[工學(xué)]第六章格與布爾代數(shù)-在線瀏覽
2024-11-30 17:17本頁面
【正文】 對任意 a, b∈L ，{a, b}都有最大下界和最小上界存在，則稱 L, ? 是 格 ，簡稱 L是 格 。若 L為有限集，則稱格 L, ? 為 有限格 。 14 e f g b d c a h 例： S={a,b,c,d,e,f,g,h}構(gòu)成格 S1={a,b,d,f}和 S2={c,e,g,h}和 S3={a,b,c,d,e,g,h}都構(gòu)成格 但 S3不是 S的子格 15 對偶式：格中元素用運算符 ∧ , ∨ 連接起來的的一個表達(dá)式 f，將 f中的 ∧ 換成 ∨ ，將 ∨ 換成 ∧ ，如有 0， 1，將 0換成 1，將 1換成 0，所形成的表達(dá)式稱為 f的對偶表達(dá)式記作 f* 。 16 三、格的同態(tài)與同構(gòu) 定義： 設(shè) A1,?1和 A2,?2是兩個格，它們分別誘導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng)為 A1, ∧ 1, ∨ 1和 A2, ∧ 2, ∨ 2，若存在一個從A1到 A2的映射 f，使得對于任意的 a， b∈A 1，有 f(a∧ 1b)＝ f(a)∧ 2f(b) f(a∨ 1b)＝ f(a)∨ 2f(b) 則稱 f是從 A1, ∧ 1, ∨ 1到 A2, ∧ 2, ∨ 2的格同態(tài)。當(dāng) f是雙射的，則稱 f是從 A1, ∧ 1, ∨ 1到 A2, ∧ 2, ∨ 2的格同構(gòu)，亦稱格A1,?1和 A2,?2是同構(gòu)的。 18 定理： 設(shè) A1,?1和 A2,?2是兩個格， f是從 A1到 A2雙射，則 f是從 A1,?1到 A2,?2的格同構(gòu)，當(dāng)且僅當(dāng)，對任意的 a， b∈A 1， a?1b?f(a) ?2 f(b)。 23 定理 2： 如果在一個格中交運算對并運算可分配，則并運算對交運算也是可分配的。 24 2021/11/10 定理 3 一個格是分配格的充分必要條件是該格中沒有任何子格與兩個五元素格中的任何一個同構(gòu)。 26 證明： 若 L, ∧, ∨ 是分配格，且 a∧c ＝ b∧c ，a∨c ＝ b∨c ，則 a＝ a∧(a∨c) ＝ a∧(b∨c) ＝ (a∧b)∨(a∧c) ＝ (a∧b)∨(b∧c) ＝ b∧(a∨c) ＝ b∧(b∨c) ＝ b 27 2021/11/10 性質(zhì) （ 1）四個元素以下的格都是分配格； （ 2）五個元素的格僅有兩個格是非分配格，其余三個格 (右圖 (a), (b)和 (c))都是分配格。 記為 L, ∧, ∨, 0, 1 30
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