論文冪零矩陣的性質(zhì)與應(yīng)用-在線瀏覽
2025-03-02 18:17本頁面
【正文】 由若干個(gè)若當(dāng)塊組成和準(zhǔn)對(duì)角稱為若當(dāng)形矩陣。滿足的的值稱為矩陣的特征值。，則有，且對(duì)任意的多項(xiàng)式有的特征值為。引理8.,為階復(fù)數(shù)域上的矩陣，若，則存在可逆矩陣，使得 ，3 冪零矩陣的性質(zhì) 冪零矩陣的特性冪零矩陣作為一種特殊的矩陣，自身具有一些特殊的性質(zhì)。證明：設(shè)是任一階冪零矩陣， 使得，由行列式的性質(zhì)得，是退化的，不可逆。證明：因?yàn)闉閮缌憔仃嚕?使得，由引理1知 所以為冪零矩陣。當(dāng)時(shí)，是冪零矩陣；當(dāng)時(shí)，有。又所以是冪零矩陣；因?yàn)樗砸矠閮缌憔仃嚒ＷC明:令是冪零矩陣， 使得，令是的相似矩陣，則存在可逆陣，使得，有．即也是冪零矩陣。證明:為階冪零矩陣，令分別為它們的冪零指數(shù),取。取，因?yàn)? ，有即也是冪零矩陣。證明：設(shè)是數(shù)域F上的冪零矩陣，其指數(shù)是，則。故而，特征矩陣的不變因子為，．由的任意性得知，所有指數(shù)為的冪零矩陣的特征矩陣的不變因子是一致的，即數(shù)域F上的所有指數(shù)為的冪零矩陣彼此相似。證明：（必要性）為冪零矩陣， 存在 使得，設(shè)為的任一特征值，則存在維列向量，有．即 由，所以。（充分性）由的特征值全為知，的特征多項(xiàng)式為，由引理3得， 所以為冪零矩陣。證明：（必要性）由是冪零矩陣知，的特征值全為。 冪零矩陣和若爾當(dāng)塊。若令為的冪零指數(shù)，則 。 故 。證明：為冪零矩陣，由性質(zhì)6，知的特征值全為。即的主對(duì)角線上的元素全為．由引理7知 為冪零矩陣。證明：令是冪零矩陣、是對(duì)角形矩陣， 使得，設(shè)與相似，令 得 則存在逆矩陣，使，有性質(zhì)3知， 所以故 得知．由性質(zhì)6可推出 ：對(duì)角形的冪零矩陣為零矩陣。證明：反證法 假設(shè)線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)， 使，兩邊同時(shí)右乘，得，而 得知；兩邊同時(shí)右乘，得而，得知；依次下去可得，與假設(shè)矛盾。，則非退化。這與為冪零矩陣矛盾。，則不可對(duì)角化。令為的最小多項(xiàng)式，則有, 從而有。即的最小多項(xiàng)式有重根，所以不可對(duì)角化。 由引理7知,即為冪零矩陣。令 且取 ，則有即有可對(duì)角化且為冪零矩陣。，則一定不可逆但有。由性質(zhì)6知，的特征值為。4 冪零矩陣的應(yīng)用 可求冪零矩陣與單位矩陣和的矩陣的逆，求。解： 其中， 求主對(duì)角線上元素完全相同的三角矩陣的逆 ，求。解： 其中 有，由性質(zhì)14得 冪零矩陣在其他方面的應(yīng)用例 ，但，證明與相似。易知，在下的矩陣是所以與相似?？傻门c相似。證明：由是冪零矩陣知，存在可逆矩陣，使得，又因?yàn)榭赡嬷?由知為的特征值，有，故，其中可對(duì)角化，為冪零矩陣，且，證明。由性質(zhì)2知, 是冪零矩陣。 令，則有 。證明：由
研究報(bào)告相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1