【正文】 xx x x xy x x xx x x xx x xyxx x x x x x xxxx x xy y x? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ?? ???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ??證明函數(shù) 在 內(nèi)是有界函數(shù).研究函數(shù) 在 內(nèi)是否有界時(shí), 時(shí)證解 習(xí)題 221. ( 1 ) l i m ( 0) 。 ( 3 ) l i m 。l i m ( ) l i m 1 1 ( 0), l i m ( ) ( 0)x x xxf x f xxaxxxxf x f xa x xa x xf x x f f x f?? ? ? ? ? ???????? ???? ????????? ???? ? ? ? ? ?逆命題是有理數(shù)不真 例如 處處不連續(xù) 但是| 處處連續(xù).是無理數(shù)4. 適當(dāng)?shù)剡x取 ,使 下列函數(shù)處處連續(xù): 解( 1 )01 1 1 122sin 2l imsin 301.( 2) l i m ( ) l i m l n( 1 ) l n 2 ( 1 ) , l i m ( ) l i m a r c c os ( 1 ) l n 2 ,l n 2.5. 3 :11( 1 ) l i m c os c os l i m c os 0 1.( 2) l i m 2 .( 3 ) l i mxx x x xxxxxxxxaf x x f f x a x a fax x x xxxxee??? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ???利用初等函數(shù)的連續(xù)性及定理 求下列極限sin 2 2sin 3 34422.88( 4) l i m a r c t a n a r c t a n l i m a r c t a n 1 .1 1 4xxxxexxxx?? ? ? ????? ? ??? 6 0 0 0002 2 2 22 2 2 2()( ) ( l n ( ) ) ( )( 5 ) l i m ( 1 2 ) | | l i m ( 1 2 ) | |3 | | 3 3l i m l i m .21 2 1 1 / 1 2 /6. l i m ( ) 0 , l i m ( ) , l i m ) ( ) .l i m ) ( ) l i m )xxxxg x bx x x x x xg x f x g xx x x xx x x x x xxx x x xf x a g x b f x af x e? ? ? ?? ? ? ?? ? ?????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???設(shè) 證明證0l im [ ( l n ( ) ) ( ) ]ln22.7. , ,( 1 ) ( ) c os ( [ ] ) , ,( 2) ( ) sg n(si n ) , , , 1 ,( 3 ) ( ) 1 ,1 / 2 , 1.1( 4) ( )xxf x g xb a be e af x x x nf x x n nxxf x xxxfx?????? ? ???? ????????ZZ指出下列函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型 若是可去間斷點(diǎn) 請(qǐng)修改函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值,使之稱為連續(xù)函數(shù):間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn).間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn).間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn)., 0 11,si n , 1 2 ,11, 0 1 ,2( 5 ) ( ) , 1 2 , 2 ,1, 2 3.1xxxxxxf x x x xxx?? ????????????????? ? ? ???? ????間斷點(diǎn) 第二類間斷點(diǎn).間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn). 0000008 . ( ) , ( ) ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 , ( ) ( ) .y f x y g x xh x f x g x x f x g x xh x f x g x x xg x f x g x f x x x f x g x xf x g x D x????? ? ???? ? ? ???RR設(shè) 在 上是連續(xù)函數(shù) 而 在 上有定義 但在一點(diǎn) 處間斷.問函數(shù) 及 在 點(diǎn)是否一定間斷?在 點(diǎn)一定間斷. 因?yàn)槿绻?點(diǎn)連續(xù),將在 點(diǎn)連續(xù), 矛盾. 而 在 點(diǎn)未必間斷. 例如解 習(xí)題 7 00001. :( ) l i m ( ) ,l i m ( ) , , , , ( ) 0 , ( ) 0 , [ , ] , ( , ) , ( ) 0.2. 0 1 , , si n , .(xxP x P xP x A B A B P A P B P A Bx A B P xy y x xfx??? ??? ??? ??? ?? ? ? ???? ? ? ? ?R證明 任一奇數(shù)次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式至少有一實(shí)根.設(shè) 是一奇數(shù)次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式, 不妨設(shè)首項(xiàng)系數(shù)是正數(shù),則存在 在 連續(xù) 根據(jù)連續(xù)函數(shù)的中間值定理 存在 使得設(shè) 證明對(duì)于任意一個(gè) 方程 有解 且解是唯一的令證證0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1) si n , ( | | 1 ) | | 1 | | ,( | | 1 ) | | 1 | | , [ | | 1 , | | 1 ] , ,[ | | 1 , | | 1 ] , ( ) . ,( ) ( ) ( si n si n ) | | 0 , .3. ( ) ( ,x x f y y y yf y y y y f y yx y y f x y x xf x f x x x x x x x x xf x a b?