【正文】 期末）解方程： （ 1）（ x﹣ 5） 2=2（ 5﹣ x） （ 2） x（ x﹣ 3） =4x+6． 【考點(diǎn)】 解一元二次方程 因式分解法． 【分析】 （ 1）先變形得到））（ x﹣ 5） 2+2（ x﹣ 5） =0，然后利用因式分解法解方程； （ 2）先把方程化為一般式，然后利用求根公式法解方程． 【解答】 解：（ 1）（ x﹣ 5） 2+2（ x﹣ 5） =0， （ x﹣ 5）（ x﹣ 5+2） =0， 所以 x1=5， x2=3； （ 2） x2﹣ 7x﹣ 6=0， △ =（﹣ 7） 2﹣ 4 1 （﹣ 6） =73， x= ， 所以 x1= ， x2= ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右邊化為 0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為 0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．也考查公式法解一元二次方程． 18．已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x2+（ m+3） x+m+1=0． （ 1）求證：無論 m 取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根： （ 2）若 x1， x2 是原方程的兩根，且 |x1﹣ x2|=2 ，求 m 的值，并求出此時(shí)方程的兩根． 【考點(diǎn)】 根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】 （ 1）根據(jù)關(guān)于 x 的一元二次方程 x2+（ m+3） x+m+1=0 的根的判別式 △=b2﹣ 4ac 的符號(hào)來判定該方程的根的情況； （ 2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得 x1+x2=﹣（ m+3）， x1?x2=m+1；然后由已知條件 “|x1﹣ x2|=2 ”可以求得（ x1﹣ x2） 2=（ x1+x2） 2﹣ 4x1x2=8，從而列出關(guān)于 m 的方程，通過解該方程即可求得 m 的值；最后將 m 值代入原方程并解方程． 【解答】 （ 1）證明： ∵△ =（ m+3） 2﹣ 4（ m+1） =（ m+1） 2+4， ∵ 無論 m 取何值，（ m+1） 2+4 恒大于 0， ∴ 原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． （ 2） ∵ x1， x2 是原方程的兩根， ∴ x1+x2=﹣（ m+3）， x1?x2=m+1， ∵ |x1﹣ x2|=2 ∴ （ x1﹣ x2） 2=（ 2 ） 2， ∴ （ x1+x2） 2﹣ 4x1x2=8， ∴ [﹣（ m+3） ]2﹣ 4（ m+1） =8∴ m2+2m﹣ 3=0， 解得： m1=﹣ 3， m2=1． 當(dāng) m=﹣ 3 時(shí)，原方程化為： x2﹣ 2=0， 解得： x1= ， x2=﹣ ， 當(dāng) m=1 時(shí)，原方程化為： x2+4x+2=0， 解得： x1=﹣ 2+ ， x2=﹣ 2﹣ ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式．一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a≠ 0， a， b， c 為常數(shù)）的根的判別式 △ =b2﹣ 4ac．當(dāng) △＞ 0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) △ =0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) △＜ 0，方程沒有實(shí)數(shù)根． 19．在一個(gè)不透明的布袋里裝有 4 個(gè)標(biāo)號(hào)為 4 的小球，它們的材質(zhì)、形狀、大小完全相同，小凱從布袋里隨機(jī)取出一個(gè)小球，記下數(shù)字為 x，小敏從剩下的 3 個(gè)小球中隨機(jī)取出一個(gè)小球，記下數(shù)字為 y，這樣確定了點(diǎn) P 的坐標(biāo)（ x，y）． （ 1）請(qǐng)你運(yùn)用畫樹狀圖或列表的方法，寫出點(diǎn) P 所有可能的坐標(biāo)； （ 2）求點(diǎn) P（ x， y）在函數(shù) y=﹣ x+5 圖象上的概率． 【考點(diǎn)】 列表法與樹狀圖法；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 【分析】 （ 1）首先根據(jù)題意畫出表格，即可得到 P 的所以坐標(biāo)； （ 2）然后由表格求得所有等可能的結(jié)果與數(shù)字 x、 y 滿足 y=﹣ x+5 的情況，再利用概率公式求解即可求得答案 【 解答】 解：列表得： y x 1 2 3 4 （ x， y） 1 （ 1， 2） （ 1， 3） （ 1， 4） 2 （ 2， 1） （ 2， 3） （ 2， 4） 3 （ 3， 1） （ 3， 2） （ 3， 4） 4 （ 4， 1） （ 4， 2） （ 4， 3） （ 1）點(diǎn) P 所有可能的坐標(biāo)有：（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 2， 1），（ 2，3），（ 2， 4），（ 3， 1），（ 3， 2），（ 3， 4），（ 4， 1），（ 4， 2），（ 4，3）共 12 種； （ 2） ∵ 共有 12 種等可能的結(jié)果，其中在函數(shù) y=﹣ x+5 圖象上的有 4 種， 即：（ 1， 4），（ 2， 3），（ 3， 2），（ 4， 1） ∴ 點(diǎn) P（ x， y）在函數(shù) y=﹣ x+5 圖象上的概率為： P= ． