【正文】 (2． 1． 8)式說明系統(tǒng)受到一個(gè) 非完整約束 。非完整約束又分為 一階線性非完整約束 、 一階非線性非完整約束 、 二階非完整約束 等。約束方程中 顯含 時(shí)間 t的約束稱為 非定常約束 。 )(2222 tlzyx ???(2． 1． 12) 2222 lzyx ??? (2． 1． 11) 例如由方程 所確定的約束為 定常約束 。試討論 M的約束。其約束方程為 x2+y2＝ (l0vt)2 (2． 1． 13) 顯然， M所受的約束 是非定常約束 。然而，根據(jù)問題的不同， 不一定非得 采用長(zhǎng)度坐標(biāo)參數(shù)來描述系統(tǒng)的幾何位置。 這就是說 ， 動(dòng)點(diǎn) M的幾何位置可以用 不同的參數(shù)組來描述 ， 即有了選擇參數(shù)的余地 。 廣義坐標(biāo)的概念 所謂 廣義坐標(biāo) ， 就是選擇 一組互相獨(dú)立的參數(shù) q1，q2,… ， qn． 只要它們能夠確定系統(tǒng)的位形 ， 而不管這些參數(shù)的幾何意義如何 。 因此 ， 上述中的 (x， y)， (φ ， r)， (A， φ )等都可以作為描述 M點(diǎn)的位形的廣義坐標(biāo) 。 廣義坐標(biāo)可以用下面的 通式 表示 ri＝ ri(q1， q2， … ， qn,t) (2． 2． 1) 式中 ， ri表示系統(tǒng)中第 i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位形 ； qj(j＝ 1， 2,… n)和 t是廣義坐標(biāo) 。 0),( 111111 ?tzyxzyxzyxzyxf NNNNNNk ????????xi＝ xi(q1， q2， … ， qn,t) yi＝ yi(q1， q2， … ， qn,t) zi＝ zi(q1， q2， … ， qn,t) 速度的廣義坐標(biāo)表示 (1)速度的廣義坐標(biāo)表示 設(shè) N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)有 n個(gè)廣義坐標(biāo) qj(j＝ 1,… ,n),且 qj＝qj(t)， 則系統(tǒng)中第 i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度是 式中，相應(yīng)地 稱為 廣義速度 。 (2． 2． 7) ?????c o ss ins inc o ss inrzryrx??? (2． 2． 6) M點(diǎn)的位置是 ??? 222222222 s i n??????? rrrzyxv ?????? (2． 2． 8) M點(diǎn)的速度為 ??????????????????????????????s i nc o sc o ss i ns i nc o ss i ns i ns i ns i nc o sc o sc o ss i nrrzrrryrrrx????????于是 M點(diǎn)的速度為 (2)用廣義坐標(biāo)表示的非完整約束方程 一階線性非完整約束方程已由 (2． 1． 9)式給出： 把第 i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度的廣義坐標(biāo)分量代入該式得到 0)( ????? ???? dzcybxa iiiiiNii ???),2,1( k???0)(111??????????????????????????????????????????? ??????????? dtzqqzctyqqybtxqqxa ijnj jiiijnj jiiijnj jiNii ???0)()(1??????????????????? ?? ????????? dtzctybtxaqqzcqybqxa iiiiiNiinjjjiijiijiNii ??????????dtzctybtxaBqzcqybqxaAiiiiiNiiNi jiijiijiij??????????????????????)()(101?????? BqAnjjj ?01????dtBdqAnjjj ??圖 26 微分和變分 2． 2． 3 坐標(biāo)變分和自由度 坐標(biāo)的變分與坐標(biāo)的微分是兩個(gè)不同的概念。也就是系統(tǒng)的可能運(yùn)動(dòng) (圖中的虛線所示 )與真實(shí)運(yùn)動(dòng)在某時(shí)刻的差，記作 δ qj 既有 不同點(diǎn) ，也有 共同點(diǎn) 。 自由度計(jì)算 我們把系統(tǒng)獨(dú)立的坐標(biāo)變分?jǐn)?shù)稱為 系統(tǒng)的自由度 。這些坐標(biāo)自然相互獨(dú)立，其變分也相互獨(dú)立，故 自由度為 3N。 