【正文】 路的電流并不會趨向無限大，當(dāng)回路中一旦有了電流，磁場作用于桿 ab 的安培力將使 ab桿減速，作用于 cd 桿的安培力使 cd 桿運動． 設(shè)在任意時刻 t， ab 桿和 cd 桿的速度分別為 v1 和 v2（相對地面參考系 S），當(dāng) v v2為正時，表示速度沿 x 軸正方向；若規(guī)定逆時針方向為回路中電流和電動勢的正方向，則因B A A A C A A ????D E I “高中物理參考”收集 第十九屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽題參考解答 第 9 頁 兩桿作切割磁力線的運動而產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢 ? ?21 vv ?? BlE (1) 當(dāng)回路中的電流 i 隨時間的變化率為 ti?? 時，回路中的自感電動勢 tiLL ????E (2) 根據(jù)歐姆定律，注意到回路沒有電阻，有 0?? LEE (3) 金屬桿在導(dǎo)軌上運動過程中，兩桿構(gòu)成的系統(tǒng)受到的水平方向的合外力為零，系統(tǒng)的質(zhì)心作勻速直線運動．設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心的速度為 VC，有 CmVm 20 ?v (4) 得 20v?CV (5) VC 方向與 v0 相同，沿 x 軸的正方向． 現(xiàn)取一新的參考系 S? ，它與質(zhì)心固連在一起，并把質(zhì)心作為坐標(biāo)原點 O? ，取坐標(biāo)軸 xO??與 x 軸平行．設(shè)相對 S? 系，金屬桿 ab 的速度為 u， cd 桿的速度為 u? ，則有 uVC ??1v (6) uVC ???2v (7) 因相對 S? 系，兩桿的總動量為零，即有 0??? ummu (8) 由 (1)、 (2)、 (3)、 (5)、 (6) 、 (7) 、 (8)各式，得 tiLBlu ???2 (9) 在 S? 系中，在 t 時刻，金屬桿 ab 坐標(biāo)為 x? ，在 t＋ ?t 時刻，它的坐標(biāo)為 xx ???? ，則由速度的定義 txu ???? (10) 代入 (9) 式得 iLxBl ????2 (11) 若將 x? 視為 i 的函數(shù)，由（ 11）式知 ix??? 為常數(shù)，所以 x? 與 i 的關(guān)系可用一直線方程表示 biBlLx ??? 2 (12) 式中 b 為常數(shù)，其值待定．現(xiàn)已知在 t＝ ?時刻，金屬桿 ab 在 S? 系中的坐標(biāo) x? ＝021x，這時 i = 0，故得 “高中物理參考”收集 第十九屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽題參考解答 第 10 頁 0212 xiBlLx ??? (13) 或 ?????? ??? 0212 xxLBli (14) 021x表示 t＝ ?時刻金屬桿 ab 的位置． x? 表示在任意時刻 t，桿 ab 的位置，故 ?????? ?? 021xx就是 桿 ab 在 t 時刻相對初始位置的位移，用 X 表示 ， 021 xxX ??? (15) 當(dāng) X0 時， ab 桿位于其初始位置的右側(cè)；當(dāng) X0 時， ab 桿位于其初始位置的左側(cè)．代入 (14)式，得 XLBli 2? (16) 這時作用于 ab 桿的安培力 XL lBiB lF 222???? (17) ab 桿在初始位置右側(cè)時，安培力的方向指向左側(cè)； ab 桿在初始位置左側(cè)時，安培力的方向指向右側(cè)，可知該安培力具有彈性力的性質(zhì)．金屬桿 ab 的運動是簡諧振動，振動的周期 ? ?LlB mT 222π2? (18) 在任意時刻 t， ab 桿離開其初始位置的位移 ?????? ?? ?tTAX π2cos (19) A 為簡諧振動的振幅， ??為初相位，都是待定的常量．通過參考圓可求得 ab 桿的振動速度 ?????? ????????? ?tTTAu π2s inπ2 (20) (19)、 (20)式分別表示任意時刻 ab 桿離開初始位置的位移和運動速度．現(xiàn)已知在 t＝ 0 時刻，ab 桿位于初始位置，即 X = 0 速度 0000 2121 vvvv ????? CVu 故有 ?cos0 A? ?sinπ220 ???????? TAv “高中物理參考”收集 第十九屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽題參考解答 第 11 頁 解這兩式，并注意到 (18)式得 2π3?? (21) 224 00 mLBlTA vv ?? ? (22) 由此得 ab 桿的位移 tTmLBltTmLBlX π2s i n222π3π2c os22 00 vv ??????? ?? （ 23） 由 (15) 式可求得 ab 桿在 S? 