【正文】 oining in. For him, the rewarding part about touring isn39。80s. We sat on the back of pickup trucks for hours. The sky was blue, and we couldn39。s Shaanxi province pass through a stop on the ancient Silk Road, Gansu39。 總之，對于基于小波變換的圖像壓縮方法研究，本文只是做了一個(gè)很小方面的研究，目前還有許多優(yōu)秀的算法值得人們?nèi)ミM(jìn)一步研究。 小波變換在圖像壓縮領(lǐng)域的應(yīng)用還處在初級(jí)階段，這是一個(gè)新興的領(lǐng)域，出現(xiàn)許多優(yōu)秀的編碼算法。還分析了圖像小波變換后小波系數(shù)的特征，討論了優(yōu)化小波系數(shù)的小波基選擇問題。 本文首先介紹小波分析及其性質(zhì) ,對尺度函數(shù)、小波母函數(shù)、多分辨分析等進(jìn)行分析。由我們前面所述的小波的一系列優(yōu)秀性質(zhì)，使得小波變換廣泛的用于圖像編碼技術(shù)，并且取得了很大的成功。所以 在解碼端 ,如果只是想得到較低分辨率的圖像 ,那就只需要對一部分子代圖像進(jìn)行解碼。而 上面 的一層 是圖像的粗略特征 ,也稱 低分辨率或者低頻小波系數(shù)。 圖 原始圖像與三級(jí)小波分解 從圖中可以看出來，如果分解級(jí)數(shù)越多，那么圖像的分辨率等級(jí)也就越多，每一級(jí)分解 ,都 將 使圖像的分辨率 降為前一級(jí)的 1/2。 第四步： n=n1，然后返回第二步。 ○ 2 假如這個(gè)記錄代表一個(gè) B類集合，則： 1）輸出 ( ( , ))nS Li j ； 2）假如 ( ( , )) 1nS L i j ? ，則： ）將每個(gè) ( , ) ( , )k l O i j? 加入到 LIS 尾部，并且標(biāo)記為 A類集合； ）從 LIS 中移除 (, )ij 項(xiàng)。 （ 2）對 LIS 的每個(gè)記錄 (, )ij 進(jìn)行如下處理： ○ 1 假如這個(gè)記錄代表一個(gè) A類集合就進(jìn)行以下處理： 1）輸出 ( ( , ))nS Di j ； 2）假如 ( ( , )) 1nS D i j ? ，則 ）對每一個(gè) ( , ) ( , )k l O i j? 進(jìn)行如下的處理： ）輸出 ( , )nS kl ； ）假如 ( , ) 1nS k l ? ，將 (,)kl 加入到 LSP，并且輸出 ,klX 的符號(hào)位； ）假如 ( , ) 0nS k l ? ，將 (,)kl 加入到 LIP。 第二步：分類掃描過程。輸出2 ( , ) ,lo g (m a x { })i j i jnX?；將 LSP設(shè)置為空表，將(, )i j H? 加入到 LIP中， (, )i j H? 有子孫項(xiàng)的加入到 LIS中，并作為 (, )Di j 類集合。 除此之外 ,在 SPIHT 編碼過程中 ,為了控制集劃分過程與 有效值細(xì)化過程 ,還需要添加如下的 三個(gè)輔助表 : （ 1） LIP表： 不顯著系數(shù)表 ,其間 的坐標(biāo)代表 著 單個(gè)系數(shù) ,用最低頻子帶系數(shù) 來初始化 ； （ 2） LSP表： 顯著系數(shù)表 ,其間 的坐標(biāo)代表 著 單個(gè)系數(shù) ,初始化為空表 ； （ 3） LIS表： 系數(shù)的不顯著集合表 ,每個(gè)記錄都是坐標(biāo) (, )ij 形式 ,包括類型 A或者 類型 B的系數(shù)的不顯著集合的根的坐標(biāo) ， 它代表一個(gè)集合(, )Li j 或 (, )Di j ， (, )Oi j 稱為類型 A 表項(xiàng) , (, )Li j 稱為類型 B 表項(xiàng) ,用每一個(gè)空間方向樹的根節(jié)點(diǎn)來 進(jìn)行 初始化 。 