如果系統(tǒng)為 非完整系統(tǒng) 、假設(shè)該系統(tǒng)除了 k個(gè)完整約束 之外，還受到 l個(gè)非完整約束 ，該系統(tǒng)獨(dú)立的坐標(biāo)數(shù)為 3Nk個(gè)，但其獨(dú)立的坐標(biāo)變分?jǐn)?shù)只有 3Nkl個(gè) (由于 l個(gè)微分形式約束的存在 )，故 系統(tǒng)的自由度為 3Nkl個(gè) 。 自由度計(jì)算 綜上所述，若一個(gè)系統(tǒng)的 廣義坐標(biāo)數(shù)為 n，則： 完整系統(tǒng) : n =獨(dú)立的坐標(biāo)數(shù) ＝獨(dú)立的坐標(biāo)變分?jǐn)?shù) ＝系統(tǒng)的自由度。 n ≠系統(tǒng)的自由度 例 2． 5 一平面曲柄 滑塊 機(jī)構(gòu) ， A、 B兩點(diǎn)的位置可確定系統(tǒng)的位形 ， 分析其自由度 。若選取 φ為廣義坐標(biāo)，當(dāng) φ給定時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的位形也就確定了。 今 ABo轉(zhuǎn)到 A’B’O，存在一通過固定點(diǎn)的軸 OC，當(dāng) 0A繞 OC轉(zhuǎn)過一 ζ角到達(dá) 0A’時(shí)， ABO與 A’B’O一定完全重合， 這種轉(zhuǎn)動(dòng)通常稱為 剛體的一次轉(zhuǎn)動(dòng) 或 歐拉轉(zhuǎn)動(dòng) ， OC即為 一次轉(zhuǎn)軸 或 歐拉轉(zhuǎn)軸 。 靜錐和動(dòng)錐 如果將剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)過程分為 若干時(shí)間間隔 ，每一時(shí)刻歐拉轉(zhuǎn)軸的位置顯然是不同的 。 瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸位置的不斷變化 在空間形成了以定點(diǎn) O為頂點(diǎn)的錐面，稱之為 靜瞬時(shí)錐面 ，簡(jiǎn)稱 靜錐 。 剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的過程 剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的過程可以看成是 一系列以角速度ω i繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成 。 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的速度和加速度 當(dāng)剛體相對(duì)某動(dòng)參考系以 ω 1轉(zhuǎn)動(dòng)．而此動(dòng)參考系又以 ω 2相對(duì)定參考系轉(zhuǎn)動(dòng)，則剛體的運(yùn)動(dòng)可以看成繞某個(gè) OC軸以角速度 ω＝ ω1十 ω2作轉(zhuǎn)動(dòng)， OC即為 ω的方向。 設(shè)剛體的瞬時(shí)角速度為 ω， 則剛體上相對(duì)定點(diǎn)的向徑為r的點(diǎn)的速度為 rωrv ??? dtd() () vωrεdtdva ?????其中， 為剛體的角加速度； 稱為轉(zhuǎn)動(dòng)加速度； 稱為向心加速度。 ?剛剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的方向余弦描述 ?剛剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉角描述 ?剛剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的廣義歐拉角描述 圖 33 i和 j 坐標(biāo)系 (1)方向余弦矩陣 假設(shè)以參考空間某一點(diǎn) O為原點(diǎn)，有兩個(gè)笛卡爾直角坐標(biāo)系 oξεδ (簡(jiǎn)稱 i系 )和 oxyz(簡(jiǎn)稱 j系 )， 各坐標(biāo)軸之間夾角的余弦值構(gòu)成了一個(gè)方向余弦矩陣 A，它可以表示兩坐標(biāo)系之間的 空間關(guān)系 。用 Qi＝ (Qξ ， Qλ ， Qζ )’表示 Q在 i系中的位置，用 Qj＝ (Qx， Qy， Qz)表示 Q在 j系中的位置 ,則 Qj可用 Qi來表示為 ?????????QnQmQlnQmQlnQmQlQzyx333222111????????? 三個(gè)分量在某軸上的投影之和 iijzyxj QAQnmlnmlnml ????????????????????????????????????333222111其中 l m n1分別為 j系的 x軸與 i系的 ξ 、 η 、 ζ三個(gè)軸夾角的余弦值。 矩陣形式： 同理 ， Qi可用 Qj來表示為 jjii QAQ ?() 圖 33 i和 j 坐標(biāo)系 例 例 3． 