【正文】 ?矩 陣 表 示 記 為這 里 de t ( ) 0de t ( ) ( 1 , 2 , , )de t ( )iiAAx i nA???根 據(jù) 克 萊 姆 (cramer) 法 則 ， 若 方 程 組 系 數(shù) 行 列 式 不 為 零 ，即 ， 則 該 方 程 組 有 唯 一 解 。353 0 , 2 . 3 8 1 0nn??如 需 次 乘 法 。計(jì) 算 量 十 分 驚 人 !!在實(shí)際中 如何利用計(jì)算機(jī) 這一強(qiáng)有力工具求解線性方程？ 167。 (回代 ) = 高斯消元法 消元 記 ,)( )1()1(nnijaAA ???????????????)1()1(1)1(...nbbbb??Step 1： 設(shè) ，計(jì)算因子 0)1(11 ?a ).. .,2(/ )1(11)1( 11 niaam ii ??將增廣矩陣 第 i 行 ? mi1 ? 第 1行 ，得到 )1(1)1(1)1(12)1(11 .. . baaa n)2(A )2(b? ).. .,2,()1(11)1()2()1(11)1()2(njibmbbamaaiiijiijij????????其中 Step k： 設(shè) ，計(jì)算因子 且計(jì)算 0)( ?kkka ). .. ,1(/ )()( nkiaam kkkkikik ???). .. ,1,()()()1()()()1(nkjibmbbamaakkikkikikkjikkijkij???????????共進(jìn)行 ？ 步 n ? 1 ?????????????????????????????????????????)()2(2)1(121)()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11.......... . .. . .. . .nnnnnnnnbbbxxxaaaaaa回代 )()( / nnnnnn abx ?0)( ?nnna 如果 ? 沒有唯一解 . )1. .. ,1()( 1)()(??????? niaxabx iiinijjiijiii)iii如果 ? 定理 若 A的所有 順序主子式 均不為 0，則高斯消元無(wú)需換行即可進(jìn)行到底，得到唯一解。 ? 消去法是按照系數(shù)矩陣的主對(duì)角線上的元素（主元）進(jìn)行消元。 （ 2）當(dāng)某個(gè) 主元的絕對(duì)值很小 時(shí)，計(jì)算結(jié)果誤差很大。 （大數(shù)吃小數(shù)） （大數(shù)吃小數(shù)） （結(jié)果差異很大） 全主元消去法 每一步選絕對(duì)值最大的元素為主元素 ，保證 。kki j ijk i nk j naa??????② If ik ? k then 交換第 k 行與第 ik 行 。 ③ 消元 注 ： 列交換改變了 xi 的順序，須記錄 交換次序 ，解完后再換回來(lái)。 0||m a x|| , ?? ?? iknikki aa k 交換第 k 行與第 ik 行 。 0,1 12 ??? xx例： ??????21110101 99????????? 99991010010101注意：這兩個(gè)方程組在數(shù)學(xué)上 嚴(yán)格等價(jià) 。 , i 2 , ,nil l a u l a u l a ul a u?????列1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 41 j 1 , , , 。 , j 2, ,n 2 ( ) , ( ) 。 調(diào)用方式：“ [L,U,P] = lu(A)‖ 思考：利用 MATLAB中的幫助文件“ help lu‖ ， 查看 lu函數(shù)的幫助文檔，說(shuō)明其中 L, U, P 各是 什么矩陣。 置換矩陣 ? 更一般形式： 由線性代數(shù)知，對(duì)稱正定陣的幾個(gè) 重要性質(zhì)： ? A?1 亦對(duì)稱正定，且 aii 0 ? A 的順序主子陣 Ak 亦對(duì)稱正定 ? A 的特征值 ?i 0 ? A 的 全部順序主子式 det ( Ak ) 0 167。即A=AT 定義： 一個(gè)矩陣 A 稱為 正定陣 ，如果 對(duì)任意非零向量 都成立。 TA L L?注 ： 對(duì)于對(duì)稱正定陣 A ，從 可知對(duì)任意 k ? i 有 。 ? ?? ik ikii la 1 2iiik al ?||——稱為 Cholesky 分解 單位上三角陣 ?LU分解和 Cholesky矩陣分解的關(guān)系： ? 已知 LU分解求 cholesky分解 ： 其中 D1/2 = 11u22unnu2/1~ LDL ?L? 如何計(jì)算 D？ – U矩陣的 對(duì)角線元素，或 的對(duì)角線元素平方 。 Matlab 軟件給出了 Cholesky分解函數(shù) ? chol（） 例 對(duì)矩陣 A = 進(jìn)行 Cholesky分解。1,4,1。 P=chol(A) P = 0 0 0 0 結(jié)果 是 ()TL167。 衡量向量或矩陣 “ 大小 ” 的概念 ? 范數(shù) 概念是 長(zhǎng)度和距離概念 的推廣 ?向量范數(shù)（ Vector norm） Rn空間的 向量范數(shù) || 0||||)1( ???? ???? xxx（ 正定性 ) ||||||||||)2( xx ?? ?? ?? C??