2007-2009全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題詳解___復(fù)習(xí)必備-在線瀏覽
2025-03-03 11:49本頁面
【正文】 ．已知函數(shù)的圖像與直線 有且僅有三個交點，交點的橫坐標的最大值為，求證： ．[證] 的圖象與直線 的三個交點如答13圖所示，且在內(nèi)相切，其切點為，．…5分 由于，所以，即．…10分因此 …15分 ． …20分14．解不等式:．[解法一] 由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價于． 即 ． …5分分組分解 ， …10分所以 ， ?。? …15分所以，即．故原不等式解集為． …20分[解法二] 由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價于． …5分即， ， …10分令，則不等式為， 顯然在上為增函數(shù)，由此上面不等式等價于 ， …15分即，解得 故原不等式解集為． …20分答15圖15．如題15圖，是拋物線上的動點，點在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最小值．[解] 設(shè)，不妨設(shè)．直線的方程:，化簡得 ．又圓心到的距離為1， ， …5分故，易知，上式化簡得， 同理有． …10分所以，則．因是拋物線上的點，有，則 ，． …15分所以．當時，上式取等號，此時．因此的最小值為8． …20分2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試（A卷）試題參考答案及評分標準說明：1．評閱試卷時，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，10分為一個檔次，不要增加其他中間檔次．一、（本題滿分50分）如題一圖，給定凸四邊形，是平面上的動點，令．（Ⅰ）求證：當達到最小值時，四點共圓；（Ⅱ）設(shè)是外接圓的上一點，滿足：，又是的切線，求的最小值．答一圖1[解法一] （Ⅰ）如答一圖1，由托勒密不等式，對平面上的任意點，有 ．因此 ．因為上面不等式當且僅當順次共圓時取等號，因此當且僅當在的外接圓且在上時，． …10分又因，此不等式當且僅當共線且在上時取等號．因此當且僅當為的外接圓與的交點時，取最小值．故當達最小值時，四點共圓． …20分（Ⅱ）記，則，由正弦定理有，從而，即，所以，整理得， …30分解得或（舍去），故，． 由已知=,有，即，整理得，故，可得，………40分從而，為等腰直角三角形．因，則．又也是等腰直角三角形，故，．故． …50分[解法二] （Ⅰ）如答一圖2，連接交的外接圓于點（因為在圓外，故在上）．答一圖2過分別作的垂線，兩兩相交得，易知在內(nèi)，從而在內(nèi)，記之三內(nèi)角分別為，則，又因，得，同理有，所以∽． …10分設(shè)，則對平面上任意點，有 ，從而 ．由點的任意性，知點是使達最小值的點．由點在上，故四點共圓． …20分（Ⅱ）由（Ⅰ），的最小值 ，記，則，由正弦定理有，從而，即，所以，整理得， …30分解得或（舍去）， 故，． 由已知=,有，即，整理得，故，可得，…40分所以，為等腰直角三角形，因為，點在⊙上，所以為矩形，故，所以． …50分[解法三] （Ⅰ）引進復(fù)平面，仍用等代表所對應(yīng)的復(fù)數(shù)．由三角形不等式，對于復(fù)數(shù)，有 ，當且僅當與（復(fù)向量）同向時取等號．有 ，所以 （1） ，從而 ． （2） …10分（1）式取等號的條件是 復(fù)數(shù) 與同向，故存在實數(shù)，使得 ， ，所以 ，向量旋轉(zhuǎn)到所成的角等于旋轉(zhuǎn)到所成的角，從而四點共圓．（2）式取等號的條件顯然為共線且在上．故當達最小值時點在之外接圓上，四點共圓． …20分（Ⅱ）由（Ⅰ）知．以下同解法一．二、（本題滿分50分）設(shè)是周期函數(shù)，和1是的周期且．證明：（Ⅰ）若為有理數(shù)，則存在素數(shù)，使是的周期；（Ⅱ）若為無理數(shù)，則存在各項均為無理數(shù)的數(shù)列滿足 ，且每個都是的周期．[證]?。á瘢┤羰怯欣頂?shù)，則存在正整數(shù)使得且，從而存在整數(shù)，使得 ．于是是的周期． …10分又因，從而．設(shè)是的素因子，則，從而 是的周期． …20分（Ⅱ）若是無理數(shù)，令 ，則，且是無理數(shù)，令 ，…… ， ………30分由數(shù)學(xué)歸納法易知均為無理數(shù)且．又，故，即．因此是遞減數(shù)列． …40分最后證：每個是的周期．事實上，因1和是的周期，故亦是的周期．假設(shè)是的周期，則也是的周期．由數(shù)學(xué)歸納法，已證得均是的周期． …50分三、（本題滿分50分）設(shè)，．證明：當且僅當時，存在數(shù)列滿足以下條件：（?。?，；（ⅱ）存在；（ⅲ），． [證] 必要性：假設(shè)存在滿足（ⅰ），（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化為 ， 其中．將上式從第1項加到第項，并注意到得 ． …10分由（ⅱ）可設(shè)，將上式取極限得 ，因此． …20分充分性：假設(shè)．定義多項式函數(shù)如下： ，則在[0,1]上是遞增函數(shù)，且，．因此方程在[0,1]內(nèi)有唯一的根，且，即．…30分下取數(shù)列為，則明顯地滿足題設(shè)條件（?。?，且 ．因，故，因此，即的極限存在，滿足（ⅱ）． …40分最后驗證滿足（ⅲ），因，即，從而 ．綜上，存在數(shù)列滿足（?。áⅲ?，（ⅲ）． …50分2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題參考答案一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1. 如圖，在正四棱錐P?ABCD中，∠APC=60176。則二面角A?PB?C的平面角的余弦值為（ B ）A. B. C. D. 解：如圖，在側(cè)面PAB內(nèi)，作AM⊥PB，垂足為M。不妨
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