【正文】 （其中 都是多項(xiàng)式）在除去 的點(diǎn)以外處處解析，這是一種最簡單的 亞純函數(shù) ，意即比“全純”稍次之意 .亞純的一般定義見后 . 多項(xiàng)式和有理函數(shù)我們早已很熟悉，包括其求導(dǎo)方法等 .這些就不多說了 . 在實(shí)分析中我們已熟悉指數(shù)函數(shù) .現(xiàn)在我們要把它推廣成復(fù)變 的指數(shù)函數(shù) . 回想泰勒（ Taylor）展式： ? ? ? ?zQzP ? ? ? ?zQzP ,? ? 0?zQzez ze? （ ） ? 它對任何實(shí)數(shù) 成立 .現(xiàn)在就把 改為 作為 的定 ? 義： ? （ ） ? 由于 ? ? 對任何 收斂（于 ），可見（ ）中的級數(shù)對任何 絕對收斂 .因此 對任何 是有意義的 . ,!!212?? ????? nxxxenxx x z ze,!!212?? ????? nzzzenz,!!212?? ????nzzznzzez ze z 還可注意，當(dāng) 為實(shí)數(shù)時(shí)，指數(shù)定律 成立；而當(dāng) 為復(fù)數(shù)時(shí)，也有指數(shù)定律 （ ） 這可將 按（ ）展式，再用級數(shù)乘法證得（因 為它們都絕對收斂） .從而也有 ， . （ ） 總之，指數(shù)三定律對復(fù)指數(shù)情況也成立 . 21,xx2121 xxxx eee ???21, zz2121 zzzz eee ???21 , zz ee2121 zzzz eee ?? ? ? nznz ee ? 有了（ ），立即可以證明著名的歐拉（ Euler）公式（ 為實(shí)數(shù)）： （ ） 或即 ， 這樣一來， 的三角表示式 可寫 成指數(shù)形式： （ 為實(shí)數(shù)） . （ ） 這種用 的模 和輻角 表示 的方式稱為指數(shù)表示式 . 這種表示法非常有用、方便 . ????? ?? s i nc o s,s i nc o s ieie ii ???? ?2c os???ii ee ??? ieeii2s in?????? ? ?39。2c osiziz eez???ieez iziz2s in???zzzzzzs i nc osc ot,c oss i ntan ?? 由（ ）可以看出， 和 仍是以 為周 期的周期函數(shù)，且 為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)，它們的 零點(diǎn)也與相應(yīng)實(shí)函數(shù)相同 .許多有關(guān)實(shí)變元的三角函數(shù) 公式對復(fù)三角函數(shù)也成立 ..例如和、差、倍、半公式、 誘導(dǎo)公式及恒等式 等等，這些都不難由歐拉公式（ ）證明 .但要特別注 意，有些式子，特別是一些不等式現(xiàn)在不再成立 .例 如， 和 就不成立（讀者不妨試令 來觀察） . zcos zsin ?2zcos zsin1c o ss i n 22 ?? zz1cos ?z 1sin ?z, Rxixz ?? 由（ ）還可知， ， 都是全平面 C中的解析函數(shù)（也是超越整函數(shù)），而且 . （ ） 由此也得知，其他基本三角函數(shù)的熟知的求導(dǎo)公式現(xiàn)在仍成立 . 在實(shí)分析中還有應(yīng)用中常見的雙曲函數(shù)： 它們可以推廣到復(fù)變元 （ ） zcos zsin? ? ? ? zzzz c o ss i n,s i nc o s 39。 ???.2,2xxxx ees hxeec hx?? ????Cz?.2,2zzzz ees hzeec hz?? ???? 它們當(dāng)然也可用 的泰勒展式來推廣定義 .由此還 可以定義 等 . 以 為周期，它們也是超越整函數(shù)，且 （ ） 還有許多有關(guān)實(shí)變元雙曲函數(shù)的恒等式可推廣到復(fù)變元情況，不一一例舉 . 此外，三角函數(shù)與雙曲函數(shù)之間有密切關(guān)系 .例如，易證 （ ） 利用（ ），可以把有關(guān)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)的公式互相轉(zhuǎn)化 . shxchx,s hzc hzc t hzc hzs hzt hz ?? ,shxchx, i?2? ? ? ? ., 39。 c h zs h zs h zc h z ??.s i n,c o s is h zizc h ziz ?? ? 在實(shí)分析中，對數(shù)函數(shù)是作為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)而定義的 .我們可用類似的方法定義復(fù)變元的對數(shù)函數(shù) . ? 由于指數(shù)函數(shù) 以 為周期，其反函數(shù)，即復(fù)變元的對數(shù)函數(shù)，記為 是個(gè)多值函數(shù)：如果 是 的一個(gè)值，即 ，則顯然 都是 的值 .由此可以看到， 的多值性與 的多值性極為相象，它們之間似有密切關(guān)系 .事實(shí)正是如此 .我們只要把 的實(shí)部和虛部分開，便能一目了然 . ? 設(shè) 因此 .當(dāng)然要設(shè) ，因這時(shí) 無解 .將 以指數(shù)形式寫出： （ 任意取定一值），并記 .于是 ?ez ? i?2,Logz?? 0?0Logz 00 ?ez ? ? ??,2,1,020 ???? kik ??0Logz Logz ArgzLogz,L o g z?? ?ez ? 0?z 0??ez ?? iez ? zz a r g, ?? ??ivu ??? 此式左、右兩端是同一復(fù)數(shù)，它們的模應(yīng)相等： 或即 ；它們的輻角可相差 的一整數(shù)倍： 亦即 這樣，我們有重要的公式： （ ） 此式很清楚的表明 的多值性是由 的多值性而來 . （ ）本身也看作 的定義 . 由于 （兩端都在多值意義下 ，所以對復(fù)變元對數(shù)而言，在兩端多值意義仍有 .ivuivui eeee ??? ???ue???ln?u ?2? ??,2,1,02 ????? kkv ?? .Argzv ?.ln iA r g zzL o g z ??Logz ArgzLogz? ? 2121 A r g zA r g zzzA r g ???? ? 2121 lnlnln ???? ??? 同樣，也有 由于 的多值性源于 的多值性，所以和 一樣， 定義域 內(nèi)是不能分解成單值連續(xù)函數(shù)的 .只有縮小區(qū)域，讓區(qū)域內(nèi)任一簡單閉曲線 L，都有對數(shù)函數(shù)改變量 ，才能在這個(gè)區(qū)域內(nèi)將 分解成單值連續(xù)函數(shù) .由于 是單值的，所以 從而， 的必要充分條件是 .這樣， 和 的可單值分枝的區(qū)域是相同的，枝點(diǎn)亦是相同的，即 0和 點(diǎn)是 的枝點(diǎn) . ? ? ? ?.0, 212121 ???? zzL o g zL o g zzzL o g? ? ? ?.0, 212121 ??? zzL o g zL o g zzzL o gLogz Argz ArgzLogz ? ?0?C? ? 0?LLo g z Logzzln? ? ? ? ? ? ? ? .ln LLLL A r g ziA r g zizL o g z ???? ? 0?LLo g z ? ? 0?LArgz LogzArgz?Lo gz 把 平面沿連接 0與 的任一簡單曲線剖開所得區(qū)域都是 的可單值分枝區(qū)域 .比如，把平面沿正實(shí)軸（包括原點(diǎn)）剖開得到區(qū)域 D，對剖線上岸的