H 一切根節(jié)點(diǎn)的集合。 (, )Li j 位于 (, )ij 系數(shù)的所有子孫坐標(biāo)集合，但去掉它的直接子女集合。 (, )Di j 位于 (, )ij 位置的小波變換系數(shù)的所有子孫坐標(biāo)合集。由于在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)一個(gè)系數(shù)可能有四個(gè)子女或者沒有子女，所以 (, )Oi j 的大小可以是 4或者 0。 [8 曹婧 ] 為了便于描述 SPIHT 算法，先規(guī)定幾個(gè)用于方向樹劃分的集合。 SPIHT的空間方向樹如圖所示： 圖 SPIHT 中的空間方向樹 由空間方向樹的結(jié)構(gòu)示意圖我們可以知道，在于零樹結(jié)構(gòu)相比時(shí)，這種空間方向樹的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)不僅充分利用 了 不同尺度間 小波系數(shù)的相關(guān)性 ,也對同一尺度下 小波系數(shù)的相關(guān)性做了充分考慮 ,從而更有效的組織了小波系數(shù) 。編碼時(shí)采用 2倍遞減的多級(jí)門限值，在各比特平面上進(jìn)行孤立系數(shù)和零樹的判決。它的一個(gè)重要特點(diǎn)是在圖像解碼的任何 時(shí)刻 ,所顯示 出的圖像質(zhì)量都是現(xiàn)在 解 碼器輸入位數(shù)所能獲得的最優(yōu) 者 。 SPIHT 編碼方法 SPIHT 編碼方法的原理 Shapiro 首次提出了二維圖像的小波零樹嵌入編碼（ EZW）算法，后來，由Said和 Pearlman 在 EZW算法的基礎(chǔ)之上給出了更為精細(xì)的多級(jí)樹集合分列排序（ SPIHT）的小波零樹嵌入編碼算法。第二類是 可 用于下次掃描的信息 ,包括閾 值 以 及第 （ 4）步中重新排序過的重要系數(shù)序列 。 （ 4）重新排序： 為方便 設(shè)置下一次掃描 時(shí)所需要 的量化間隔 ,以 便 提高解碼的精度 ,對輸出符號(hào)為 NEG或 POS的數(shù)據(jù)重新排序 。 為了細(xì)化系數(shù) ,將顯著系數(shù)的 二進(jìn)制表示多送出 一 位 。 （ 2）主掃描：按照圖 的掃描順序進(jìn)行掃描，把小波系數(shù)和閾值 T 進(jìn)行比較，如果 ( , )||ijcT? 則就輸出一個(gè)符號(hào)，并且用一個(gè)主掃描表來記錄這些輸出符號(hào)。在主通過程中在給定的閾值條件下，對主表進(jìn)行掃描編碼，如果是重要系數(shù)就將其幅值放入副表之中， 然后將該系數(shù)在數(shù)組中置 數(shù) 為零 ,防止在閾 值減小時(shí) ,該系數(shù)影響新零樹的出現(xiàn) ，而 在副通過程中 ,對 要 副表中的重要系數(shù)進(jìn)行細(xì)化 。 門限用于計(jì)算 非顯著和 顯著小波系數(shù)的顯著性圖 ，利用零樹用 一種有效的方法來表示顯著性圖 。 [7曹婧 ] 圖 三級(jí)小波變換的空間頻率樹結(jié)構(gòu) 圖 具有三級(jí)尺度的小波變換系數(shù)的掃描順序 EZW 算法實(shí)現(xiàn)的一般步驟 EZW實(shí)現(xiàn)時(shí) ,首先進(jìn)行 9抽頭對稱 正交鏡像濾波器 (QMF)的 小波變換 。 如 圖 4的樹 。 一個(gè)零樹或 者 零樹根指的是該根節(jié)點(diǎn)起始的一裸樹是零樹 ,同時(shí) ,要求 該零樹不是一裸更大零樹的子集 ,即 若某節(jié)點(diǎn)是零樹根節(jié)點(diǎn) ,它的父節(jié)點(diǎn)一定不是零樹根 。 EZW 編碼方法的基本思想 EZW算法采用零樹量化的方法。 