【正文】 3）， （ 1， 0， 1）則 +3 =__________. 17． 設(shè)向量 =（ 1， 2， 3， 4），則 的單位化向量為 __________. 18． 設(shè) n 階矩陣 A 的各行元素之和均為 0，且 A 的秩為 n1，則齊次線性方程組 Ax=0 的通解為 __________. 19． 設(shè) 3 階矩陣 A 與 B 相似，若 A 的特征值為41,31,21，則行列式 |B1|=__________. 20． 設(shè) A= 是正定矩陣，則 a 的取值范圍為 __________. 三、計(jì)算題（本大題共 6 小題，每小題 9 分，共 54 分） 21．已知矩陣 A= ， B= ， 求：（ 1） ATB； （ 2） |ATB|. 22． 設(shè) A= ， B= ， C= ，且滿足 AXB=C，求矩陣 X. 23． 求向量組 =（ 1, 2, 1, 0） T， =（ 1, 1, 1, 2） T， =（ 3, 4, 3, 4） T， =（ 4, 5, 6, 4） T的秩與一個(gè)極大線性無關(guān)組 . 24． 判斷線性方程組?????????????????1542421343143214321xxxxxxxxxxx 是否有解，有解時(shí)求出它的解 . 25． 已知 2 階矩陣 A 的特征值為 =1， =9，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為 =（ 1， 1） T， =（ 7， 1） T，求矩陣 A. 26． 已知矩陣 A 相似于對(duì)角矩陣 Λ = ，求行列式 |AE|的值 . 四、證明題（本大題共 6 分） 27．設(shè) A 為 n 階對(duì)稱矩陣， B 為 n 階反對(duì)稱矩陣 .證明： （ 1） ABBA 為對(duì)稱矩陣 ； （ 2） AB+BA 為反對(duì)稱矩陣 . 15 全國 2022 年 1 月試題 課程代碼： 04184 說明： 本卷中， A1 表示方陣 A 的逆矩陣， r(A)表示矩陣 A 的秩，（ ??, ）表示向量 ? 與 ? 的內(nèi)積， E 表示單位矩陣， |A|表示方陣 A 的行列式 . 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分） 在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。 333231232221131211aaaaaaaaa =4，則行列式333231232221131211333222aaaaaaaaa =（ ） A， B， C， X 為同階方陣，且 A， B 可逆， AXB=C，則矩陣 X=（ ） A2+AE=0，則矩陣 A1=（ ） +E +E 54321 , ????? 是四維向量，則（ ） A. 54321 , ????? 一定線性無關(guān) B. 54321 , ????? 一定線性相關(guān) C. 5? 一定可以由 4321 , ???? 線性表示 D. 1? 一定可以由 5432 , ???? 線性表出 A 是 n 階方陣，若對(duì)任意的 n 維向量 x 均滿足 Ax=0,則（ ） =0 =E (A)=n r(A)(n) A 為 n 階方陣， r(A)n，下列關(guān)于齊次線性方程組 Ax=0 的敘述正確的是（ ） =0 只有零解 =0 的基礎(chǔ)解系含 r(A)個(gè)解向量 =0 的基礎(chǔ)解系含 nr(A)個(gè)解向量 =0 沒有解 21,?? 是非齊次線性方程組 Ax=b 的兩個(gè)不同的解，則（ ） A. 21 ??? 是 Ax=b 的解 B. 21 ??? 是 Ax=b 的解 C. 21 23 ??? 是 Ax=b 的解 D. 21 32 ??? 是 Ax=b 的解 1? ， 2? ， 3? 為矩陣 A=??????????200540093 的三個(gè)特征值，則321 ??? =（ ） P 為正交矩陣，向量 ??, 的內(nèi)積為（ ??, ） =2，則（ ??PP, ） =（ ） f(x1,x2,x3)= 323121232221 222 xxxxxxxxx ????? 的秩為（ ） 二、填空題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分） 16 請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。 12 21 ??? kk=0，則 k=_________________________. A= ?????? 11 01， k 為正整數(shù)，則 Ak=_________________________. 2 階可逆矩陣 A 的逆矩陣 A1= ?????? 43 21，則矩陣 A=_________________________. ? =（ 6， 2， 0， 4）， ? =（ 3， 1， 5， 7），向量 ? 滿足 ??? 32 ?? ，則 ? =_________________________. A 是 mn 矩陣， Ax=0,只有零解，則 r(A)=_________________________. 21,?? 是齊次線性方程組 Ax=0 的兩個(gè)解，則 A（ 3 21 7??? ） =________. V={（ x1,x2,x3） |x1x2+x3=0}的維數(shù)是 ______________________. A 有一個(gè)特征值為 0，則 |A3|=________________________. ?1? （ 1， 1， 3）， ?2? （ 2， 1， ? ）正交，則 ? =__________________. f(x1,x2,x3)= 3121232221 2224 xxxtxxxx ???? 