【正文】 conomy, the continuous development of education, mathematics has bee a pulsory subject. This article is in view of mathematics learning often encountered in the process of mon mathematical problem solving ideas and methods: function and equation thought, transforming ideas, bined with thought, classification and integrated thinking, method, change element method, method of undetermined coefficient, definition method. These mathematical problem solving ideas and methods of research, first of all to the origin and development have certain understanding and for a simple overview。 the final rendering using examples in the form of on every kind of problem solving thinking thought and methodology detailed explanation and analysis. Key words: problemsolving ideas and methods of the ideological function of the ideological function of the method of changing the method of changing the method of undetermined coefficient method 3 目錄 1 緒論 .................................................. 4 數(shù)學解題思想的起源及發(fā)展史 .................................. 4 研究數(shù)學解題思想和方法的目的與意義 .......................... 4 2 中學數(shù)學解題思想的介紹 ................................. 5 函數(shù)和方程思想 .............................................. 5 轉(zhuǎn)化思想 .................................................... 5 分類與整合思想 .............................................. 7 數(shù)形結合思想 ................................................ 7 3 中學數(shù)學解題的基本方法 ............................... 10 配方法 ..................................................... 10 換元法 ...................................................... 11 待定系數(shù)法 .................................................. 11 定義法 ..................................................... 12 數(shù)學歸納法 ................................................. 13 參數(shù)法 ..................................................... 14 反證法 ..................................................... 16 4 總結和啟示 ........................................... 17 謝 辭 .................................................. 18 參考文獻 ............................................... 19 4 1 緒論 數(shù)學解題思想的起源及發(fā)展史 在我國古代，就已經(jīng)出現(xiàn)用十進制數(shù)字的方 法表示大數(shù)；到秦朝和漢朝時期，十進制表示形式已經(jīng)發(fā)展到完滿的時期。 在殷墟出現(xiàn)了很多記數(shù)的甲骨文。在《史記 ?夏本記》中 提到夏禹治水時使用了規(guī)、矩、準、繩等工具進行測量和作圖，從而發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”這個勾股定理的特例，在西方稱為“勾股定理”。從秦漢、魏晉南北朝，共 400 年間的數(shù)學發(fā)展歷史征程。公元前 19 世紀到公元前 6世紀，美索不達米亞地區(qū)的文化為巴比倫文化 ,相應的數(shù)學稱為巴比倫數(shù)學。印度數(shù)學最早有文字記錄的是吠陀時代，其數(shù)學材料混雜在婆羅門教和印度教的經(jīng)典《吠陀》當中。但是“望子成龍”“望女成鳳”這種觀念幾乎存在每一位家長的心里。又有一句話說“學會數(shù)理化，走遍天下都不怕”，所以數(shù)學的學習是非常重要的。這樣會遇到各式各樣的題目，想要通過考試，就是要會運用正確方法去解題。 在教師教學方面要重視數(shù)學思想教學提煉的方法和應用。教師進行數(shù)學解題思想和方法的研究，更利于教師行為的完善和教師素質(zhì)的可持續(xù)發(fā)展。有助于學生形成良好的數(shù)學認知結構，利于知識轉(zhuǎn)化為能力。 下面的例子就是很好的說明函數(shù)和方程的思想： 例 1． 已知實數(shù) ba, 分別滿足 153 23 ??? aaa ， 553 23 ??? bbb ，則__ __ __ __ __?? ba 解：已知的等式都是三次方程，直接通過方程接觸 ba, 有一定的困難，但是，題設的兩個等式的左邊的結構相似，可以用統(tǒng)一的式子來表示這兩個等式，對題設的兩個等式變形為 2)1(2)1(,2)1(2)1( 33 ????????? bbaa 根據(jù)這兩個等式的特征，構造函數(shù) xxxf 2)( 3 ?? ， 函數(shù) )(xf 是一個奇函數(shù)，又是 R 上的增函數(shù)，則有 2)1(,2)1( ????? bfaf 于是， )1()1()1( bfbfaf ?????? ，因而得 ba ??? 11 所以 2??ba 此題做到了把一個代數(shù)式看成一個函數(shù)，把字母看作變量， 考慮函數(shù) 的性質(zhì)， 構造一個函數(shù)來幫助解題，把一個等式看作為一個含未知數(shù)的方程， 從而求這個方程的根以及考慮方程的根滿足的要求 ，充分體現(xiàn)了函數(shù)和方程的思想。事實上，解題的過程就是一個縮小已知與求解的差異的過程，是求解系統(tǒng)趨近于目標系統(tǒng)的過程，是未知向熟知轉(zhuǎn)化的過程，因此每解一道題，無論是難題還是易題，都離不開化歸。 例如下面這道題的解題思想就是對轉(zhuǎn)化思想的一個說明 : 例 2： 如 圖 21 ，在直三 棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，底面為直角 三角形，90 ,ACB?? 6,AC? 1 2BC CC??， P 是 1BC 上一動點，則 1CP PA? 的最小值是 ___________ 【分析】 ：如圖 22， 連 結 1AB，沿 1BC 將 1CBC? 展開與 11ABC? 在同一個平面內(nèi) ，連 1AC ，則 1AC 的長度就是所求的最小值 . 通過計算可得 ： 1 1 13 8 , 4 0A B A B A B? ? ?, 116AC? , 2 2,BC 所以 11 90AC B? ? ? ， 又 1 45BCC? ? ? ,于是 , 11 135AC C? ? ? 由余弦定理可求得 1AC=5 2 本題把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題 ,把沿表面兩點的距離問題轉(zhuǎn)化為平面 _ 2 _ 2_ 2_ 40 _ 6_ P _ C _ 1_ C _ A _ 1_ B 圖 2 三棱柱切割圖 7 上兩點間的距離問題 。研究方向基本是“分”，但分 類解決問題之后，還必須把它們總合在一起，這種“合－分－合”的解決問題的過程，就是分類與整合的思想方法。 數(shù)形結合思想 數(shù)形結合思想是一種很重要的數(shù)學思想，把數(shù)