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在 連續(xù)由中間值定理 存在設(shè)故解唯一設(shè)在1 2 1 21 1 2 2121 2 1 1 21 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2121 2 1 2 1 212) , , ( , ) , 0 , 0 , ( , )( ) ( )( ) .( ) ( ) , . ( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ,[ , ]x x a b m m a bm f x m f xfmmf x f x x f x f xm f x m f x m f x m f x m f x m f xf x f xm m m m m mxx???? ? ? ????? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?連續(xù) 又設(shè) 證明存在 使得如果 取 即可設(shè) 則在 上利用連續(xù)函數(shù)的中間值定理證.4. ( ) [ 0 , 1 ] 0 ( ) 1 , [ 0 , 1 ] . [ 0 , 1 ]( ) .( ) ( ) , ( 0) ( 0) 0 , ( 1 ) ( 1 ) 1 0. , 01. , , ( 0 , 1 ) , ( ) 0 ,( ) .5. ( ) [ 0 , 2] , ( 0) ( 2).y f x f x x tf t tg t f t t g f g f tt g tf t ty f x f f? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??????即可設(shè) 在 上連續(xù)且 證明在存在一點(diǎn) 使得如果有一個(gè)等號(hào)成立 取 為或 如果等號(hào)都不成立 則由連續(xù)函數(shù)的中間值定理 存在 使得即設(shè) 在 上連續(xù) 且 證明證121 2 1 212[ 0 , 2] ,| | 1 , ( ) ( ) .( ) ( 1 ) ( ) , [ 0 , 1 ] .( 0) ( 1 ) ( 0), ( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 0) ( 1 ) ( 0). ( 0) 0 ,( 1 ) ( 0), 0 , 1. ( 0) 0 , ( 0), ( 1 ) , ( 0 , 1 ) ( ) ( 1xxx x f x f xg x f x f x xg f f g f f f f g gf f x x g g ggf? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?在 存在兩點(diǎn) 與 使得且令如果 則取 如果 則 異號(hào)由連續(xù)函數(shù)的中間值定理 存在 使得證12) ( ) 0 , , x x? ? ?? ? ? ? ?取 第一章總練習(xí)題 8 221 . :581 2 .3| 5 8 | 1 4 22 . | 5 8 | 6 , 5 8 6 5 8 6 , .3 5 52( 2 ) 3 3 ,523 3 3 , 0 1 5 .5( 3 ) | 1 | | 2 |1( 1 ) ( 2 ) , 2 1 4 4 , .22 | 2 | , .2 , 2 , 4 , 2 。( 2) ( ) 。2 , 2 0 。2( 2) ( ) 0 ?( 3 ) ( ) 2 ?3 9 1( 1 ) ( 0) [ 14] 14 , 14 6 7. ( 2 ) [ 12] 12.2 4 4( 2) . l i m ( ) l i m [ 14] 14 ( 0).( 3 ) . l i m ( ) 12 , l i m ( )xyxxfff x xf x xf f ff x y ff x f x? ? ?? ? ? ?????????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???的值在 處是否連續(xù)在 處是否連續(xù)連續(xù)因?yàn)椴贿B續(xù)因?yàn)榻? 1 1 111.7. , 0 , , :( 1 ) ( 1 ) 。1 / , ???? 1111. ? , ( ) [ , ]| ( ) | , [ , ] ., ( ) , [ , ] , m a x{ | | , | | } 1 ,| ( ) | , [ , ] ., | ( ) | , [ , ] , ( ) , [ , ] .12.f x a bM f x M x a bM N f x N x a b M M Nf x M x a bM f x M x a b M f x M x a b? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1在 關(guān)于有界函數(shù)的定義下 證明函數(shù) 在區(qū)間 上為有界函數(shù)的充要條件為存在一個(gè)正的常數(shù) 使得設(shè)存在常數(shù) 使得M 取 則有反之 若存在一個(gè)正的常數(shù) 使得 則證1 2 1 2 1 212: ( ) ( ) [ , ] , ( ) ( ) ( ) ( )[ , ] ., , | ( ) | , | ( ) | , [ , ] . | ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | ,| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | , [ , ] .113. : ( ) c os 0y f x y g x a b f x g x f x g xabM M f x M g x M x a b f x g x f x g x M Mf x g x f x g x M M x a bf x xxx?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???證明 若函數(shù) 及 在 上均為有界函數(shù) 則 及也都是 上的有界函數(shù)存在證明 在 的任一證, 0 ( ) .11( , ) , 0 0 , , , ( ) ,1( ) ( , ) 0 , ( ) ( 2 1 / 2) c os( 2 1 / 2) 0 ,2 1 /