【正文】 d e z z z ef z z f zd z z??????? ? ????? 于是由留數(shù)定理得積分值 sin22122 i R e s [ ( ) , 0] 2 i( 1 )zze dz f zzz ??????? (1) 20 5 3cosd? ? ??? 解：令 ize?? ，則 idzd z?? ， 2 1cos 2z z? ?? ．于是 220 125 3 c o s i 3 1 0 3zd d zI zz? ? ????? ? ??? 被積函數(shù)2 1() 3 1 0 3fz zz? ??在 1z? 內(nèi)有一個一級極點 13z??，其留數(shù) 11331 1 1 1R e s [ ( ) , ] l im ( ) l im3 3 3 ( 3 ) 8zzf z z f z z? ? ? ???? ? ? ? ??? ??? 所以 212i i 8 2I ??? ? ? ? (5) 2220 ( 1)( 4 )x dxxx?? ??? 解： 222() ( 1)( 4 )xRx xx? ??是偶函數(shù)，而 ()Rz 在上半平面內(nèi)有一級極點 0 iz? 和 1 2iz? ，且 ? ? 2 2ii iR e s [ ( ) , i ] l im i ( ) l im ( i ) ( 4 ) 6zz zR z z R z zz??? ? ? ???， ? ? 222 i 2 i iR e s [ ( ) , 2 i ] l im 2 i ( ) l im ( 1 ) ( 2 i ) 3zz zR z z R z zz??? ? ? ? ???， 所以 2220 1 i i2i( 1 ) ( 4 ) 2 6 3 6x dxxx ???? ??? ? ? ? ????? ??? (6) 22co s( 1)( 9 )x dxxx???? ??? 解：421() 1 0 9Rx xx? ??， 4m? ， 0n? ， 1mn??，且 ()Rz 在實軸上無孤立奇點，故積分 i22( 1)( 9 )xe dxxx???? ??? 存在，所求積分 I 是它的實部． 函數(shù) ()Rz 在上半平面有兩個一級極點 0 iz? 和 1 3iz? ，而且 ? ? iii 2ii iR e s [ ( ) , i ] l im i ( ) l im ( i ) ( 9 ) 1 6zzzzz eR z e z R z e z z e??? ? ? ? ???， ? ? iii 233i 3i iR e s [ ( ) , 3 i ] l im 3 i ( ) l im ( 1 ) ( 3 i ) 4 8zzzzz eR z e z R z e z z e??? ? ? ???， 從而 ? ?i 22 2 3 3ii2 i 3 1( 1 ) ( 9 ) 1 6 4 8 2 4xe d x ex x e e e?????? ??? ? ? ? ????? ??? 所以 ? ?22 2 3c o s 31( 1 ) ( 9 ) 2 4x d x ex x e????? ????? 習題 8： 試求 () tf t e?? 的傅氏變換． 解： ()ft的傅里葉變化為 0j j j00( 1 j ) ( 1 j )00( 1 j ) ( 1 j )02( ) ( )111 j ( 1 j )1 1 21 j 1 j 1t t t t tttttF f t e dt e e dt e e dte dt e dtee? ? ????????? ? ??? ??? ? ? ??? ????? ? ?????? ? ???? ? ?????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??? 試求矩形脈沖 , 0 ,()0,Atft ????? ?? 其 他的傅氏變換． 解： ()ft的傅里葉變化為 jj0jj0( ) ( )(1 )jjtttF f t e dt A e dtA A ee???????????? ?????????????? 求下列函數(shù)的傅氏積分： (1) 0 , 1,1, 1 0 ,()1, 0 1,0 , 1 .ttfttt? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ???? ? ? ??? 解： ()ft是 ( . )???? 上的奇函數(shù)，則 ( ) 0a?? ， 1002 2 2 1 c o s( ) ( ) s in s inb f d d ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ???， 于是 0000( ) ( ) c os ( ) sin2 1 c os 2 1 c ossin sinf t a td b tdtd td? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ????? 求函數(shù) 2221 , 1,() 0 , 1ttft t? ???? ? ???的傅氏積分，并計算 3c o s si n c o s 2x x x x dxx???? ? ??． 解： ()ft是 ( . )???? 上的偶函數(shù)，則 1 2 3002 2 4 ( s in c o s )( ) ( ) c o s ( 1 ) c o sa f d d ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ???， ( ) 0b?? ， 于是 003300( ) ( ) c os ( ) sin4( sin c os ) 4 sin c osc os c osf t a td b tdtd td? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ????? 求符號函數(shù) 1, 0,sgn1, 0tt t???? ? ??的傅氏變換．（提示： sgn 2 ( ) 1t u t??．） 解：方法一： 12[ s g n ] 2 [ ( ) ] 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )jjt u t ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?????FF． 