EZW算法采用 零樹 結(jié)構(gòu)的 形式 來 進(jìn)行掃描 ,從而實(shí)現(xiàn)對小波有效系數(shù) 的組織，利用不同頻率子帶系數(shù)間的相似特性取得了較好的效果。當(dāng)圖像光滑時(shí)，濾波器的消失矩越大，產(chǎn)生的小波變換系數(shù)越小，及小波變換后的能量越集中于低頻分量，因而更有利于圖像的壓縮。 （ 4）正則性 正則性是對函數(shù)光滑程度的一種描述，也是函數(shù)頻域能量集中度的一種度量。與單正交小波不同，雙正交小波基有兩個(gè)尺度函數(shù)和兩個(gè)小波函數(shù)構(gòu)成。但是 Harr小波基的局部化性能很差，很少用于實(shí)際應(yīng)用。Daubechies已證明，除 Harr小波外，一切具有緊支集的規(guī)范正交小波基及與之相關(guān)的尺度函數(shù)都不可能以實(shí)軸上的任何點(diǎn)為對稱軸或反對稱軸。對圖像進(jìn)行小波變換時(shí)，需要對圖像的邊界數(shù)據(jù)進(jìn)行周期延拓，對于線性相位的小波基，通過周期延拓，重建信號(hào)在邊界處不會(huì)產(chǎn)生較大失真，而對于非線性相位的小波基，邊界數(shù)據(jù)失真則比較明顯，會(huì)導(dǎo)致巨大的感官誤差。但是一個(gè)函數(shù)不可能在時(shí)域和頻域都是緊支的，最多有一個(gè)是緊支的，另一個(gè)是急衰的，一般希望小波基能夠在時(shí)域上具有緊支性。 [6]馮偉光 小波基的選取要考慮以下幾個(gè)因素： （ 1）緊支 集 性 如果尺度函數(shù)和小波函數(shù)是緊支撐的，則對應(yīng)的 H,G濾波器是有限沖擊響應(yīng)（ FIR）濾波器，信號(hào)在分解和重構(gòu)快速算法中的運(yùn)算量是有限的。 (5)獨(dú)立性 使我們不需要太多的基元素 ,即可匹配信號(hào)的同一成分 表 小波基所對應(yīng)的濾波器的性質(zhì)與圖像壓縮的關(guān)系 雖然任何實(shí)正交的小波所對應(yīng)的濾波器均可以實(shí)現(xiàn)圖像的合成與分解，可是并不是所有的分解均可以滿足我們的要求。 (2) 快速疊加 與基函數(shù)的疊加鄉(xiāng)保持重構(gòu)的低復(fù)雜度 (3) 良好的時(shí)間和空間局部化 使我們能夠確定信號(hào)的主要成分 。在實(shí)際應(yīng)用中，常放棄正交性條件，選擇使用雙正交小波。 但是，并非所有的小波基都適用于圖像壓縮，小波函數(shù)的線性相位 、 緊支集 、正交 性 、消失矩、平滑特性 等對圖像的壓縮效果有很重要的影響。 但到目前為止，還 沒有找到對所有圖像來說都 是 最優(yōu)的小波基， 因此尋找適合所有圖像的最優(yōu)基是一個(gè)很有價(jià)值的研究課題 。 圖像壓縮中小波基的選擇問題 圖像分解時(shí)所選取的小波基直接影響小波系數(shù)的分布，因此討論小波基的選取具有十分重要的意義。 基于 小波變換的圖像壓縮方法可以如下圖形象的所展示出來： 圖 基于小波變換的圖像壓縮方法基本流程 小波變換具有優(yōu)秀的時(shí)域 —— 頻域特性，上圖形象的展示出圖像數(shù)據(jù)在時(shí)域、頻域上的分布規(guī)律。 （ 1）原圖 （ 2）一級(jí)變換 （ 3）二級(jí)變換 （ 4）三級(jí)變換 （ 5）四季變換 （ 6）五級(jí)變換 圖 Daubechies 9/7 小波提升算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表（圖像大小： 256 256， PSNR 單位 :db） 級(jí)數(shù) PSNR大小 1 2 3 4 5 4 基于小波變換的圖像壓縮方法 從 1989年 人們首次將小波變換用于圖像處理 以來 ，基于小波變換的圖像壓縮方法已經(jīng)逐漸的收到人們的重視，在這個(gè)領(lǐng)域有很多人都做出了突出的貢獻(xiàn)。 