[高考數(shù)學]08-09高考數(shù)學真題-在線瀏覽
2025-02-26 16:08本頁面
【正文】 2232 ??x ，（ 21 xx ? ）； ∴ 由拋物線的定義知 22322 22224 2241121 ??????????? xxFBFA。 10 分 18． （本小題滿分 12 分） 購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費 a 元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得 10 000 元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有 10 000 人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立．已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金 10 000 元的概率為 4101 ? ． （ Ⅰ ）求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率 p ； （ Ⅱ ）設保險公司開辦該項險種業(yè)務除賠償金外的成本為 50 000 元，為保證盈利的期望不小于 0，求每位投保人應交納的最低保費（單位：元）． 【解析】 各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是 p ，記投保的 10 000 人中出險的人數(shù)為 ? ，則4~ (10 )Bp? ， ． （ Ⅰ ）記 A 表示事件：保險公司為該險種至少支付 10 000 元賠償 金，則 A 發(fā)生當且僅當 0?? ， 2 分 ( ) 1 ( )P A P A?? 1 ( 0)P ?? ? ? 4101 (1 )p? ? ? ， 又 410( ) 1 0. 99 9PA ?? ，故 ? ． 5 分 （ Ⅱ ）該險種總收入為 10000a 元，支出是賠 償金總額與成本的和． 支出 10 000 50 000? ? ， 盈利 10 000 (10 000 50 000)a??? ? ?， 盈利的期望為 10 000 10 000 50 000E a E??? ? ?， 12 分 19．（本小題滿分 12 分） 如圖，正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 中 ， 1 24AA AB??，點 E 在 1CC 上且 ECEC 31 ? ． （ Ⅰ ） 證明： 1AC? 平面 BED ； （ Ⅱ ） 求二面角 1A DE B??的大小 ． 【解析】 解法一： 依題設知 2AB? ， 1CE? ． （ Ⅰ ）連結(jié) AC 交 BD 于點 F ，則 BD AC? ． 由 三垂線定理 知， 1BD AC? ． 3 分 在平面 1ACA 內(nèi)，連結(jié) EF 交 1AC 于點 G ， 由于 1 22AA ACFC CE??， 故 1Rt RtA A C F CE△ ∽ △， 1AAC CFE? ? ? ， CFE? 與 1FCA? 互余． 于是 1AC EF? ． 1AC 與平面 BED 內(nèi)兩條相交直線 BDEF， 都垂直， 所以 1AC ? 平面 BED ． 8 分 22 3E F CF CE? ? ?， 23CE CFCG EF???， 22 33E G C E C G? ? ?． 13EGEF? ， 123 15E F F DGH DE?? ? ?． 又 2211 26A C A A A C? ? ?，11 563A G A C C G? ?． 11ta n 5 5AGA H G HG? ? ?． 所以二面角 1A DE B??的大小為 arctan5 5 ． 12 分 解法二： 以 D 為坐標原點，射線 DA 為 x 軸的正半軸， 建立如圖所示直角坐標系 D xyz? ． 依題設， 1( 2 2 0) ( 0 2 0) ( 0 2 1 ) ( 2 0 4)B C E A， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，． ( 0 2 1 ) ( 2 2 0)D E D B??， ， ， ， ， 11( 2 2 4 ) ( 2 0 4 )A C D A? ? ? ?， ， ， ， ，． 3 分 （ Ⅰ ）因為 1 0AC DB? ， 1 0AC DE? ， 故 1AC BD? ， 1AC DE? ． 又 DB DE D? ， 所以 1AC? 平面 DBE ． 6 分 （ Ⅱ ）設向量 ()x y z? ， ，n 是平面 1DAE 的法向量，則 DE?n ， 1DA?n ． 故 20yz?? ， 2 4 0xz??． 令 1y? ，則 2z?? ， 4x? ， (41 2)??， ，n ． 12 分 20．（本小題滿分 12 分） 設數(shù) 列 ??na 的前 n 項和為 nS ．已知 1aa? ， 1 3nnnaS? ??， *n?N ． （ Ⅰ ）設 3nnnbS??，求數(shù)列 ??nb 的通項公式； （ Ⅱ ）若 1nnaa? ≥ ， *n?N ，求 a 的取值范圍． 【解析】 （ Ⅰ ）依題意， 11 3 nn n n nS S a S??? ? ? ?，即 1 23nnnSS? ??， 由此得 11 3 2( 3 )nnnnSS?? ? ? ?． 2 分 如圖，設 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( )D x k x E x k x F x k x， ， ， ， ，其中 12xx? ， 且 12xx， 滿足方程 22(1 4 ) 4kx??， 故21 2214xx k? ? ? ?．．．．．．．．．．．．．．． ① 由 6ED DF? 知 0 1 2 06( )x x x x? ? ?，得0 2 1 2 21 5 1 0( 6 )77 7 1 4x x x x k? ? ? ? ?； 由 D 在 AB 上知 0022x kx??，得0 212x k? ?． 所以22 1012 7 1 4k k?? ? ， 化簡得 224 25 6 0kk? ? ?， 解得 23k? 或 38k? ． 12 分 解法二： 由題設， 1BO? ， 2AO? ． 設 11y kx? ， 22y kx? ，由 ① 得 2 0x? ， 210yy?? ? ， 故 四邊形 AEBF 的面積為 BEF AEFS S S??△ △ 222xy?? 9 分 222( 2 )xy?? 222 2 2 244x y x y? ? ? 222( 4 )xy?? 22? ， 當 222xy? 時，上式取等號．所以 S 的最大值為 22． 2 分 當 2 π 2 π2 π 2 π33k x k? ? ? ?（ k?Z ）時， 1cos 2x?? ，即 ( ) 0fx? ? ； 當 2 π 4 π2 π 2 π33k x k? ? ? ?（ k?Z ）時， 1
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