【正文】 “ 25□ 79這個數的□內填上一個數字 ,使這個數能被 11整除 ,方格內應填 _____。 解析：這個數奇數位上數字和與偶數位上數字和之差是 0 或是 11的倍數 ,那么這個數能被 11整除 .偶數位上數字和是 5+7=12,因而 ,奇數位上數字和 2+□ +9 應等于 12,□內應填 1229=1。 答案： 990。要能被 3 整除 ,又要是最大的三位數 ,這個數是 990。 答案： 99960。所以 ,能同時被 7 整除的最大五位數是 99960。它減去 70仍然是 70 的倍數 ,所以能被 2,5,7整除的最大五位數是10003070=99960。 答案： 3367。 (1+2+3+? +100)（ 3+6+9+12+? +99） =(1+100)? 2?100(3+99)? 2?33 =50501683 =3367 。 答案： 1665。 7. 已知一個五位數□ 691□能被 55整除 ,所有符合題意的五位數是 _____。 解析：五位數 BA691 能被 55 整除 ,即此五位數既能被 5整除 ,又能被 11整除。當 B=0時 , 6910A 能被 11整除 ,所以 (A+9+0)(6+1)=A+2能被 11整除 ,因此 A=9；當 B=5 時 ,同樣可求出 A=4。 （二）解答題 8. 173□是個四位數字，數學老師說 ：“我在這個□中先后填入 3個數字 , 所得到的 3 個四位數 ,依次可被 1 6 整除。 ∵能被 11 整除的四位數的個位與百位的數字和減去十位與千位的數字和所得的差能被 11 整除。 ∵能被 6整除的自然數是偶數 ,并且數字和能被 3 整除 , 而 1+7+3+□ =11+□ , ∴ □內只能填 4。 9．在 1992 后面補上三個數字，組成一個七位數，使它們分別能被 11整除，這個七位數最小值是多少？ 解析：設補上的三個數字組成三位數 abc ,由這個七位數能被 2,5 整除 ,說明 c=0； 由這個七位數能被 3 整除知 1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被 11整除，從而 a+b 能被 3整除；由這個七位數又能被 11 整除，可知 (1+9+a+c)(9+2+b)=ab1 能被 11 整除；由所組成的七位數應該最小 ,因而取 a+b=3,ab=1,從而 a=2,b=1。 [注 ]小朋友通常的解法是 :根據這個七位數分別能被 2,3,5,11 整除的條件 ,這個七位數必定是 2,3,5,11 的公倍數 ,而 2,3,5,11 的最小公倍數是 2? 3? 5? 11=330。 10．在“改革”村的黑市上 ,人們只要有心 ,總是可以把兩張任意的食品票換成 3 張其他票券 ,也可以反過來交換。 由于瓦夏原有 100張票 ,最后還有 100張票 ,所以他作了多少次“兩換三” ,那么也就作了多少次“三換兩” ,因此他一共出手了 2k+3k=5k 張票 ,而 1991 不是 5的倍數。 答案： 9， 1， 2。 在一位自然數中 ,質數有 7，合數有 9，所以既不是合數又不是質數的為 1。 2. 最小的質數與最接近 100的質數的乘積是 _____。 解析：最小的質數是 2,最接近 100 的質數是 101,它 們的乘積是 2?101=202。 答案： 420。 4. 在下式□中分別填入三個質數 ,使等式成立。 解析：接近 50 的質數有 43,再將 7分拆成質數 2與質數 5的和 .即 2+5+43=50。 [注 ]填法不是唯一的，如也可以寫成 41+2+7=50。 答案： 11,12,13。 6. 找出 1992 所有的不同質因數 ,它們的和是 _____。 解析：先把 1992 分解質因數 ,然后把不同質數相加 ,求出它們的和。它們的和是 2+3+83=88。 答案： 210。 (二）解答題 8． 2， 3， 5， 7， 11，?都是質數，也就是說每個數只以 1 和它本身為約數。問這個長方形的面積至多是多少個平方單位 ? 答案：由于長 +寬是 36? 2=18， 將 18表示為兩個質數和 18=5+13=7+11， 所以長方形的面積是 5?13=65 或 7?11=77， 故長方形的面積至多是 77 平方單位。 答案：先把 7， 14,20,21,28,30分解質因數 ,看這六個數中共有哪幾個質因數 ,再分攤在兩組中 ,使兩組數乘積相等。 