【正文】 和頻域分析結(jié)合起來(lái)，既能反映信號(hào)的頻率內(nèi)容，又能反映頻率內(nèi)容隨時(shí)間的變化規(guī)律。短時(shí) Fourier 變換的基本思想是 :把信號(hào)按時(shí)間劃分為 許多小的時(shí)間間隔，再用 Fourier 變換分析每一間隔，以便確定在那個(gè)時(shí)間間隔存在的頻率。但所劃分信號(hào)的時(shí)間間隔不能無(wú)限小，這是因?yàn)槎坛掷m(xù)時(shí)間信號(hào)有固有的大帶寬，而當(dāng)時(shí)間間隔變窄到一定程度之后所得的短持續(xù)時(shí)間信號(hào)幾乎與原信號(hào)的特性沒(méi)有關(guān)系。同時(shí)，當(dāng)我們選定某一特定窗后所得頻率分辨率和時(shí)間分辨率便固定不變了。這樣便可以得到更好的分析結(jié)果。當(dāng)然時(shí)頻分析方法還有許多，如 :WignerVille 分布、 Gbaor 展開(kāi)、經(jīng)驗(yàn)正交函數(shù) (EOF)展開(kāi)、 Cohen 分布、Rihaezek 分布等，但它們大部分都是以 Fourier 變換為基礎(chǔ)的，故不能從根本上克服 Fourier 變換的局限性 [1][2]。小波分析是一種在時(shí)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行離散變換，在頻域進(jìn)行譜分析的方法。它在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在 3 高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象，所以被譽(yù)為分析信號(hào)的顯微鏡和望遠(yuǎn)鏡。目前，最廣泛應(yīng)用的 Morlet 小波是基于 Fourier 分析得到的，它只能對(duì)線性信號(hào)做出有效物理解釋。而且小波基的有限長(zhǎng)會(huì)造成信號(hào)能量的泄漏，使信號(hào)的能量一頻率一時(shí)間分布很難定量給出。有時(shí)小波變換的解釋也不直觀，例如，用小波變換時(shí)，為了確定某一信號(hào)的局部變化，即使這一局部變換只是發(fā)生在低頻范圍內(nèi)，也必須從高頻范圍內(nèi)開(kāi)始去尋找這一結(jié)果，因?yàn)轭l率越高，小波變換 局部化特性越好 [3][4][5]。 它是一種分析非線性、非穩(wěn)定信號(hào)的新方法。而且能描繪出信號(hào)的時(shí)頻圖、時(shí)頻譜和幅值譜，是一種更具適應(yīng)性的時(shí)頻局部化分析方法。已有眾多學(xué)者和科研機(jī)構(gòu)都投入到 HilbertHuang 變換研究中來(lái)，如 NASA，青島海洋大學(xué)也己建立了相關(guān)的實(shí)驗(yàn)室。一是把 Hilbert－ Huang變 換推廣應(yīng)用于其他領(lǐng)域的非平穩(wěn)信號(hào)分析，進(jìn)一步驗(yàn)證了 Hilbert－ Huang 變換在處理非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)的優(yōu)越性。 Hilbert－ Huang 變換發(fā)展史 Hilbert－ Huang 變換是由 Huang 變換和 Hilbert 譜分析兩部分組成。 IMF 需具有以下兩個(gè)特點(diǎn) ： (a)其極值點(diǎn) (極大值和極小值 )數(shù)目與跨零點(diǎn)數(shù)目相等或最多相差一個(gè) ； (b)由其局部極大值構(gòu)成的上包絡(luò)和由其局部極小值構(gòu)成的下包絡(luò)的平均值為 0。記上、下包絡(luò)的均值曲線為 m0(t)，即 m0(t)= 2 )()( 00 tvtu ? . () 記 下 ： 對(duì)任意信號(hào) s(t)，首先求出 (s)t 的上包絡(luò) h1(t)=s(t)m0(t), () 判斷 h1(t)是否滿(mǎn)足條件 (a)和 (b)，若滿(mǎn)足，則得到第一個(gè) IMF， c1=h1(t)； 否則令 s(t)=h(t)，重復(fù)上述運(yùn)算。