系中的位置 tTmLBlxx π2s i n2221 00ab v??? (24) 因相對質(zhì)心，任意時刻 ab 桿和 cd 桿都在質(zhì)心兩側(cè)，到質(zhì)心的距離相等，故在 S? 系中， cd桿的位置 tTmLBlxx ?2s i n2221 00cd v???? (25) 相對地面參考系 S，質(zhì)心以021v?CV的速度向右運動，并注意到（ 18）式，得 ab 桿在地面參考系中的位置 tmLBlmLBltxx ??????????? 2s i n2221 000ab vv (26) cd 桿在 S 系中的位置 tmLBlmLBltx ?????????? 2s i n2221 00cd vv （ 27） 回路中的電流由 (16) 式得 tmLBlLmtTmLBlLBli ?????????? 2s i n2π2s i n222 00 vv (28) 解法Ⅱ： 當(dāng)金屬桿在磁場中運動時，因切割磁力線而產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，回路中出現(xiàn)電流時，兩金屬桿都要受 到安培力的作用，安培力使 ab 桿的速度改變，使 cd 桿運動．設(shè)任意時刻 t，兩桿的速度分別為 v1 和 v2（相對地面參考系 S），若規(guī)定逆時針方向為回路電動勢和電流的正方向，則由兩金屬桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路中，因桿在磁場中運動而出現(xiàn)的感應(yīng)電動勢為 ? ?21 vv ?? BlE (1’) 令 u 表示 ab 桿相對于 cd 桿的速度，有 BluL?E (2’) 當(dāng)回路中的電流 i 變化時，回路中有自感電動勢 EL，其大小與電流的變化率成正比，即有 “高中物理參考”收集 第十九屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽題參考解答 第 12 頁 tiLL ????E (3’) 根據(jù)歐姆定律，注意到回路沒有電阻，有 0?? LEE 由式 (2’)、 (3’)兩式得 tiLBlu ??? (4’) 設(shè)在 t 時刻，金屬桿 ab 相對于 cd 桿的距離為 x? ，在 t＋ ?t 時刻， ab 相對于 cd 桿的距離為 x? ＋ x?? ，則由速度的定義，有 txu ???? (5’) 代入 (4? ) 式得 iLxBl ???? (6’) 若將 x? 視為 i 的函數(shù)，由 (6’)式可知， ix??? 為常量，所以 x? 與 i 的關(guān)系可以用一直線方程表示，即 biBlLx ??? (7’) 式中 b 為常數(shù)，其值待定．現(xiàn)已知在 t＝ ?時刻，金屬桿 ab 相對于 cd 桿的距離為 0x ，這時 i = 0，故得 0xiBlLx ??? (8’) 或 ? ?0xxLBli ??? (9’) 0x 表示 t＝ ?時刻金屬桿 ab 相對于 cd 桿 的位置． x? 表示在任意時刻 t 時 ab 桿 相對于 cd桿 的位置，故 ? ?0xx?? 就是 桿 ab 在 t 時刻相對于 cd 桿的相對位置相對于它們在 t＝ ?時刻的相對位置的位移，即 從 t＝ ?到 t＝ t 時間內(nèi) ab 桿 相對于 cd 桿的位移 0xxX ??? (1039。 105Pa）． 二、 (20 分 ) 兩顆人造衛(wèi)星繞地球沿同一橢圓軌道同向運動，它們通過軌道上同一點的時間相差半個周期．已知軌道近地點離地心的距離是地球半徑 R 的 2 倍，衛(wèi)星通過近地點時的速度 RGM 43?v ，式中 M 為地球質(zhì)量， G 為引力常量．衛(wèi)星上裝有同樣的角度測量儀，可測出衛(wèi)星與任意兩點的兩條連線之間的夾角．試設(shè)計一種測量方案，利用這兩個測量儀測定太空中某星體與地心在某時刻的距離．（最后結(jié)果要求用測得量和地球半徑 R 表示） 三、 (15 分 )?子在相對自身靜止的慣性參考系中的平均壽命 60 ???? ．宇宙射線與大氣在高空某處發(fā)生核反應(yīng)產(chǎn)生一批 ?子，以 v = 的速度（ c 為真空中的光速）向下運動并衰變．根據(jù)放射性衰變定律，相對給定慣性參考系，若 t = 0 時刻的粒子數(shù)為 N(0), t 時刻剩余的粒子數(shù)為 N(t)，則有 ? ? ? ? ?tNtN ?? e0 ，式中 ?為相對該慣性系粒子的平均壽命．若能到達(dá)地面的 ?子數(shù)為原來的 5％ ，試估算 ?子產(chǎn)生處相對于地面的高度h．不考慮 重力和地磁場對 ?子運動的影響． 四、 (20 分 )目前，大功率半導(dǎo)體激光器的主要結(jié)構(gòu)形式是由許多發(fā)光區(qū)等距離地排列在一條直線上的長條狀，通常稱為激光二極管條．