對(duì)任意 (齊次性 ) ||||||||||||)3( yxyx ???? ??? （ 三角不等式 ) 常用向量范數(shù)： 1 1niixx?? ? （ 1 范 數(shù) ）1 / 22212niixx?????????（ 范 數(shù)或 歐 氏 范 數(shù) ）1/1ppnpipixx????????? （ 范 數(shù) ）m a x iixx? ?? （ 范 數(shù) ）? 定義： 0 000 1 1 , 0 。 }{ )(kx? *x?*)(lim ikik xx ???可以理解為 0||*|| )( ?? ?xx k ??可理解為對(duì)任何向量范數(shù)都成立。 1212,0 nsts t sx x R c cc x x c x???：設(shè) 和 是 上 的 任 意 兩 種 向 量 范 數(shù) ， 則 存 在 常 數(shù) ， 使 得 向量范數(shù)的等價(jià)性定理 （ 79頁(yè)定理 ）： 利用向量范數(shù)的等價(jià)性定理，很容易得到下列推論： 推論： 向量序列在某范數(shù)下收斂，則在任意范數(shù)下收斂。 || 對(duì)任意 滿足： nmRBA ??,00||||。 || B || （ 相容 (當(dāng) m = n 時(shí) )) 定義： 意味多個(gè)矩陣（向量）運(yùn)算時(shí)，誤差是可控的 Frobenius 范數(shù) 與 向量 2范數(shù)相容 矩陣 ATA 的最大 特征根 常用矩陣范數(shù)： 1. Frobenius 范數(shù) ? ?? ??ninjijF aA1 12|||||| — 向量 || ||p 導(dǎo)出的關(guān)于矩陣 A ? Rn?n 的 p 范數(shù) : pxppp xAxxAApx||||m ax|||| ||||m ax||||10 ||||?????? ?? ??則 ppppppxAxABAAB||||||||||||||||||||||||?? ??常用算子范數(shù)有 ： ??? ???njijaA ni1||m ax||||1（ 行和范數(shù) ） ????? niijaA nj11 ||m ax|||| 1（ 列和范數(shù) ） )(|||| m ax2 AAA T?? （ 譜范數(shù) ） 稱為 算子范數(shù)（誘導(dǎo)范數(shù)） 滿足相容性 向量范數(shù) 我們只關(guān)心有相容性的范數(shù)， 算子范數(shù)總是相容的 。將上述定義中絕對(duì)值換成 復(fù)數(shù)模 均成立。 ||v 使得 對(duì)任意 A 成立。 ||F為： ∴ || 1m a x2161 2 3 6 6 5 4 15789 14 15 24 16 ( ) 16 .712497TAAAA A A???????????????所 以 ， 行 和 范 數(shù) 為 ， 列 和 范 數(shù) 為和列 和行 矩陣是一種線性映射算子， 稱為 矩陣算子 。 – 任意離散有限線性算子可表示為矩陣形式。 ||m a x1 ini ???Re Im ? ? ? ? ? ? ? ? ? (A) 定義： 特征根 中最大的模為 譜半徑 ?矩陣范數(shù)的性質(zhì) 所以 2范數(shù)亦稱為 譜范數(shù)。 || 有 ||||)( AA ??證明： 由算子范數(shù)的相容性，得到 |||||||||||| xAxA ?? ??將任意一個(gè)特征根 ? 所對(duì)應(yīng)的特征向量 代入 u?|| || || || || ||A u A u A?? ? ? ???? |||||||||| uu ?? ??定理 若 A對(duì)稱矩陣，則有 )(||||2 AA ??證明： )()(|||| 2m a xm a x2 AAAA T ?? ??A對(duì)稱 若 ? 是 A 的一個(gè)特征根，則 ?2 必是 A2 的特征根。 0( ) | |A???222 m a x 0 0|| || ( ) ( )A A A? ? ? ?? ? ? ?計(jì)算 2范數(shù)的一種方法 后面分析病態(tài)問(wèn)題時(shí)要用 非奇異陣 若矩陣 B 對(duì)某個(gè)算子范數(shù)滿足 ||B|| 1，則必有 定理 ① BI ? 可逆； ② ? ? ||||1 11 BBI ??? ?證明： ① 若不然，則 有非零解，即存在非零向量 使得 0)( ?? ?? xBI0x? 00 xxB ?? ??? 1||||||||00 ??xxB??1|||| ?? B ? ② 1( ) ( )I I B I B ?? ? ? 11( ) ( )I B B I B??? ? ? ?11 )()( ?? ???? BIBIBI ?||)(||||||1||)(|| 11 ?? ?????? BIBBI根據(jù)算子范數(shù)定義： 0 || |||| || m a x || ||x BxB x??? 0|| ||m a x 1|| ||xBxx???? ? 11 1|| ( ) || ( 1 || ||) 1 1 || ||I B B I B B??? ? ? ? ? ? ? ?A ????????4 32 1例 ， X=[3 5]T，分別求 A、 X 的“ 1范數(shù)”和“無(wú)窮大范數(shù)” ? ? 613,24m a x1 ????A ? ? 712,34m a x ?????A8|5||3|1 ????X 5|}5||,3m a x { ||||| ????XMatlab: