【正文】 )mm mm n m nf a f t t d t a f t a t n b d t? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? （ ） 二維小波 由于圖像和計(jì)算機(jī)的視覺信息多采用二維或者多維信息，因此，將第一代小波理論向二維或者多維進(jìn)行推廣具有極其重要的意義。二進(jìn)小波基函數(shù)的表達(dá)式如下： 22, ( ) 2 ( 2 ( ) )k kb x x b?? ? ? ? （ ） 它是連續(xù)小波 , ()abx? 的尺度參數(shù) a 選取 二進(jìn)制離散數(shù)值 2kka ?? 的結(jié)果 。 對尺度參數(shù) a 通常是按照二進(jìn)制方式進(jìn)行離散化，即上式中 a0=2。所謂對連續(xù)小波進(jìn)行離散化就是對他的參數(shù)（ a ,b） 進(jìn)行離散化，即分別對尺度參數(shù)和位移參數(shù)進(jìn)行離散化。 離散小波變換 所謂的離散小波變換以及反變換就是計(jì)算在離散尺度和位移下的小波變換，以及 計(jì)算由這些離散點(diǎn)的小波變換系數(shù)對信號的重構(gòu) 。當(dāng) a1 時(shí)，若 a 越大，則 ()ta? 的時(shí)域?qū)挾容^之 ()t? 變得越大。 參數(shù) b的作用是確定對 f(t)分析的時(shí)間位置，也即時(shí)間中心。若 f（ t）是實(shí)信號， ??,abt? 也是實(shí)信號，則 ( , )fW ab也是實(shí)的，反之是復(fù)函數(shù)。通過基本小波的伸縮與平移能夠產(chǎn)生一簇小波函數(shù) , ()abt? 如下： 12, ( ) ( )ab tbta a?? ? ? , , 0a b R a?? （ ） a成為尺度參數(shù)， b 成為位移參數(shù) 。 1996年 . Calderbank 和 Wim. Sweldens等提出整數(shù)到整數(shù)的小波變換 ,并結(jié)合提升方案構(gòu)造整數(shù)到整數(shù)小波 。（ 3） 浮點(diǎn)數(shù)小波變換有其不可克服的缺點(diǎn) ,如計(jì)算舍入帶來的精度誤差、計(jì)算速 度慢 。 性質(zhì) 3:小波在空間域和在頻率域應(yīng)該具有局部化分析 ,一些小波甚至具有緊支性 。對小波基選取應(yīng)考慮以下因素 : 1 待壓縮圖像與小波的相似性 2 濾波器的長度和計(jì)算復(fù)雜度 3 小波變換的變換級數(shù) 4 小波變換的能量集中特性 5 小波變換的邊界問題 6 小波基的正則性 表 小波基選取所要考慮的因素 綜合考慮以上因素以后， 將小波變換系數(shù)的編碼分解為對標(biāo)志系數(shù)特征的系數(shù)重要性圖的編碼和對重要系數(shù)的幅度編碼兩部分 ,利用不同尺度間小波系數(shù)存在較強(qiáng)的相關(guān)性 ,將多數(shù)的零系數(shù)組織成一種樹結(jié)構(gòu) ,從而提高了總體編碼效率。解碼時(shí) ,根據(jù)這些結(jié)構(gòu)信息進(jìn)行合成 ,從而恢復(fù)出原始圖像。 分形的含義是 其組成部分以某種方式與整體相似的形（一類無規(guī)則、混亂而復(fù)雜），其局部與整體有相似性的體系，即：自相似性體系。 信息嫡編碼是根據(jù)信息嫡原理 ,用短的碼字表示出現(xiàn)概率大的位串或像素 , 常用信息嫡編碼有 Huffman編碼和算術(shù)編碼。 變換編碼是從頻域的角度減小圖像信號的空間相關(guān)性，它在降低數(shù)碼率等方面取得了和預(yù)測編碼相近的效果。如果預(yù)測比較準(zhǔn)確，誤差就會(huì)很小。 按編碼原理分 ,信息編碼可以劃分為預(yù)測編碼、變換編碼、信息嫡編碼、子帶編碼、分形編碼、結(jié)構(gòu)編碼和基于知識(shí)的編碼 （ 1） 。 圖像壓縮的基本方法以及現(xiàn)狀 圖像壓縮可以分為無損編碼和有損編碼，其依據(jù)是解碼后數(shù)據(jù)是否可以全部恢復(fù)。小波分析是一種新興的數(shù)學(xué)分支，它是泛函數(shù)、 Fourier 分析、調(diào)和分析、數(shù)值 分析的最完美的結(jié)晶；在應(yīng)用領(lǐng)域，特別是在信號處理、圖像處理、語音處理以及眾多非線 性科學(xué)領(lǐng)域，它被認(rèn)為是繼 Fourier 分析之后的又一有效的時(shí)頻分析方法。 小波的發(fā)展歷史 傳統(tǒng)的信號理論，是建立在 Fourier 分析基礎(chǔ)上的，而 Fourier 變換作為一種全局性的變 化，其有一定的局限性。從公式中我們可以知道 ()t? 與 X 軸所圍成的圖形面積其上半平面面積與下半平面面積是相等的。 如果滿足 ： ( ) 0t dt???? ?? （ ） 則就稱 ()t? 是一個(gè)小波基。 小波的定義 小波就是小區(qū)域的波 。傳統(tǒng)的傅立葉變換是用周期函數(shù)去逼近圖像信號 ,這樣就使得變換系數(shù)分布 相對 比較分散。