六個數可分成如下兩組 (分法是唯一的 ): 第一組 : 2和 30 第二組： 1 21和 20 且 7?28?30=14?21?20=5880 滿足要求。實質上是要求兩組里所含質因數相同 ,相同的質因數出現的次數也相同。 四 約數與倍數 1． 28的所有約數之和是 _____。 解析： 28的約數有 1,2,4,7,14,28,它們的和為 1+2+4+7+14+28=56。 答案： 4。所以能拼成 4 種不同的長方形。 答案： 64。在數字 0,1,2,?， 9 中，只有 6 與 4 之積，或者 8 與 3 之積是 24，又 64=2， 83=5。 4. 李老師帶領一班學生去種樹 ,學生恰好被平均分成四個小組 ,總共種樹 667棵 ,如果師生每人種的棵數一樣多 ,那么這個班共有學生 _____人。 解析：因為 667=23?29,所以這班師生每人種的棵數只能是 667 的約數 :1,23,29,然 ,每人種 667 棵是不可能的。 當每人種 23棵樹時 ,全班人數應是 291=28,且 28 恰好是 4的倍數 ,符合題目要求。 所以 ,一班共有 28名學生。 答案： 40或 20。 [注 ]這里的關鍵是依最大公約數是 5的條件 ,將 50 分拆為兩數之和 :50=5+45=15+35。 答案： 36,1,3。 36 和108 的最大公約數是 36,也就是可分給 36個小朋友。 7. 一塊長 48 厘米、寬 42厘米的布，不浪費邊角料，能剪出最大的正方形布片 _____塊。 解析：剪出的正方形布片的邊長能分別整除長方形的長 48 厘米及寬 42 厘米 ,所以它是48 與 42 的公約數 ,題目又要求剪出的正方形最大 ,故正方形的邊長是 48與 42 的最大公約數。這樣 ,最大正方形的邊長是 6 厘米。 8．寫出小于 20 的三個自然數，使它們的最大公約數是 1，但兩兩均不互質，請問有多少組這種解？ 答案：三組。 9．和為 1111 的四個自然數，它們的最大公約數最大能夠是多少？ 答案：四個數的最大公約數必須能整除這四個數的和 ,也就是說它們的最大公約數應該是 1111 的約數?，F有 1+2+3+5=11, 即存在著下面四個數 101,101?2,101?3,101?5, 它們的和恰好是 101?(1+2+3+5)=101?11=1111, 它們的最大公約數為 101，所以 101 為所求。 經過比較可知 ,黃鼠狼先掉進陷井 ,這時狐貍已跳的行程是 214 ?9=(米 )。 答案： 48,44。 2. a? 24=121?? b,要使余數最大，被除數應該等于 _____。 解析：因為余數一定要比除數小 ,所以余數最大為 23,故有， 被除數 =24?121+23=2927。 答案： 831 解析： 這個三位數可以寫成： 37?商 +17=36?商 +(商 +17)。 (商 +17)被 36除要余 3。 因此 ,這個三位數是 37?22+17=831。 答案： 11,35,55,77。 ∵ 3938=385， 385=5?7?11=(5?7)?11=(5?11)?7=(7?11)?5， ∴ 385 能被兩位數 11， 35， 55， 77整除。 5. 31453?68765?987657 的積 ,除以 4的余數是 _____。 解析：∵ 31453? 4=7863? 1 68765? 4=17191? 1 987657? 4=246914? 1 1?1?1=1 ∴ 31453?68765?987657 的積除以 4 余數是 1。 50 個 8 50 個 6 答案： 5。而 50=6?8+2,故得被乘數與 88 被 7除的余數相同 ,乘數與 66被 7 除的余數相同 ,進而得 :被乘數被 7 除余 4,乘數被 7 除余 3。因此得乘積被 7 除的余數是 5。 答案： 16。 由 1990? 24=82?余 22，可知那時時鐘表示的時間應是 16 點整。所以 ,共有彈子數 12?2412=276(顆 )。原數 a 有 1991 個 1991除以 3余 2,所以 a 與 19911991 除以 13所得余數相同。 10． 100個 7 組成的一百位數 ,被 13除后 ,問： (1)余數是多少？ (2)商數中各位數字之和是多少？ 答案：因為 777777?