方法二： 0j j j02( ) s g n jt t tF t e d t e d t e d t? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?． 1求函數(shù) ( ) sin 2 cosf t t t? 的傅氏變換． 解： ? ?s in ( 2 ) s in ( 2 ) 1( ) s in 2 c o s s in 3 s in22t t t tf t t t t t? ? ?? ? ? ?，則 ? ?1[ ( ) ] [ sin 3 ] [ sin ]2j [ ( 3 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 1 ) ]2f t t t? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?F F F 1利用位移性質(zhì)計算下列函數(shù)的傅氏變換： (1) ()ut C? ； (2) 1 [ ( ) ( )]2 t a t a??? ? ? 解： (1) j j j11[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( )jjC C Cu t C e u t e e? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ?????FF； (2) jj( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] c o s2 2 2aat a t a t a t a e e a??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ????? FFF． 2求下列函數(shù)的傅氏變換： (2) 0j( ) ( )tf t e u t?? ； (3) 0j 0( ) ( )tf t e u t t???； (4) 0j( ) ( )tf t e tu t?? ． 解： (2) 記 0j10( ) [ ] 2 ( )tFe ?? ? ? ? ?? ? ?F ，2 1( ) [ ( ) ] ( )jF u t? ?? ??? ? ?F，由卷積定理有 1 2 00000000 01 1 1[ ( ) ] ( ) ( ) 2 ( ) ( )2 2 j ( )1( ) ( ) ( )j ( )11( ) ( )j ( ) j ( )tf t F F dt t dt tttt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ????????????? ? ? ? ? ????????? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ?? ? ??? 令F (3) 記 0j10( ) [ ] 2 ( )tFe ?? ? ? ? ?? ? ?F ，2 21( ) [ ( ) ] j ( )F tu t? ? ? ?? ?? ? ? ?F，由卷積定理有 1 2 0 20020002200 01 1 1[ ( ) ] ( ) ( ) 2 ( ) j ( )2 2 ( )1( ) j ( ) ( )()11j ( ) j ( )( ) ( )tf t F F dt t dt tttt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?????????????? ? ? ? ? ? ?????????? ? ? ? ? ? ?????????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? 令F (4) 記 0j10( ) [ ] 2 ( )tFe ?? ? ? ? ?? ? ?F ，0j20 1( ) [ ( ) ] ( )j tF u t t e ?? ? ? ?? ?? ? ? ?F，由卷積 定理有 0000 0 0 0j( )1 2 0j( )000j( ) j( )0000 01 1 1[ ( ) ] ( ) ( ) 2 ( ) ( )2 2 j ( )1( ) ( ) ( )j ( )11( ) (j ( ) j ( )tttt t ttf t F F e dt e t d tte t et????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ?????? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ? ? ? ????????? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ?? ? ??? 令F) 習題 9： 求下列函數(shù)的拉氏變換： (1) 1, 0 1,( ) 1,1 5,0, 5tf t tt????? ? ? ????? (3) ( ) c os ( ) si n ( )f t t t tu t???. 解： (1) 15 50 0 1 1[ ( ) ] ( ) ( 1 2 )s t s t s t s sf t f t e d t e d t e d t e es?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?L ． (3) 22200 1[ ( ) ] ( ) ( 1 s in ) 1 11s t s t sf t f t e d t t e d t ss? ? ? ???? ? ? ? ? ?????L． 求下列周期函數(shù)的拉氏變換： (1) ()ft以 2? 為周期且在一個周期內(nèi)的表達式為 s in , 0 ,()0 , 2ttft t ??????? ? ???． 解： ? ?00( j ) ( j )220011[ ( ) ] ( ) sin111 1 1sin1 2 j ( 1 ) ( 1 )T s t s ts T s Ts t s tssf t f t e d t te d teee d t te d te e s?????????? ? ???????? ? ? ?? ? ?????L 求下列函數(shù)的拉氏變換： (1) 2( ) ( 1) tf t t e?? ； (2) ( ) 5 si n 2 3 c osf