高三數(shù)學(xué)空間中的平行關(guān)系復(fù)習(xí)資料-在線瀏覽
2025-03-03 04:52本頁(yè)面
【正文】 5．兩個(gè)平面的位置關(guān)系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒(méi)有公共點(diǎn)）（1）兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。推論模式：（2）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)（1）如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面；（2）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。試證明三直線BD 、MQ 、NP 共點(diǎn)。∵ O 直線MQ ；直線MQ 平面ABD ，∴ O 平面ABD。點(diǎn)評(píng)：由已知條件，直線MQ 、NP 必相交于一點(diǎn)O ，因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證點(diǎn)O 在直線BD 上，由公理二，就是要尋找兩個(gè)平面，使直線BD 是這兩個(gè)平面的交線，同時(shí)點(diǎn)O 是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)即可．“三點(diǎn)共線”及“三線共點(diǎn)”的問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為證明“點(diǎn)在直線上”的問(wèn)題。同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點(diǎn)．∵兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過(guò)公共點(diǎn)的公共直線，∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線。例2．已知：a，b，c，d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面。d，如圖1所示：∴直線d和A確定一個(gè)平面α?！逜，E∈α，A，E∈a，∴aα?！郺，b，c，d在同一平面α內(nèi)。設(shè)直線c與a，b分別交于點(diǎn)H，K，則H，K∈α。同理可證dα。本題最容易忽視“三線共點(diǎn)”這一種情況。題型2：異面直線的判定與應(yīng)用例3．已知：如圖所示，a b ＝a ，b b ，a b ＝A ，c a ，c ∥a 。又c a ，∴ g 、a 都經(jīng)過(guò)直線c 及其外的一點(diǎn)A，∴ g 與a 重合，于是a g ，又b b。∴ a 、b 、g 為同一平面，這與a b ＝a 矛盾∴ b 、c 為異面直線．證法二：假設(shè)b 、c 共面，則b ，c 相交或平行。（2）若b c ＝P ，已知b b ，c a ，則P 是a 、b 的公共點(diǎn)，由公理2，P a ，又b c ＝P ，即P c ，故a c ＝P ，這與a ∥c 矛盾綜合（1）、（2）可知，b 、c 為異面直線?！? a ∥c ，∴ A c ，在直線b 上任取一點(diǎn)P（P 異于A），則P a（否則b a ，又a a ，則a 、b 都經(jīng)過(guò)兩相交直線a 、b ，則a 、b 重合，與a b ＝a 矛盾）。點(diǎn)評(píng)：證明兩直線為異面直線的思路主要有兩條：一是利用反證法；二是利用結(jié)論“過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．。判定直線異面，若為解答題，則用得最多的是證法一、二的思路；若為選擇或填空題，則往往都是用證法三的思路。例4．（1）已知異面直線a,b所成的角為70，則過(guò)空間一定點(diǎn)O，與兩條異面直線a,b都成60角的直線有( )條A．1 B．2 C．3 D．4（2）異面直線a,b所成的角為,空間中有一定點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O有3條直線與a,b所成角都是60，則的取值可能是（ ）A．30 B．50 C．60 D．90解析：（1）過(guò)空間一點(diǎn)O分別作∥a,∥b。故過(guò)點(diǎn) O與a,b都成60角的直線有4條，從而選D。從而可得選項(xiàng)為C。上面命題中，真命題的序號(hào) （寫出所有真命題的序號(hào)）. 【解析】 考查立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關(guān)定理。證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，則MP∥AB，NQ∥AB。∴Rt△MCP≌Rt△NBQ∴MP=NQ，故四邊形MPQN為平行四邊形∴MN∥PQ∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE。題型4：線面平行的判定與性質(zhì)例7．(2009山東卷理)（本小題滿分12分）E A B C F E1 A1
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