其次，很多圖像與視頻最終為人眼所接受，而我們?nèi)搜蹖D像的不同部分的敏感程度不同 ，假如除去圖像中意義不大的部分，對圖像主觀質(zhì)量不會(huì)有太大的影響。圖像壓縮就是在沒有明顯失真的 重要 前提下 ,將圖像的位圖信息轉(zhuǎn)變成另外一種能將數(shù)據(jù)壓縮的表達(dá)形式。 關(guān)鍵詞：小波變換 圖像壓縮 小波基 EZW 編碼算法 SPIHT 編碼算法 The research of image pression based on Wavelet Transform Abstract With the wide application of image acquisition device and the improvement of acquisition resolution, image data are growing rapidly. In order to utilize the image data effectively, the pression of image and video has bee an urgent problem and has bee a research hotpot in multimedia technology field. The wavelet transform technology bees widely used in image pression fields for its good timefrequency partial characteristic and wavelet multiresolution characteristic matching well with the multichannel model of HVS. The image pression method based on wavelet transform has bee an important branch of image pression，study and improve the algorithms of image pression based on wavelet is not only an important task but also a research hot. The thesis introduces the basic concepts of wavelet transform and multiresolution analysis. Have analyzed and systemically summarized principles and realizing methods of the second generation wavelet, have analyzed advantages of the second generation wavelet transform and their applications in image pression. Characteristics of wavelet coefficients after wavelet transform are analyzed, discussed the optimal wavelet coefficients of the wavelet base selection problem. Finally elaborated the current popular EZW coding and SPIHT coding algorithm. Keywords： Wavelet transform Image pression Wavelet EZW coding algorithm SPIHT coding algorithm 目 錄 1 緒論 引言 小波的 定義 小波的發(fā)展歷史 圖像壓縮的基本方法及現(xiàn)狀 2 第一代小波分析的基本理論 第一代小波的性質(zhì)與特點(diǎn) 連續(xù)小波變換 離散小波變換 二維小波 3 第二代小波分析的基本理論 提升 算法的基本方法 Lazy 提升 提升算法的過程 提升變換與第一代小波變換的比較 4 基于小波變換的圖像壓縮方法 圖像壓縮中小波基的選擇問題 EZW 編碼方法 EZW 編碼方法的基本思想 EZW 算法實(shí)現(xiàn)的一般步驟 SPIHT 編碼方法 SPIHT 編碼方法的原理 SPIHT 算法的實(shí)現(xiàn)過程 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及結(jié)論 5 總結(jié) 與展望 1 緒論 引言 科學(xué)研究表明 ， 在 人類從外界獲取的信息中 ,有 80%以上是來自視覺感知的 。還分析了圖像小波變換后小波系數(shù)的特征，討論了優(yōu)化小波系數(shù)的小波基選擇問題。 本文首先介紹小波分析及其性質(zhì) ,對 尺度函數(shù)、小波母函數(shù) 、多分辨分析 等進(jìn)行分析。