但這樣的半導(dǎo)體激光器發(fā)出的是很多束發(fā)散光束，光能分布很不集中，不利于傳輸和應(yīng)用．為了解決這個問題，需要根據(jù)具體應(yīng)用的要求，對光束進(jìn)行必需的變換（或稱整形）．如果能把一個半導(dǎo)體激光二極管條發(fā) 出的光變換成一束很細(xì)的平行光束，對半導(dǎo)體激光的傳輸和應(yīng)用將是非常有意義的．為此，有人提出了先把多束發(fā)散光會聚到一點，再變換為平行光的方案，其基本原理可通過如下所述的簡化了的情況來說明． 如圖， S S S3 是等距離（ h）地排列在一直線上的三個點光源，各自向垂直于它們的連線的同一方向發(fā)出半頂角為 ? =arctan? ?41 的圓錐形光束．請使用三個完全相同的、焦距為 f = 、半徑為 r = h 的圓形薄凸透鏡，經(jīng)加工、組裝成一個三者在同一平面內(nèi)的組合透鏡，使三束光都能全部投射到這個組合透鏡上，且經(jīng)透鏡折射后的光線能全部會聚于 z 軸（以 S2 為起點，垂直于三個點光源連線，與光束中心線方向相同的射線）上距離 S2 為 L = h 處的 P 點．（加工時可對透鏡進(jìn)行外形的改變，但不能改變 透鏡焦距．） 1．求出組合透鏡中每個透鏡光心的位置． 2．說明對三個透鏡應(yīng)如何加工和組裝，并求出有關(guān)數(shù)據(jù)． 五、 (20 分 )如圖所示，接地的空心導(dǎo)體球殼內(nèi)半徑為 R，在空腔內(nèi)一直徑上的 P1 和 P2處，放置電量分別為 q1 和 q2 的點電荷， q1＝ q2＝ q，兩點電荷到球心的距離均為 a．由靜電感應(yīng)與靜電屏蔽可知：導(dǎo)體空腔內(nèi)表面將出現(xiàn)感應(yīng)電荷分布，感應(yīng)電荷電量等于－2q．空腔內(nèi)部的電場是由 q q2 和兩者在空腔內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的．由于我們尚不知道這些感應(yīng)電荷是怎樣分布的，所以很難用場強疊加原理直接求得腔內(nèi)的電勢或場強．但理論上可以證明，感應(yīng)電荷對腔內(nèi)電場的貢獻(xiàn)，可用假想的位于腔外的（等效）點電荷來代替（在本題中假想 (等效 )L S1 S3 P ????S2 ??h h z r P2 P1 ??R A O a a “高中物理參考”收集 第十九屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽題參考解答 第 16 頁 點電荷應(yīng)為兩個），只要假想的（等效）點電荷的位置和電量能滿足這樣的條件，即：設(shè)想將整個導(dǎo)體殼去掉，由 q1 在原空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷的假想（等效）點電荷 1q? 與 q1 共同產(chǎn)生的電場在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點的電勢皆為 0；由 q2 在原空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷的假想（等效）點電荷 2q? 與 q2共同產(chǎn)生的電場在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點的電勢皆為 0．這樣確定的假想電荷叫做感應(yīng)電荷的等效電荷，而且這樣確定的等效電荷是唯一的．等效電荷取代感應(yīng)電荷后，可用等效電荷 1q? 、 2q? 和 q q2 來計算原來導(dǎo)體存在時空腔內(nèi)部任意點的電勢或場強． 1．試根據(jù)上述條件，確定假想等效電荷 1q? 、 2q? 的位置及電量． 2．求空腔內(nèi)部任意點 A 的電勢 UA．已知 A 點到球心 O 的距離為 r， OA 與 1OP 的夾角為 ??． 六、 (20 分 )如圖所示，三個質(zhì)量都是 m 的剛性小球 A、 B、 C 位于光滑的水平桌面上（圖中紙面）， A、 B 之間， B、 C 之間分別用剛性輕桿相連，桿與 A、 B、 C 的各連接處皆為“鉸鏈?zhǔn)健钡模ú荒軐π∏虍a(chǎn)生垂直于桿方向的作用力）．已知桿 AB 與 BC 的夾角為??? ， ?? ?/2． DE 為固定在桌面上一塊擋板，它與 AB 連線方向垂直．現(xiàn)令 A、 B、 C 一起以共同的速度 v 沿平行于 AB 連線方向向 DE 運動，已知在 C 與擋板碰撞過程中 C 與擋板之間無摩擦力作用，求碰撞時當(dāng) C 沿垂直于 DE 方向的速度由 v 變?yōu)?0 這一極短時間內(nèi)擋板對 C 的沖量的大?。? 七、（ 25 分）如圖所示，有二平行金屬導(dǎo)軌，相距 l，位于同一水平面內(nèi)（圖中紙面），處在