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率與不等式的性質(zhì)．注意樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率 =所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 20．如圖，在邊長為 1 的正方形組成的網(wǎng)格中建立直角坐標(biāo)系， △ AOB 的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn) O 為原點(diǎn)，點(diǎn) A、 B 的坐標(biāo)分別是 A（ 3， 2）、 B（ 1， 3）． （ 1）將 △ AOB 向下平移 3 個(gè)單位后得到 △ A1O1B1，則點(diǎn) B1 的坐標(biāo)為 （ 1， 0） ； （ 2）將 △ AOB 繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。由 E 為 BC 邊中點(diǎn)， AO=DO，得到 AO= AD， EC= BC，等量代換得到 AO=EC， AO∥ EC，即可得到結(jié)論； （ 2）利用平行四邊形的判定方法得出四邊形 OAEC 是平行四邊形，進(jìn)而得出 △ODC≌△ OFC（ SAS），求出 OF⊥ CF，進(jìn)而得出答案； （ 3）如圖，連接 DE，由 AD 是直徑，得到 ∠ AFD=90176。 ∵ E 為 BC 邊中點(diǎn)， AO=DO， ∴ AO= AD， EC= BC， ∴ AO=EC， AO∥ EC， ∴ 四邊形 OAEC 是平行四邊形； （ 2）如圖 1，連接 OF， ∵ 四邊形 OAEC 是平行四邊形 ∴ AE∥ OC， ∴∠ DOC=∠ OAF， ∠ FOC=∠ OFA， ∵ OA=OF， ∴∠ OAF=∠ OFA， ∴∠ DOC=∠ FOC， 在 △ ODC 與 △ OFC 中， ， ∴△ ODC≌△ OFC（ SAS）， ∴∠ OFC=∠ ODC=90176。 ∵ 點(diǎn) F 為 AE 的中點(diǎn)， ∴ DF 為 AE 的垂直平分線， ∴ DE=AD， 在 △ ABE 與 R△ DCE 中， ， ∴△ ABE≌△ DCE， ∴ AE=DE， ∴ AE=DE=AD， ∴ 三角形 ADE 為等邊三角形， ∴∠ DAF=60176。． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和平行四邊形的判定、切線的判定等知識(shí)，得出 △ ODC≌△ OFC 是解題關(guān)鍵． 23．（ 10 分）（ 2022 秋 ?鄂城區(qū)期末）已知某種產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為每件 40 元，現(xiàn)在的售價(jià)為每件 60 元，每星期可賣出 300 件．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每降價(jià) 1 元，每星期可多賣出 20 件，由于供貨方的原因銷量不得超過 380 件，設(shè)這種產(chǎn)品每件降價(jià) x 元（ x 為整數(shù)），每星期的銷售利潤為 w 元． （ 1）求 w 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x 的取值范圍； （ 2）該產(chǎn)品銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，每星期的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？ （ 3）該產(chǎn)品銷售價(jià)在什么范圍時(shí)，每星期的銷售利潤不低于 6000 元，請(qǐng)直接寫出結(jié)果． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）根據(jù)利 潤 =（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)） 銷售件數(shù)即可求得 W 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）利用配方法求得函數(shù)的最大值，從而可求得答案； （ 3）根據(jù)每星期的銷售利潤不低于 6000 元列不等式求解即可． 【解答】 解：（ 1） w=（ 20﹣ x）（ 300+20x） =﹣ 20x2+100x+6000， ∵ 300+20x≤ 380， ∴ x≤ 4，且 x 為整數(shù)； （ 2） w=﹣ 20x2+100x+6000=﹣ 20（ x﹣ ） 2+6125， ∵ ﹣ 20（ x﹣ ） 2≤ 0，且 x≤ 4 的整數(shù)， ∴ 當(dāng) x=2 或 x=3 時(shí)有最大利潤 6120 元， 即當(dāng)定價(jià)為 57 或 58 元時(shí)有最大利潤 6120 元； （ 3）根據(jù)題意得： ﹣ 20（ x﹣ ） 2+6125≥ 6000， 解得： 0≤ x≤ 5． 又 ∵ x≤ 4， ∴ 0≤ x≤ 4 答：售價(jià)不低于 56 元且不高于 60 元時(shí)，每星期利潤不低于 6000 元． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用以及拋物線的基本性質(zhì)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而來解決實(shí)際問題是解題關(guān)鍵． 