【正文】 toregressiveintegratedmoving average)ARIMA模型，簡(jiǎn)記為 ),( qdpARIMA 。而 Gramer 分解定理則在理論上保證了適當(dāng)階數(shù)的差分一定可以充分提取確定性信息。對(duì)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)分析無(wú)論是采用確定性時(shí)序分析方法 ， 還是隨機(jī)時(shí)序分析方法，分析的第一步都是要通過(guò)有效手段提取序列中所蘊(yùn)藏的確定性信息。 一、 ARIMA 模型 隨著對(duì)時(shí)間序列分析方法的深入研究，人們發(fā) 現(xiàn)非平穩(wěn)序列的確定性因素分解方法（如季節(jié)模型、趨勢(shì)模型、移動(dòng)平均、指數(shù)平滑等）存在一些問(wèn)題，它只能提取顯著的確定性信息，對(duì)隨機(jī)性信息浪費(fèi)嚴(yán)重，同時(shí)也無(wú)法對(duì)確定性因素之間的關(guān)系進(jìn)行分析。 1987年， 提出了協(xié)整（ cointegration）理論，在多變量時(shí)間序列建模過(guò)程中“變量是平穩(wěn)的”不再是必須條件了，而只要求它們的某種組合是平穩(wěn)的。在異方差場(chǎng)合， Robert 在 1982 年提出了自回歸條件異方 差 ARCH 模型，以及在 ARCH 模型上衍生出的一系列拓展模型。隨著對(duì)時(shí)間序列應(yīng)用的深入研究，發(fā)現(xiàn)還存在著許多局限性。相對(duì)于一個(gè)序列的過(guò)去值 ， 可用傳統(tǒng)的 Box和 Jenkins 方法建模。為了紀(jì)念 Box和 Jenkins 對(duì)時(shí)間序列發(fā)展的特殊貢獻(xiàn)，現(xiàn)在人們也常把 ARIMA模型稱為 BoxJenkins 模型。9f7f455e131c908d9235459d28b49e0b 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電 子商務(wù)系列 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 1 of 49 第四十二課 非平穩(wěn)序列的隨機(jī)分析 20 世紀(jì) 70 年代， G. P. Box 和 G. M. Jenkins 發(fā)表了專著《時(shí)間序列分析：預(yù)測(cè)和控制》，對(duì)平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)，提出了自回歸滑動(dòng)平均模型 ARIMA，以及一整套的建模、估計(jì)、檢驗(yàn)和控制方法。使時(shí)間序列分析廣泛地運(yùn)用成為可能。 當(dāng)我們擬合一個(gè)時(shí)間序列時(shí)，先通過(guò)差分法或適當(dāng)?shù)淖儞Q使非平穩(wěn)序列化成為平穩(wěn)序列，我們?cè)僖紤]的是參數(shù)化和記憶特征的有效性，用這種參數(shù)方 法擬合序列為某種特定的結(jié)構(gòu)，只用很少量的參數(shù)，使參數(shù)的有效估計(jì)成為可能。 實(shí)際上， BoxJenkins 模型主要是運(yùn)用于單變量、同方差場(chǎng)合的線性模型。所以近 20 年來(lái)，統(tǒng)計(jì)學(xué)家紛紛轉(zhuǎn)向多變量、異方差和非線性場(chǎng)合的時(shí)間序列分析方法的研究，并取得突破性的進(jìn)展，其中 Engle和 Granger一起獲得 2020年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。在多變量場(chǎng)合， 70年代末， G. E. P. Box教授和刁錦寰教授在處理洛山磯的環(huán)境數(shù)據(jù)時(shí)，提出了干預(yù)分析和異常值檢驗(yàn)方法。非線性時(shí)間序列分析也有重大發(fā)展，湯家豪教授等在 1980年左右提出了利用分段線性化構(gòu)造門限自回歸模型。而非平穩(wěn)序列隨機(jī)分析的發(fā)展就是為了彌補(bǔ)確定性因素分解方法的不足。 Box和 Jenkins 特別強(qiáng)調(diào)差分方法的使用，他們使用大量的案例分析證明差分方法是一種非常簡(jiǎn)便有效的確定性信息的提取方法。 1. ARIMA 模型的結(jié)構(gòu) 許多實(shí)際的序列，特別是從經(jīng)濟(jì)和商業(yè)領(lǐng)域產(chǎn)生的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，由于 受 觀察個(gè)數(shù)所限，我們建立有限階數(shù)模型，描述時(shí)間序列過(guò)程。這種模型包括很廣的一類有限參數(shù)的線性時(shí)間序列模型，非常有用地描述各種時(shí)間序列。 