只要稍微調(diào)整正變換中的正負(fù)號(hào)就可以實(shí)現(xiàn)。 傳統(tǒng)的快速小波變換是把信號(hào)分解成高通部分與低通部分，并在這種情況下進(jìn)行抽樣，然后對低通部分重復(fù)上述 過程 ，直 到所需級(jí)數(shù) 。 不需要輔助存儲(chǔ)器，原圖像可被小波變換的結(jié)果所覆蓋。 ○ 3 比例計(jì)算： ( ) ( )1 ,1 1 ,1 1 ,1 1 ,1/,MMs s k d d k?? 反變換是 正向變換 按照 相反的次序分別進(jìn)行的逆運(yùn)算。 (0)1,1 0,21 1ds?? 。 這種按照下標(biāo) k的奇、偶性進(jìn)行索引抽樣稱為 Lazy抽樣， 1c 稱為 Lazy 小波。 第三部分：提升過程：假如用相鄰的小波系數(shù)提升，則1 , 1 , 1 , 1 , 1()k k k ka a A c c ?? ? ?。 第一部分 :分裂過程： 1 , 0 , 2 1 , 0 , 2 1,k k k ka a c a k Z?? ? ? 第二部分 :預(yù)測過程 ：假設(shè)奇樣本點(diǎn)的 值是 相鄰的倆個(gè)偶樣本點(diǎn)的平均值，即：1 , 1 , 1 , 1 , 11 ()2k k k kc c a a ?? ? ?。 其原理可如圖所示： 圖 提升格式示意圖 （ 2）逆向提升方法的基本過程： 逆向提升方法其實(shí)是一個(gè)還原過程，即由 a1和 c1來還原 a0。 ○ 2 預(yù)測過程：用 a1中的數(shù)據(jù)來預(yù)測 c1中的數(shù)據(jù)，預(yù)測算子記作 P，用預(yù)測值與真實(shí)值的 差 來替代原來的 c1，即： 1 1 1()c c P a?? （ ） 預(yù)測形成新的 c1。 （ 1） 正向提升方法的過程 : ○ 1 分裂過程：將原始數(shù)據(jù)集合 a0分解為不相交的倆個(gè)集合 a1， c1。 提升 算法的基本方法 提升小波變換 （ 5） 的主要步驟可以分為三步：分裂、預(yù)測和提升。 維姆（ Wim Sweldens）提出了一種具有更廣泛意義的小波，該種不僅小波保留了第一代小波的優(yōu)良性質(zhì)，而且 不 必通過對一個(gè) 特殊 函數(shù) 2()LR進(jìn)行平移和伸縮 ,因此獲得了具有更為廣泛意義的性質(zhì)。而在復(fù)頻域，伸縮與平移運(yùn)算就變成了代數(shù)運(yùn)算，因此第一代小波變換的很多性質(zhì)是通過傅里葉變換來進(jìn)行描述。 （ 2） 平均值要為零，即 ( ) 0t dt????? ??，而且 ()t? 的高階矩陣也要為零 。 二維連續(xù)小波可以定義如下： , 1 2, ( , , )a b ff w a b b?? ?? 1 2 , 1 2 1 2( , ) ( , )abf t t t t d t d t?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?1 2 1 21 2 , 1 2,1( , ) ( )ab t t b bf t t d t d taa?? ? ? ?? ? ? ??? ?? （ ） 上式中 a0,其逆變換為 ： 31 2 1 2 , 1 2 1 21( , ) ( , , ) ( , )f a bf t t a w a b b t t d a d b d bC? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??? （ ） , 1 2( , )abtt? 是一個(gè)二維基本小波 。離散小波的定義可以由下面式子表示 : ,00 20 0 0001( ) ( ) ( )mnmm mmmt n b at a a t n baa? ? ?? ??? ? ? （ ） 與之相對應(yīng)的離散小波變換可由下式定義： 22, 0 , 0 0 0, ( ) ( ) ( ) (