24．（ 12 分）（ 2022 秋 ?鄂城區(qū)期末）如圖，已知拋物線 y=x2+bx+c 的圖象與 x軸的一個(gè)交點(diǎn)為 B（ 5， 0），另一個(gè)交點(diǎn)為 A，且與 y 軸交于點(diǎn) C（ 0， 5）． （ 1）求直線 BC 與拋物線的解析式； （ 2）若點(diǎn) M 是拋物線在 x 軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) M 作 MN∥ y 軸交直線BC 于點(diǎn) N，求 MN 的最大值； （ 3）若點(diǎn) P 是拋物線在 x 軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以 BC 為邊作平行四邊形 CBPQ，當(dāng)平行四邊形 CBPQ 的面積為 30 時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式， （ 2）根據(jù)平行于 y 軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案； （ 3）根據(jù)平行四邊形的面積，可得 BD 的長，根據(jù)等腰直角三角形，可得 E 點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得 PQ 的解析式，根據(jù)解方程組，可得答案． 【解答】 解：（ 1）設(shè)直線 BC 的解析式為 y=kx+m，將 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）代入，得 ，解得 ． ∴ 直線 BC 的解析式為 y=﹣ x+5． 將 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）代入 y=x2+bx+c，得 ，解得 ． ∴ 拋物線的解析式 y=x2﹣ 6x+5； （ 2） ∵ 點(diǎn) M 是拋物線在 x 軸下方圖象上的動(dòng)點(diǎn)， ∴ 設(shè) M（ m， m2﹣ 6m+5）． ∵ 點(diǎn) N 是直線 BC 上與點(diǎn) M 橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)， ∴ N（ m， m+5）． ∵ 當(dāng)點(diǎn) M 在拋物線在 x 軸下方時(shí)， N 的縱坐標(biāo)總大于 M 的縱坐標(biāo)． ∴ MN=﹣ m+5﹣（ m2﹣ 6m+5） =﹣ m2+5m=﹣（ m﹣ ） 2+ ． ∴ MN 的最大值是 ． （ 3）如圖 ， 設(shè)平行四邊形 CBPQ 的邊 BC 上的高為 BD，則 BC⊥ BD，可求 BC=5 ， 由平行四邊形 CBPQ 的面積為 30 可得， BC BD=30，從而 BD=3 ． 設(shè)直線 PQ 交 x 軸于 E 點(diǎn)， ∵ BC⊥ BD， ∠ OBC=45176。 △ EBD 為等腰直角三角形， BE= BD=6． ∵ B（ 5， 0）， ∴ E（﹣ 1， 0）． 設(shè)直線 PQ 的解析式為 y=﹣ x+s，將 E 點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得 0=﹣（﹣ 1） +s， 解得 s=﹣ 1， 從而直線 PQ 的解析式為 y=﹣ x﹣ 1． 聯(lián)立直線與拋物線，得 ， 解得 ， ， 故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 2，﹣ 3），（ 3，﹣ 4）． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考察了二次函數(shù)綜合題，（ 2）利用平行于 y 軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵；（ 3）利用等腰直角三角形得出 E 點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵． 九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題 1．如圖所示的物體有兩個(gè)緊靠在一起的圓柱體組成，它的主視圖是（ ） A． B． C． D． 2．拋擲一枚均勻的骰子，所得的點(diǎn)數(shù)能被 3 整除的概率為（ ） A． B． C． D． 3．已知 x=2 是一元二次方程 x2+mx﹣ 2=0 的一個(gè)解，則 m 的值是（ ） A． 1 B．﹣ 1 C．﹣ 3 D． 0 或﹣ 1 4．依次連接菱形的四邊中點(diǎn)得到的四邊形一定是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．三角形 5．在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。方向上的 B 處，則海輪行駛的路程 AB 為（ ）海里． A． 40+40 B． 80 C． 40+20 D． 80 11．二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象如圖所示，則下列判斷中錯(cuò)誤的是（ ） A．圖象的對(duì)稱軸是直線 x=1 B．當(dāng) x＞ 1 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小 C．一元二次方程 ax2+bx+c=0 的兩個(gè)根是﹣ 1， 3 D．當(dāng)﹣ 1＜ x＜ 3 時(shí)， y＜ 0 12．如圖，在矩形 ABCD 中，