1 設(shè)在慣性空間有一固定不動(dòng)的向量 Q，在 i系中的位置為ri＝ (0， 1， 0)T．當(dāng)坐標(biāo)系統(tǒng) ξ軸轉(zhuǎn)動(dòng) 90176。 圖 34 解：因?yàn)?j系相對(duì) i系的方向余弦矩陣 ???????????????????????010100001333222111nmlnmlnmlA ij???????????????????????????????????100010010100001iijj rAr圖 35 例 例 3． 2 在上例中，若 Q與 j系固連，當(dāng) j系從與 i系重合狀態(tài)繞ξ 軸正向轉(zhuǎn)動(dòng) 90176。 解：因 Q與 j系固連 ， 所以 rj＝ (0， 1， 0)T 由上例已知， j系繞 ξ 軸正向轉(zhuǎn)動(dòng) 90176。 ，即 ????????????010100001ij A????????????010100001ji A??????????????????????????????????100010010100001jjii rAr分析結(jié)論 由上面的例子可以看出，剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，如果我們?cè)诙c(diǎn) O建立兩個(gè)坐標(biāo)系 :一個(gè)為慣性參考系即 定參考系 ，以下簡(jiǎn)稱 定系 ；另一個(gè)為與剛體固連的坐標(biāo)，即 動(dòng)坐標(biāo)系 ，以下簡(jiǎn)稱 動(dòng)系 ，那么． 剛體的空間位置可以通過兩個(gè)坐標(biāo)之間的方向余弦矩陣來描述 。 圖 36 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體坐標(biāo)系 (2)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的合成 根據(jù)前面的討論，剛體的每次轉(zhuǎn)動(dòng)都可以用后次相對(duì)前次的坐標(biāo)變換即 方向余弦 來描述，那么多次轉(zhuǎn)動(dòng)的合成如何用 方向余弦矩陣 來描述？ 用 Q表示剛體，假設(shè)開始時(shí)動(dòng)系 oxyz與定系 oξ ε δ 重合，剛體第一次轉(zhuǎn)動(dòng)之后動(dòng)系為ox1y1z1 (1系 )，第二次轉(zhuǎn)動(dòng)之后動(dòng)系為 ox2y2z2 (2系 )， Q相對(duì)定系為 ro，相對(duì) 1系為 r1；相對(duì) 2系為 r2， 1系相對(duì)定系、 2系相對(duì)1系的方向余弦矩陣分別為 1A0和 2A1， 圖 37 剛體的連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng) 連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣 0011 rAr ? 1122 rAr ? 002022122 rrr AAA ??011202 AAA ? 211020 AAA ?2A0表示 2系相對(duì)定系的空間關(guān)系， 0A2表示定系相對(duì) 2系的空間關(guān)系。多次轉(zhuǎn)動(dòng)也具有同樣的變換規(guī)律 。動(dòng)系 0xyz開始時(shí)與定系重合。 ，得到動(dòng)系 ox1y1z1； 第二次 接著繞 y1軸轉(zhuǎn) 90176。求合成轉(zhuǎn)動(dòng)的 方向余弦矩陣 2A0，并求 Q在 ox2y2z2中的位置 (見圖 38)。也就是說，在一般情況下，順序是不可交換的，即 B1B2≠B 2Bl 三次連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng) 假設(shè)： 第一次繞 x軸轉(zhuǎn)過 α 角， 第二次繞 y1軸轉(zhuǎn)過 β 角， 第三次繞 z2軸轉(zhuǎn)過 γ 角 每次動(dòng)系相對(duì)前一次動(dòng)系 的變換矩陣： 考慮更一般的情況，具有固定點(diǎn)的剛體作 三次連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng) ?????????????????csscA00001?????????????????csscA00100????????????10000????? csscA三次合成的結(jié)果 A 角度 (如 α 角 )的正弦和余弦記為 sα 和 cα 繞動(dòng)系坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的三次合成 ??????????????????????????????????????????????????cccssssccssssccsc