安徽大學(xué) 本科畢業(yè)論文（ 設(shè)計(jì)、 創(chuàng)作 ） 題 目： 基于小波變換的圖像壓縮方法研究 學(xué)生姓名： 院（系）： 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院 專業(yè)： 電氣工程與自動(dòng) 化 入學(xué)時(shí)間： 2022 年 9 月 導(dǎo)師姓 名： 職稱 /學(xué)位： 教授 博士 導(dǎo)師所在單位： 安徽大學(xué) 完成時(shí)間： 2022 年 4 月 基于小波變換的圖像壓縮方法研究 摘 要 在當(dāng)今社 會(huì)，由于 圖像采集設(shè)備的廣泛應(yīng)用以及采集分辨率的 逐步 提高，圖像數(shù)據(jù)呈指數(shù)增長，為了能夠充分 的利用圖像數(shù)據(jù)，對圖像和 視頻數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮成為亟待解決的問題并 且 成為圖像處理領(lǐng)域研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題。而小波變換因其優(yōu)秀的時(shí) 頻局部性特征和與人眼視覺系統(tǒng)多通道相吻合的多分辨率分解特性，在圖像壓縮領(lǐng)域得到了 較為 廣泛的應(yīng)用 ，基于小波變換的圖像壓縮編碼算法成為了圖像壓縮領(lǐng)域中的一個(gè)最重要 的分支，對其進(jìn)行的研究和改進(jìn)無疑是一項(xiàng) 相對 重要的任務(wù)和研究熱點(diǎn)。然后根據(jù)近些年發(fā)表的 學(xué)術(shù)文章，分析并整理了第二代小波變換的理論與實(shí)現(xiàn)方法，分析了第二代小波變換的優(yōu)點(diǎn) 及這 些優(yōu)點(diǎn) 在圖像壓縮中的應(yīng)用。 最后闡述了當(dāng)前熱門的 EZW編碼算法和 SPIHT編碼算法。但是，數(shù)字圖像中的數(shù)據(jù)量十分巨大， 如此龐大的數(shù)據(jù)量 ,給圖像的傳送、存儲(chǔ)造成難以逾越 的困難。 首先，雖然圖像的數(shù)據(jù)量大，但是數(shù)據(jù)之間是有相互聯(lián)系的，它們中間存在著很多的相關(guān)性。 圖像信號通常是一種非周期信號。 而小波是一種 非周期函數(shù) ,因此 ,小波變換 就 是用非周期函數(shù)去逼近非周期的圖像信號 ,這樣可以做到 相對較好 地逼近信號 ,使得變換后能量集中在 較少量 的系數(shù)上 ,從而有利于圖像壓縮。其具體的定義為：若函數(shù) ()t? 的 平方可積即 ()t? ?L2(R)。由于在整個(gè)數(shù)軸 R上都是可積的， ()t? 所以在無窮遠(yuǎn)處一定為 0，也就是說當(dāng) t趨向于 0 時(shí)， ()t? 衰減到 0。即 ()t? 隨著 t的變化而上下波動(dòng)，這也就是小波的由來。在實(shí)際應(yīng)用中人們開始對 Fourier 變換進(jìn)行各種改進(jìn)，小波分析由 此產(chǎn)生了。 小波變換與 Fourier 變換相比，是一個(gè)時(shí)間和頻域的局域變換因而能有效地從信號中提取信息，通過伸 縮和平移等運(yùn)算功能對函數(shù)或信號進(jìn)行多尺（ Multiscale Analysis） ，解決了 Fourier 變換不能 解決的許多困難問題。 由香農(nóng)定理可知，無損壓縮是有一定的極限，所以當(dāng)前圖像編碼研究主要集中在有損編碼。 大致分類可以如圖所示 ： 圖 圖像編碼方法 預(yù)測編碼是根據(jù)離散信號之間存在著一定關(guān)聯(lián)性的特點(diǎn)，利用前面一個(gè)或多個(gè)信號預(yù)測下一個(gè)信號進(jìn)行，然后對實(shí)際值和預(yù)測值的差（預(yù)測誤差）進(jìn)行編碼。在同等精度要求的條件下，就可以用比較少的比特進(jìn)行編碼，達(dá)到壓縮數(shù)據(jù)的目的。進(jìn)入 80年代后，逐漸形成了一套運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償和變換編碼相結(jié)合的混合編碼方案，大大推動(dòng)了數(shù)字視頻編碼技術(shù)的發(fā)展。 子帶編碼簡稱 SBC，是一種以信號頻譜為依據(jù)的編碼方法，即將信號分解成不同頻帶分量來去除信號相關(guān)性，再將分量分別進(jìn)行取樣、量化、編碼，從而得到一組互不相關(guān)的碼字合并在一起后進(jìn)行傳輸。 結(jié)構(gòu)編碼首先將圖像紋理、邊緣和輪廓結(jié)構(gòu)特征提取出來 ,然后分別對它們進(jìn)行編碼。 基于小波變換的編碼器的研究集中在于小波基的選取和量化后的系數(shù)建模。 （ 2） 2 第一代小波分析的基本理論 第一代小波的性質(zhì) 與特點(diǎn) 第一代小波有 4條性質(zhì)： 性質(zhì) 1：小波是 L2(R) 函數(shù)空間的一個(gè) R 基 ,而且是廣泛