是正定二次型，則 t 滿足 _________. 三、計(jì)算題（本大題共 6 小題，每小題 9 分，共 54 分） bacccbcabbaacba??????222222 A=?????????????16101512211?? ，對(duì)參數(shù) ? 討論矩陣 A 的秩 . ??????????100152131 X=????????????315241 ：???????????????21211? ，???????????????56522? ，?????????????11133? ，????????????????37214? 的一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量通過該極大線性無關(guān)組表示出來 . ???????????????????03204230532432143214321xxxxxxxxxxxx 的一個(gè)基礎(chǔ)解系及其通解 . ????????????? 3142 281232 的特征值和特征向量 . 四、證明題（本大題共 1 小題， 6 分） 1? ， 2? ， …., k? 線性無關(guān)， 1j≤ k. 證明： 1? + j? ， 2? ， …, k? 線性無關(guān) . 17 全國 2022 年 10 月 試題 課程代碼： 04184 一、單項(xiàng)選擇題 (本 大題共 10 小題，每小題 2 分 ,共 20 分 ) 在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。 A 為 3 階矩陣 ,|A|=1,則 |2AT|=( ) A= ?????????11,B=(1,1),則 AB=( ) B.(1,1) C. ?????????11 D. ???????? ?? 11 11 A 為 n 階對(duì)稱矩陣 ,B 為 n 階反對(duì)稱矩陣 ,則下列矩陣中為反對(duì)稱矩陣的是 ( ) +BA A 的伴隨矩陣 A*= ???????? 43 21,則 A1= ( ) A.21? ????????? ?12 34 B. 21? ????????? ?43 21 C. 21? ???????? 43 21 D. 21? ???????? 13 24 不是 ． ． 初等矩陣的是 ( ) A.??????????000 010101 B. ??????????001010100 C. ??????????100 030001 D. ??????????102010001 A,B 均為 n 階可逆矩陣 ,則必有 ( ) +B 可逆 可逆 可逆 +BA 可逆 α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),則 ( ) A. α1, α2,β線性無關(guān) B. β不能由 α1, α2線性表示 C. β可由 α1, α2線性表示 ,但表示法不惟一 D. β可由 α1, α2線性表示 ,且表示法惟一 A 為 3 階實(shí)對(duì)稱矩 陣 ,A 的全部特征值為 0,1,1,則齊次線性方程組 (EA)x=0 的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為( ) ???????????????0xxx0xxx0xxx2321321321 有非零解 ,則 ? 為 ( ) f(x)=xTAx 正定 ,則下列結(jié)論中正確的是 ( ) n 維列向量 x,xTAx 都大于零 的標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)都大于或等于零 的特征值都大于零 的所有子式都大于零 二、填空題 (本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分 ) 請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。 18 2110的值為 _________. A=???????? 32 21,則 |A|中第一行第二列元素的代數(shù)余子式為 _________. A=????????? ?42 31,P= ???????? 10 11,則 AP3=_________. A,B 都是 3 階矩陣 ,且 |A|=2,B=2E,則 |A1B|=_________. α1,=(1,2,3),α2=(3,1,2), α3=(2,3,k)線性相關(guān) ,則數(shù) k=_________. Ax=b 為 4 元線性方程組 ,r(A)=3, α1, α2, α3為該方程組的 3 個(gè)解 ,且 ,9753,4321311?????????????????????????????????? 則該線性方程組的通解是 _________. P 是 3 階正交矩 ,向量 ??????????????????????????? )P,P(,201,231則內(nèi)積_________. 2 是矩陣 A 的一個(gè)特征值 ,則矩陣 3A 必有一個(gè)特征值為 _________. A=???????? 30 21相似的對(duì)角矩陣為 _________. A= ????????? ?k2 21,若二次型 f=xTAx 正定 ,則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 _________. 三、計(jì)算題 (本大題共 6 小題，每小題 9 分，共 54 分 ) D= .0120101