[理學(xué)]線性代數(shù)復(fù)習(xí)提高綱領(lǐng)-合肥工業(yè)大學(xué)-在線瀏覽
2025-01-25 01:18本頁面
【正文】 n個不同的特征值則 A 一定可以對角化。 1. 行列式運算性質(zhì)：轉(zhuǎn)置 ， 對換 ， 數(shù)乘 ，拆分， 疊加。 3. 矩陣轉(zhuǎn)置： ①() TTAA ? ② () T T TA B A B? ? ? ③ TT kA)kA( ? ④TTT AB)AB( ? 4. 方陣的行列式：①方陣,AB，AB A B?? ②nk A k A?， A 為n階方陣。 7. 初等矩陣：1 ( , ) ( , )E i j E i j? ?，1 1( ( ) ) ( ( ) )E i k E ik??， 1 ( , ( ) ) ( , ( ) )E i j k E i j k? ??。 9. 秩：①( ) m in{ , }mnr A m n? ?；②? ?( ) m in ( ) , ( )r A B r A r B?； ③( ) ( , ) ( ) ( )r A r A B r A r B? ? ?；④ ( ) ( ) ( )r A B r A r B? ? ?； ⑤m n n kA B O?? ?，則( ) ( )r A r B n??；⑥( ) ( )Tr A r A?； ⑦*()( ) 1 ( ) 10 ( ) 2n r A nr A r A nr A n????? ? ? ???? ?? ??. 10. 行階梯矩陣的秩等于其非零行的行數(shù)。 12. 向量組12: , , , mAa ??線性相關(guān)?向量組 A 中至少有一個向量能由其余1?m個向量線性表示． 13. 設(shè)向量組12, , , m? ? ?線性無關(guān)，向量組12, , , m? ? ?可由12, , , m? ? ?線性表示， 即11 12 131 2 3 1 2 3 21 22 2331 32 33( , , ) ( , , )c c cc c cc c c? ? ? ? ? ????????????，則12, , , m? ? ?無關(guān)0C??． 14. 相關(guān)組添加向量仍相關(guān)，無關(guān)組減少向量仍無關(guān)；無關(guān)組添加分量仍無關(guān)，相關(guān)組減少分量仍相關(guān)。 21. 設(shè)A x x??，則有下表： 矩陣 A 2A ()fA 1A ? *A TA 1P A P? 特征值 ? 2? ()f ? 1? ? /A ? ? ? 特征向量 x x x x x / 1Px? 25 1. 求行列式：方法一、 利用行列式的性質(zhì)化三角行列式；方法二、利用性質(zhì)盡可能多的化行列式的某行（列）元素為零，然后依此行（列）用 Laplace 展開。 例題 1 ：2 1 1 124223 3 6 34 4 4 8 27 例 2 已知 1 0 01 1 01 1 1A?????????， 0 1 11 0 11 1 0B?????????且 1() TTX E B A B E??? ，求 X ． 解：11( ) [ ( ) ]T T TX E B A B E X B E B A E??? ? ? ? ? () TX B A E? ? ?，1 0 0( ) 1 1 01 1 1TBA?????? ? ????????， ( ) 1TBA ? ? ?，所以() TBA?可逆。 3. 求矩陣的秩： A 具體時，將 rAB??? （行階梯矩陣），( ) ( )r A r B B??中非零行的行數(shù)； A 為抽象矩陣時，利用秩的不等式證明()r r A r??. 4. 討論向量組的相關(guān)性： ① 12, , , s? ? ?具體時，構(gòu)造矩陣12( , , , )sA ? ? ??，比較秩與個數(shù)的關(guān)系；② . 12, , , s? ? ?抽象時，先設(shè)1 1 2 2 0ssk k k? ? ?? ? ? ?，通過恒等變形或乘法，或重組，得到12 0sk k k? ? ? ?，或 者用秩的理論判斷，12( , , , )srs? ? ? ?. 例題 3. 已知向量組（Ⅰ）：1 2 3,? ? ?； （Ⅱ）：1 2 3 4, , ,? ? ? ?；（Ⅲ）：1 2 3 4 5, , , ,? ? ? ? ?．如果各向量組的秩分別為 R （ Ⅰ ） R? （Ⅱ） 3? ， (R Ⅲ )4? ，證明：向量組 1 2 3 5 4, , ,? ? ? ? ?? 的秩為 4 ． 證明 ：( ) 3rI ?? 1 2 3,? ? ?線性無關(guān)，( ) 3r I I ?? 1 2 3 4, , ,? ? ? ?線性相關(guān)， 從而4?可由1 2 3,? ? ?線性表示， 即 4 1 2 3k? ? ? ? ? ?? ? ? 4142431 2 3 5 4 1 2 3 5( , , , ) ( , , , )c k ccccc??? ? ? ? ? ? ? ? ?????， 從而1 2 3 5 4 1 2 3 5( , , , ) ( , , , ) 4rr? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?． 5. 求 極 大 無 關(guān)組 ： 將向量 組 的 各 向量 做 為矩陣 的 列 ，12( , , , )rsAB ? ? ?? ???行階梯矩陣，向量組的秩等于矩陣 B 的秩，每個階梯上取一列（一般取階梯豎線右邊的第一列），構(gòu)成極大無關(guān)組。 7. 含參數(shù)方程組 A x b? 求解： ①．( | ) rAb ???行階梯型，討論( ) ( | ) ?r A r A b b??可否由 A 的列線性表示；②．特別，當(dāng) A為方陣時，求出0A ?的條件，即唯一解的條件，再把0A ?中的參數(shù)代入原方程組，繼續(xù)由( ) ( | ) ?r A r A b?，判斷是表達(dá)式不唯一，還是不能由其表示。 解： 【含參數(shù)
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