作計(jì)算 r(t)=s(t)c1(t)，對(duì) r(t)重復(fù)以上過(guò)程，依次得到第二個(gè) IMFc2(t)，第三個(gè)IMFc3(t)， …… ，直到 r(t)為一單調(diào)信號(hào)或其值小于預(yù)先給定的值時(shí)， EMD 分解結(jié)束。展開(kāi)（ ）為 Hilbert 譜，記為 H（ t,? ） =???nidttji ieta1)()( ? ( ) 由 Hilbert－ Hunag 變換的具體過(guò)程可以看出， Hilbert－ Hunag 變換對(duì)于信號(hào)具有多分辨特性，是一種更具自適應(yīng)性質(zhì)的時(shí) 頻局部化特性的分析方法?？梢灶A(yù)測(cè)，在不遠(yuǎn)的將來(lái)該方法必將在更多的研究領(lǐng)域中發(fā)揮巨大作用。特別是，某些重要的瞬時(shí)物理量和時(shí)頻表示就直接使用待分析實(shí)信號(hào)的復(fù)信號(hào)形式作定義。將實(shí)信號(hào)的負(fù)頻率頻譜部分去掉，只保留正頻率頻譜部分，信號(hào)占有的頻帶減少一半，有利于無(wú)線通信 (稱(chēng)為單邊帶通信 )等。 解析信號(hào) 表示復(fù)信號(hào) z(t)的最簡(jiǎn)單方法是用給定的實(shí)信號(hào) s(t)作其實(shí)部，并另外構(gòu)造虛部 )(~ts ,既 )(~)()( tsjtstz ?? () 構(gòu)造虛部雙 )(~ts 的最簡(jiǎn)單的方法是用原實(shí)信號(hào)是 s(t)去激勵(lì)一濾波器，用輸出作虛部。對(duì)上式兩邊作 Fourier 變換，則得頻譜表達(dá)式為 )].(1)[()()()()( fHfSfHfjSfSfZ ???? （ ） 對(duì)于窄帶信號(hào)而言，常保留該信號(hào)頻譜的正頻率部分，而剔除負(fù)頻率部分 (為使信號(hào)總能量不變，需要將正頻率的頻譜幅值加倍 )。 再進(jìn)行 Fourier 反變換可獲得濾波器的沖激響應(yīng)為 .12)()( tdffjefHth t ?? ?? ????? （ ） 8 將式 ()代入式 ()，又有 ttstsHts ?1)()]([)(~ ??? （ ） ???? dts????? ?? )(1 式中 r 為實(shí)的變量，而 H[s(t)]表示實(shí)信號(hào) s(t)的 Hilbert 變換。 Hilbert 變換具有以 下性質(zhì) 性質(zhì) 1 信號(hào) (s)t 通過(guò) Hilbert 變換后，信號(hào)頻譜的幅度不發(fā)生變化。m inm ax ffB ?? ?存在于帶寬 B 內(nèi)的所有頻率 (從最低頻率 fmin 到最高頻率 fmax)。 9 所有實(shí)際的信號(hào)都有一個(gè)起點(diǎn)和一個(gè)終點(diǎn)。對(duì)于 0tT，我們希望知道信號(hào)的能量是如何分布的，這就是信號(hào)的所謂頻率特性。在平穩(wěn)信號(hào)的分析與處理中，當(dāng)我們提到頻率時(shí)，指的是 Fuorier 變 換的參數(shù)一一圓頻率 f或角頻率 ? ，它們與時(shí)間無(wú)關(guān)。這里有兩個(gè)原因 ： （ 1） 非平穩(wěn)信號(hào)不再簡(jiǎn)單地用 Fourier 變換作分析工具 ； （ 2） 非平穩(wěn)信號(hào)的頻率是隨時(shí)間變化的。 從物理學(xué)的角度，信號(hào)可分為單分量和多分量信號(hào)兩大類(lèi)。多分量信號(hào)則在某些時(shí)刻具有多個(gè)不同的瞬時(shí)頻率。后來(lái)， ville[17]統(tǒng)一了這兩種不同的定義，將信號(hào) )](c o s [)()( ttats ?? 的瞬時(shí)頻率定義為 )]([ ar g21)( tzdtdtfi ?? , () 式中，下標(biāo) i 代表瞬時(shí) (instantaneous)，而 z(t)是實(shí)信號(hào) s(t)的解析信號(hào)。式 ()有很明確的物理意義 ： 解析信號(hào) z(t)表示復(fù)平面的一向量，而瞬時(shí)頻率則表示該向量幅角的轉(zhuǎn)速(以單位時(shí)間轉(zhuǎn)動(dòng)多少周計(jì)，如以弧度為單位，則應(yīng)乘以 2? )。 10 令 E 代表信號(hào) z(t)的總能量，即 ?? ???????? ??? EdftZdttztz 222 )()()( () 因此，歸一化的函數(shù) Etz /)( 2 和 EtZ /)( 2 ，加即可分別定義成信號(hào) ： z(t)在時(shí)域和頻率的能量密度函數(shù)。 與時(shí)域信號(hào) z(t)對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)物理量為瞬時(shí)頻率，而與頻率信號(hào) Z(f)對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)物理量稱(chēng)為群延遲 )(fg? 。 若 )()()( fjefAfZ ?? ，則)()](arg[ ffZ ?? 。如果信號(hào) 為線性相位，且其初始相位為零，則信號(hào)作不失真的延遲，其延遲時(shí)間為該線性相位特性的負(fù)斜率，即式 ()。 本 文的主要工作 本章主要講的是 HilberHuang 的發(fā)展史，以及和 Fourier 變換的關(guān)系，實(shí)際中遇到的信號(hào)往往都是非平穩(wěn)信號(hào)。雖然 Kalmna 濾波、 RLS 算法等自適應(yīng)濾波也適合于非平穩(wěn)信號(hào) 的處理，但只限于慢時(shí)變信號(hào)的跟蹤，并不能得到時(shí)變信號(hào)的統(tǒng)計(jì)量 (如功率譜等 )等結(jié)果。因此，尋找一種能使信號(hào)在時(shí)域和頻域上同時(shí)局部化的時(shí)頻分析法一直是信號(hào)分析所期待的。這便是時(shí)頻分析所要解決的問(wèn)題。對(duì)于一個(gè)非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)信號(hào)來(lái)講， Hilbert 變換得到的結(jié)果很大程度上失去了原有的物理意義。由此得到的 Hilbert 譜能夠準(zhǔn)確地反映出該物理過(guò)程中能量在空間 (或時(shí)間 )各種尺度上的分布規(guī)律，因此 EMD 方法為非平穩(wěn)數(shù)據(jù)信號(hào)進(jìn)行 Hilbert 變換奠定了基礎(chǔ)。 Hilbert－ Huang 變換算法包括兩個(gè)過(guò)程 :經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解及 Hilbert 譜分析。再對(duì)每個(gè) IMF 函數(shù)進(jìn)行 Hilbert 變換并求解出瞬時(shí)頻率就可以得到信號(hào)時(shí)頻平面上的能量分布，即 Hilbert 譜，進(jìn)而可以得到邊際譜。階數(shù)越低，其含有的高頻成分越多。從而打破了固定幅度與固定頻率的 Fourier 變換的限制，得到了一個(gè)可變幅度與可 13 變頻率的信號(hào)描述方法 [15]。它的引入使得信號(hào)瞬時(shí)頻率這一概念具有了實(shí)際的物理意義 ； 同時(shí)瞬時(shí)頻率的引入，使這一方法不同于用許多諧波分量來(lái)代表復(fù)雜的非線性與非平穩(wěn)信號(hào)的傳統(tǒng)方法，如 Fourier 變換，也不同于小波變換中尺度 (scale)的頻率定義方法，而是與頻率的經(jīng)典定義方法 (信號(hào)相位的導(dǎo)數(shù) )相一致。 Hilbert－ Huang 變換中所涉及的基本概念 在解釋任何物理數(shù)據(jù)中，最重要參數(shù)是時(shí)間尺度和時(shí)間一能量分布。