[理學(xué)]數(shù)理方程第三章-在線(xiàn)瀏覽
2024-12-03 21:14本頁(yè)面
【正文】 ? ? ?? ? ? ? ? ?0 1 20 1 2|| 39。 167。第三章 行波法與積分變換法 但在少數(shù)情況下，可以求出方程的通解（含有任意函數(shù)的解），并可由給定條件 求出特解。 求解 偏微分方程 時(shí)，一般不能先求出方程的 通解 ,然后根據(jù)給定的條件確定 特解 。 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式 初始位移 ， 初始速度 的無(wú)界弦的自由振動(dòng) )(x?)(x?初值問(wèn)題 (Cauchy問(wèn)題 ) ? ?2000 ( , 0 )( ) ,( 3 . 1 .()1,)tt x xt t tu a u x tu x u x x????? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???() 我們可以求出方程 () 的通解 ,考慮變量代換 ( 3. 1. ),.3x atx at?????? ???利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 u u u u uxxx??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?為什么？ () ,2 2222222????????????????????????????????????????????????????????????uuuxuuxuuxu同理可得 22222222( 2 ) ( 3 . 1 . 5)u u uu at ? ? ? ?? ? ?????? ? ?? ?將 (), () 代入到 (), 可以得到 2??? ???連續(xù)積分兩次得 ? ? ? ? ? ?12,u f f? ? ? ?? ? ?其中 是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，即有 12,ff? ? ? ? ? ?12,.u x t f x a t f x a t? ? ? ?注 ： 是方程 2 ( , 0)t t x xu a u x t? ? ? ? ? ? ?的通解 , 它包含兩個(gè)任意函數(shù)。 39。 39。 ? ?22 ,u f x a t?? 2()fx ? ?22u f x a t??? ?22u f x a t??同理 , 表示一個(gè)以速度 a 向 x 軸負(fù) 方向傳播的行波 ， 且傳播過(guò)程中，波形也不變化。 ? ?11u f x a t??達(dá)朗貝爾公式表明 , 弦上的任意振動(dòng)總是以行 波形式分別向兩個(gè)方向傳播出去 , 其傳播速度恰好是常 數(shù) a，因而這個(gè)方法稱(chēng)為 行波法。 ? ? ? ? ? ? ? ?11, [ ]22x atx atu x t x at x at da? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?（ 1）依賴(lài)區(qū)間 由 D’Alembert 公式 ( ) ( ) 1( , ) ( )22x atx atx at x atu x t da?? ? ? ???? ? ??? ? 僅依賴(lài)于 上的初值，稱(chēng)區(qū)間 為點(diǎn) 的 依賴(lài)區(qū)間 。 (x,t) xat x+at x t O 依賴(lài)區(qū)間 （ 2）影響區(qū)域 由左、右行波疊加而得 。 ],[ 21 xx12{ ( , ) | , 0 }A x t x a t
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