20xx年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽-在線瀏覽
2024-10-24 08:41本頁面
【正文】 4 2 (na n n? ? ?N*)． 9. 函數(shù) ??? xxxy (|2c os||c os| R) 的最小值是 22 . 解：令 | cos | [0,1]tx??，則 2| 2 1|y t t? ? ? ． 當 2 12 t?? 時， 22192 1 2 ( )48y t t t? ? ? ? ? ?，得 2 22 y??； 4 當 20 2t?? 時， 22192 1 2 ( )48y t t t? ? ? ? ? ? ? ?，得 2928y?? ． 又 y 可取到 22 , 故填 22 ． 10. 在長方體 1 1 1 1ABC D A B C D? 中 , 12 , 1AB AA AD? ? ?, 點 E 、 F 、 G 分別是棱 1AA 、 11CD 與 BC 的中點 , 那么四面體 1B EFG? 的體積是 VB1－ EFG = 38 . 解：在 11DA 的延長線上取一點 H ，使 1 14AH?. 易證， 1||HE BG ， ||HE 平面 1BFG ． 故 1 1 1 1B E F G E B F G H B F G G B F HV V V V? ? ? ?? ? ?．而 1 98BFHS? ? ， G 到平面 1BFH 的距離為 1． 故填 138B EFGV? ? ． 11. 由三個數(shù)字 2 、 3 組成的 5 位數(shù)中 , 2 、 3 都至少出現(xiàn) 1 次 , 這樣的 5 位數(shù)共有 150 個 . 解：在 5 位數(shù)中 , 若 1 只出現(xiàn) 1 次，有 1 1 2 35 4 4 4( ) 7 0C C C C? ? ? 個； 若 1 只出現(xiàn) 2 次，有 2 1 25 3 3( ) 60C C C?? 個； 若 1 只出現(xiàn) 3 次，有 315220CC? 個． 則這樣的五位數(shù)共有 150 個． 故填 150 個． 12. 已知平面上兩個點集 22{ ( , ) | | 1 | 2 ( ) , ,M x y x y x y x y? ? ? ? ? ?R}, {( , ) | | | | 1 | 1 , ,N x y x a y x y? ? ? ? ? ?R}. 若 MN?? , 則 a 的取值范圍是 [1－ 6， 3+ 10] ． 解：由題意知 M 是以原點為焦點、直線 10xy? ? ? 為準線的拋物線上及其凹口 內(nèi)側(cè)的點集， N 是以 (,1)a 為中心的正方形及其內(nèi)部的點集 (如圖 )． 考察 MN?? 時 , a 的取值范圍 : 令 1y? , 代入方程 22| 1 | 2 ( )x y x y? ? ? ? , 2 1 4 63 5 71yx123123O 5 得 2 4 2 0xx? ? ? ，解出得 26x?? ． 所以， 當 2 6 1 1 6a ? ? ? ? ? 時 , MN?? ． ………… ③ 令 2y? ，代入方程 22| 1 | 2 ( )x y x y? ? ? ?, 得 2 6 1 0xx? ? ? . 解出得 3 10x?? ．所以， 當 3 10a?? 時 , MN?? ． ………… ④ 因此 , 綜合 ③ 與 ④ 可知 ，當 1 6 3 10a? ? ? ?，即 [1 6 , 3 10 ]a ? ? ? 時 , MN?? ．故填 [1 6,3 10]??. 三． 解答題 (第一題、第二題各 15 分 ； 第三題、第四題各 24 分 ) 13. 已知點 M 是 ABC? 的中線 AD 上的一點 , 直線 BM 交邊 AC 于點 N , 且 AB 是 NBC? 的外接圓的切
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