在 Four1er 分析中，時(shí)間尺度被定義為連續(xù)、等幅三角函數(shù)分量的周期。這樣，這些尺度無(wú)論在幅度還是在頻率上都完全脫離了它們隨時(shí)間變化的這一事實(shí)。他假設(shè)數(shù)據(jù)是線性平穩(wěn)和正態(tài)分布的，并計(jì)算過(guò)零點(diǎn)和極值點(diǎn)的數(shù)目。兩個(gè)連續(xù)的過(guò)零點(diǎn)的時(shí)間間隔就是過(guò)零時(shí)間尺度 (the zerocrossing scales)。兩個(gè)連續(xù)的極值點(diǎn)的時(shí)間間隔就是極點(diǎn)時(shí)間尺度 (the extrema time scales)。因?yàn)樵摲椒蓽y(cè)量具有多個(gè)疊加波的寬帶數(shù)據(jù)。 盡管求極值的準(zhǔn)則較完善，但它并不總是很精確的，如果想更仔細(xì)地考查數(shù)據(jù) ,將會(huì)發(fā)現(xiàn)極值點(diǎn)的間隔也會(huì)丟失一些細(xì)小的時(shí)間尺度量。為了說(shuō)明這類(lèi)弱信號(hào)，我們提出另一種基于曲率變化的時(shí)間尺度。稱(chēng)兩個(gè)連續(xù)的曲率極值點(diǎn)的時(shí)間間隔，為曲率時(shí)間尺度 (the curve time Scales)。過(guò)零時(shí)間尺度方法是一種很粗糙的方法 。而曲率時(shí)間尺度由于用到了二次導(dǎo)數(shù)，所以其對(duì)噪聲比較敏感 ； EMD 方法中使用的時(shí)間尺度是極值點(diǎn)間隔。但也并非完全令人滿(mǎn)意，甚至?xí)a(chǎn)生一些 “悖論 ”[16]； (1)瞬時(shí)頻率可以不是頻譜中的頻率之一 ； 15 (2)如果有只由少數(shù)明顯的頻率組成的一個(gè)線狀頻譜，瞬時(shí)頻率可以是連續(xù)的， 而且在無(wú)數(shù)個(gè)值范圍內(nèi)變化 ； (3)雖然解析信號(hào)的頻譜對(duì)于負(fù)頻率為零，但瞬時(shí)頻率可以是負(fù)的 ； (4)對(duì)于一個(gè)窄帶信號(hào)，它的瞬時(shí)頻率可以在頻率之外。相應(yīng)的，多分量信號(hào)是指在某些時(shí)刻具有多個(gè)不同的瞬時(shí)頻率，不能應(yīng)用式 (2－ 2)計(jì)算。由于缺乏精確的定義，所以 “窄帶 ”的概念被用于瞬時(shí)頻率的限定上，以使瞬時(shí)頻率有意義 [17]。一種是根據(jù)數(shù)據(jù)的概率特性，若信號(hào)是平穩(wěn)與高斯的，那么帶寬可按如下方法定義 ： 信號(hào)單位時(shí)間內(nèi)過(guò)零點(diǎn) 的數(shù)目為 21020 1??????????? mmN ? () 同時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)極值點(diǎn)的數(shù)目為 21241 1 ??????? mmN ? () 其中， im 是第 i 階譜距。對(duì)于一個(gè)窄帶信號(hào) V=0，則意味著極值點(diǎn)數(shù)目和過(guò)零點(diǎn)數(shù)目相等。對(duì)于解析信號(hào))()()( tjetatz ?? ，其中 z(t)和 a(t)都是時(shí)間的函數(shù)，若該解析信號(hào)的頻譜為 Z(? )，那么其平均頻率為 ???? dZ 2)(????? () 還可以用下式給出 ??? ????????? ???? dttatdttata tajtdttzjtz )()()())( )()(()(1)( 222 ??? ??? () 其中 )(t?? ， )(ta? 分別表示護(hù) ? (t)， a(t)的導(dǎo)數(shù)。用這種表示法，帶寬可以定義為 ： ?????? ?? dZv 2222 22 )()(1)( ? ??? ???? dttzdtdjtz )(1)(1 222 ???? ?????? ?? ??