù)測算子記作 P，即： 1 1 1()c c P a?? ○ 3 還原過程：將 a1中的數(shù)據(jù)和 c1中的數(shù)據(jù)合并為 a0，即 : 0 1 1a a c?? Lazy 提升 在原始數(shù)據(jù)集中 0 0,{ | }ka a k z??， 因?yàn)閷τ诙鄶?shù)信號而言其局部數(shù)據(jù)是相關(guān)的，因此，相鄰的樣本點(diǎn)比較遠(yuǎn)的樣本點(diǎn)更為相似，因此可以按照下標(biāo) k的奇、偶性進(jìn)行索引抽樣。 此時(shí)構(gòu)建預(yù)測算子 P的模型是分段線性函數(shù)，其間隔為 2，假如原始信號與此模型相吻合，則 1c 的所有系數(shù)為 0，若果不符合，則 1c 是原始信號的高頻部分， 1c 中元素稱為小波系數(shù)。 計(jì)算 A可按照能量保持原則， 即： 1 , 0 , 2 1 , 0 , 2 0 , 2 12 ( 1 2 ) 2k k k k kk k ka a A c A a A a ?? ? ? ? ?? ? ?，如果期望1, 0,12kkkkaa???， 則 A=14 。 提升算法的基本過程 第一代小波變換分解成提升小波變換可由如下三步組成： ○ 1 Lazy 小波 : (0)1,1 0,21SS? 。 ○ 2 級連的提升與 對偶提升過程： ( ) 1 ( ) ( 1 )1 ,1 1 ,1 1 ,1i i i ikkkd d p s?????? ( ) ( 1 ) ( ) ( )1 ,1 1 ,1 1 ,1i i i ikkks s u d? ???? 上表 i 表示第 i 級提升， ( ) ( ),iikkpu為提升計(jì)算使用的系數(shù)，假設(shè)級聯(lián)一共有 M級。具體過程為： ○ 1 比例計(jì)算： ( ) ( )1 ,1 1 ,1 1 ,1 1 ,1,/MMs ks d d k??； ○ 2 級連的提升與對偶提升反變換過程： 1 ( ) ( ) ( 1 )1 ,1 1 ,1 1 ,1i i i ikkkd d p s?????? ( 1 ) ( ) ( ) ( )1 ,1 1 ,1 1 ,1i i i ikkks s u d? ????； ○ 3 反 Lazy變換： ( 0 ) ( 0 )0 , 21 1 ,1 0 , 21 1 1 ,1,s s s d???； 提升變換與第一代小波變換的比較 通過上述的分析我們可知，提升變換與第一代小波變換相比有較為明顯的特點(diǎn)： 一 同址計(jì)算。 二 更快的小波變換 。 三 不需要借助傅里葉分析就可以獲得逆變換的結(jié)果。下面是在 Daubechies 9/7 小波提升算法下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。在用小波變換處理圖像時(shí)，小波系數(shù)的優(yōu)化是一個(gè)十分重要的研究課題， 它是利用小波分析解決 圖像 壓縮問題取得良好 壓縮效果的根本所在 ，然而卻很少有研究涉及這一方面，在這里我們將會對此有著一定的研究。在這些成功的算法之中， 嵌入式零樹小波算法 (EZW)是當(dāng)前大家公認(rèn)的靜態(tài)圖像變換壓縮編碼的最好方法之一。 最優(yōu)小波基指的是 壓縮比相同的 條件下，小波系數(shù)的分布好、重構(gòu)圖像 質(zhì)量好、所需計(jì)算復(fù)雜性低。因?yàn)樾〔ㄗ儞Q是 基于 小波變換 的 圖像壓縮方法中十分關(guān)鍵的一步，變換后產(chǎn)生的小波系數(shù)直接影響到后繼 一系列 操作 問題 。已經(jīng)證明同時(shí)具備線性相位、緊支集 、正交 性 三種性質(zhì)的實(shí)小波，只有 Haar 小波，可 是 Haar 小波的光滑性很 不好 ，不適合 于 處理圖像。 而 小波基 所 對應(yīng)的濾波器的性質(zhì)與圖像壓縮有著 十分 重要關(guān)系 ,主要涉及到以下幾個(gè)方面 : （ 1） 快速計(jì)算 與基函數(shù)的內(nèi)積計(jì)算快速 ,從而保持信號展開的低復(fù)雜度 。 （ 4） 良好的頻率局部化 使我們能夠識別信號的振蕩 。對于同一副圖像而言，用不同的小波基來分解所得到的壓縮數(shù)據(jù)是不同的， 我們希望經(jīng)小波分解后的得到的三個(gè)方向的細(xì)節(jié)分量具有高度的局部相關(guān)性 ,而整體相關(guān)性大部分甚至完全被解除 ，所以小波基的選取就十分重要。該特征也決定了小波的時(shí) 頻局部化特征，緊支寬度越窄，小波的局部化特性越好，緊支撐小波避免了濾波過程中的截?cái)嗾`差，因此應(yīng)用精度很好。 （ 2）對稱性 對稱濾波器組在圖像重建中更為有利，這有兩點(diǎn)原因： 附近的對稱的量化誤差較非對稱的誤差更為不敏感； 特性與小波的對稱性是等價(jià)的。 （ 3）正交性和雙正交性 正交小波對應(yīng)一個(gè)正交鏡像濾波器組，即低通濾波器和高通濾波器正交。也就是說，除 Harr小波基外，其他的 小波函數(shù)無法同時(shí)滿足緊支性、正交性和對稱性。 為了獲得線性相位（對稱性），需要放松對正交性的限制，分解和合成過程使用不同的濾波器，從而獲得更大的設(shè)計(jì)自由度，克服上述缺點(diǎn)。雙正交小波降低了對正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波獲得了線性相位和較短支集的特性。 （ 5）消失矩 消失矩的大小決定了小波逼 近光滑函數(shù)的收斂率。 EZW 編碼方法 EZW編碼方法的全稱是 用小波系數(shù)的零樹進(jìn)行嵌入式編碼，是 1993 年由美國學(xué)者 Shapiro 提出的。雖然用很少的壓縮位對大量的零進(jìn)行編碼，但是有效的省去了對高頻小波系數(shù)的編碼，極大的提高了編碼效率，可是它對圖像小波變換系數(shù)的特點(diǎn)應(yīng)用的不夠充分。 零樹 是指 :對于給定的閾值 T,樹的根節(jié)點(diǎn)及其所有子 節(jié)點(diǎn)、 孫節(jié)點(diǎn)的系數(shù)值均是無效值 ,根節(jié)點(diǎn)稱為零樹根 。零樹量化算法的 思想是在量化小波系數(shù) 的時(shí)候 采用了零樹 的 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 。 一幅經(jīng)過小波變換的圖像按其頻帶從低到高形成一個(gè)樹狀結(jié)構(gòu) ,樹根是最低頻子帶的結(jié)點(diǎn) ,它有 3個(gè)孩子分別位于 3個(gè)次低頻子帶的相應(yīng)位置 ,其余子帶 (最高頻子帶除外 )的結(jié)點(diǎn)都有4個(gè)孩子位于高一級子帶的相應(yīng)位置 (由于高頻子帶分辨率增加 ,所以一個(gè)低頻子帶結(jié)點(diǎn)對應(yīng)有四個(gè)高頻子帶結(jié)點(diǎn) ,2x2矩陣 )。 對門限值重復(fù)主循環(huán) ,在每次 迭代后門限值減半 。 編碼主要分為副通和主通倆個(gè)過程。 其主要步驟可以歸納如下： （ 1）初始化：規(guī)定閾值 T為大于 ( , ) ( , )max | | /2i j i jc 的最小 2的整數(shù)次冪，在此之后，每掃描一次閾值就會減小 1/2， (,)ijc 是小波系數(shù)。 （ 3）輔掃描：對主掃描表開始順序掃描，并對其中輸出符號為 NEG 或者 POS的小波系數(shù)進(jìn)行量化。當(dāng)解碼器受到這 1位后 ,但當(dāng)前系數(shù)值增加 。 （ 5） 輸出編碼信號 :編碼器輸出兩類信息 ,第一類是 給編碼器的信息 ,包括閾值、主掃描 表與 輔掃描表 。 (6) 如果主掃描表還沒 消失 ,將闡值 T降低 1/2,如果需要更多的迭代 ,則 就要 回到第 （ 2） 步 。它是 為 了實(shí)現(xiàn) 最佳漸進(jìn)傳輸與壓縮 而 設(shè)計(jì) 出來 的 。 這些算法的主要思想是利用原始信號 在各個(gè)尺度 下小波變換系數(shù)的自相似性 ，優(yōu)先傳送絕對值較大的小波系數(shù)。編碼過程可以在任何時(shí)刻終止 ， 并且能夠提供在給定比特率下圖像的最佳重構(gòu)。 SPIHT算法也采用比特平面的編碼技術(shù) ,不但在編碼效率上比 EZW算法 有很大提高 ,同 時(shí)還保留了 EZW算法實(shí)現(xiàn)簡單 ,碼流具有嵌入式等人們感興趣的特點(diǎn) 。 (, )Oi j 位于 (, )ij 位置的小波變換系數(shù)的子女坐標(biāo)集合。在圖 b的子女為 1 2 3 4( 0 , 1 ) { ( ) , ( ) , ( ) , ( ) }o p b p b p b p b? ，其中 ()ipb 為 ib 的坐標(biāo)。在圖 中，系數(shù) b的所有子孫坐標(biāo)集合為 1 4 1 1 4 4( 0 , 1 ) { ( ) , , ( ) , ( ) , , ( ) }D p b p b p b p b? 。即： ( , ) ( , ) ( , )L i j D i j O i j?? 在圖 ， 11 12 44( 0 , 1 ) { ( ) , ( ) , , ( ) }L p b p b p b? 。在圖 H就是子帶 LL2。 SPIHT 算法的實(shí)現(xiàn)過程 通過以上的分