第九章循環(huán)碼-在線瀏覽
2024-12-20 12:38本頁(yè)面
【正文】 獲得廣泛應(yīng)用的循環(huán)漢明碼、 BCH碼等。這就是循環(huán)碼的由來(lái)。設(shè)碼字 c＝ （ 1， 2， …， c1， c0） 若將碼元左移一位，得 c (1)＝ （ 2， …， c1， c0， 1） c (1)也是一個(gè)碼字。 如果 c＝ （ 1 2 … c1 c0） 是 （ n， k） 循環(huán)碼的一個(gè)碼字 ， 則 c (1)＝ （ 2 …c1 c0 1） 也是該循環(huán)碼的一個(gè)碼字 。 比較 c(x)和 c (1) (x)后可得 c (1) (x)＝ x c (x), mod xn－ 1 (9－ 2) 以及 c(i) (x)＝ xic (x) （ i＝ 1,2,… ,n－ 1） , mod xn－ 1 (9－ 3) 定理 在以多項(xiàng)式 xn－ 1為模的剩余類全體所構(gòu)成的 n維線性空間 Vn中，其一個(gè)子空間 Vn,k是一個(gè)循環(huán)子空間（循環(huán)碼）的充要條件是： Vn,k是一個(gè)理想。反之，多項(xiàng)式剩余類環(huán)的一個(gè)主理想子環(huán)也一定生成一個(gè)循環(huán)碼。 定理 （ n， k） 循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式 g(x)一定是 xn－ 1的因式： xn－ 1＝ g(x)h(x)。 定義 若一個(gè)循環(huán)碼的所有碼字多項(xiàng)式都是一個(gè)次數(shù)最低的非零首一多項(xiàng)式 g(x)的倍式，則稱 g(x)生成該碼，并稱 g(x)為該碼的生成元或生成多項(xiàng)式。 令 h(x)＝ hkxk＋ hk1xk1＋ … ＋ h1x＋ h0 則 (9－ 5) 為 （ n－ k） ?n階矩陣 ， 稱為碼的 校驗(yàn)矩陣 。要構(gòu)造一個(gè)（ n， k） 循環(huán)碼，就是要在 xn－ 1的因式中找一個(gè) n－ k次的首一多項(xiàng)式g(x)， 它的一切倍式就構(gòu)成一個(gè)（ n， k） 循環(huán)碼。 對(duì)于任意一個(gè) （ n， k） 循環(huán)碼 ， 必有 g(x)h(x)＝ 0 mod xn－ 1 及 G因此，所有線性分組碼的性質(zhì)均適用于循環(huán)碼。 (9－ 6)式指出了系統(tǒng)循環(huán)碼的編碼方法： 首先將信息元多項(xiàng)式m(x)乘以 xnk成為 xnkm(x)； 然后將 xnkm(x)除以生成多項(xiàng)式 g(x)得到余式 r(x)， 該余式就是校驗(yàn)元多項(xiàng)式，從而得到碼字多項(xiàng)式 c(x)＝ xnkm(x)＋ r(x)。用圖 a(x)除以b(x)的運(yùn)算 。 11111223334423??????????xxxxxxxxxxxx11001101110011011110011011長(zhǎng)除法： 多項(xiàng)式的系數(shù)運(yùn)算 實(shí)現(xiàn)以上除法運(yùn)算的除法電路如圖 圖 以 b(x)＝ x3＋ x2＋ 1為除式的除法電路 編碼電路 然后將 xnkm(x)除以生成多項(xiàng)式 g(x)得到余式 r(x)， 該余式就是校驗(yàn)元多項(xiàng)式，從而可得碼字多項(xiàng)式 c(x)＝ xnkm(x)＋ r(x)。作為實(shí)例，圖 g(x)＝ x3＋ x2＋ 1的（ 7， 4）循環(huán)碼的編碼電路。 如信道產(chǎn)生的錯(cuò)誤圖樣是 e， 譯碼器收到的 n重接收矢量是 y， 則表示為 y ＝ c ＋ e 上式也可寫(xiě)成多項(xiàng)式形式： y(x)＝ c(x)＋ e(x) (9－ 7) 循環(huán)碼的譯碼可按以下三個(gè)步驟進(jìn)行： （２） 根據(jù)伴隨式 s(x)找出對(duì)應(yīng)的估值錯(cuò)誤圖樣 ； )(? xe（３） 計(jì)算 ，得到估值碼字 。
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