pp BBBB ??? ?????? ?2211)( 為平穩(wěn)可逆 ),( qpARMA 模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式。 ),0(~ 2??? WNt 為零均值 的白噪聲序列。這一關(guān)系表明，任何非平穩(wěn)序列只要通過(guò)適當(dāng)階數(shù)的差分實(shí)現(xiàn)差分后平穩(wěn)，就可以對(duì)差分后序列進(jìn)行ARMA模型的擬合了。特別當(dāng) ),( qdpARIMA 模型中的參數(shù) p 、 d 、 q 取一些特殊值時(shí)，可以轉(zhuǎn)換成一些常見(jiàn)模型，例如，當(dāng) 0?d 時(shí)，就是 ),( qpARMA 模型；當(dāng) 0?p 時(shí)，為 ),( qdIMA 模型；當(dāng) 0?q 時(shí)，為 ),( dpARI 模型；當(dāng) 0,1 ??? qpd 時(shí)， )0,1,0(ARIMA 模型為 ttt xx ??? ?1 ，被稱為隨機(jī)游走模型，或稱醉漢模型，是有效市場(chǎng)理論的核心，常應(yīng)用于投機(jī)價(jià)格走勢(shì)的模擬。如 圖 所示。 identify 語(yǔ)句讀入后9f7f455e131c908d9235459d28b49e0b 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電 子商務(wù)系列 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 3 of 49 面語(yǔ)句中用到的時(shí)間序列，一般先對(duì)序列進(jìn)行非線性、差分和平穩(wěn)性檢驗(yàn)，可能對(duì)序列進(jìn)行差分，然后計(jì)算自相關(guān)系數(shù) ACF、逆自相關(guān)系數(shù) IACF、偏自相關(guān)系數(shù) PACF 和互相關(guān)系數(shù)。如果模型確定，還可以檢驗(yàn)樣本自相關(guān)系數(shù) SACF 和樣本偏自相關(guān)系數(shù) SPACF，以分出模型的類型。 estimate 語(yǔ)句也生成診斷統(tǒng)計(jì)量從而幫助判斷該模型的適用性。擬合優(yōu)度統(tǒng)計(jì)量 2R 可幫助比較該模型和其他模型的優(yōu)劣。如果診斷檢驗(yàn)表明模型不適用，則可嘗試另一個(gè)模型然后重復(fù)估計(jì)和診斷。 圖 BoxJenkins 法建模過(guò)程示意圖 二、 ARIMA 過(guò)程 SAS/ETS 軟件中的 ARIMA 過(guò)程是集一元時(shí)間序列模型判定、參數(shù)估計(jì)和預(yù)測(cè)為一體的9f7f455e131c908d9235459d28b49e0b 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電 子商務(wù)系列 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 4 of 49 多功能綜合工具。當(dāng) ARIMA模型包括其他時(shí)間序列作為輸入變量時(shí)，該模型有時(shí)也被稱為 ARIMAX 模型。 ARIMA模型有三個(gè)參數(shù)（ p,d,q） ,這里 p 指模型的自回歸部分的階數(shù)， d 指序列差分的次數(shù)， q 指模型平均移動(dòng)部分的次數(shù)。 ARIMA過(guò)程一般由下列語(yǔ)句控制： proc arima data=時(shí)間序列數(shù)據(jù)集 out=輸出預(yù)測(cè)值數(shù)據(jù)集 。 identify var=變量（ ? ） 選項(xiàng)列表 。 forecast 選項(xiàng)列表 。 where 語(yǔ)句的作用是指定用于分析的時(shí)間間隔，通常條件表達(dá)式是有關(guān)日期的條件表達(dá)式，例如 ， ?31dec98?dday?31dec99?d，其中 day 是輸入數(shù)據(jù)集中的日期變量。 identify 語(yǔ)句主要完成時(shí)間序列的差分計(jì)算、 樣本 ACF、 IACF 和 PACF 函數(shù)的計(jì)算、卡方檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和白噪聲自相關(guān)檢驗(yàn)的 p 值的計(jì)算。例如， var=X（ 1）為對(duì)滯后 1 項(xiàng)的序列差分，即 Xt－ Xt1。 var=X（ 1， 1）為 X 進(jìn)行二階差分，即（ Xt－ Xt1）－（ Xt1－ Xt2）。 ? noprint——不輸出結(jié)果。干預(yù)變量在交叉相關(guān)變量中。 2. estimate 語(yǔ)句中的 選項(xiàng)列表 該語(yǔ)句對(duì)已執(zhí)行的 identify 語(yǔ)句中的響應(yīng)變量規(guī)定一個(gè)模型，可以縮寫為 e。 ? q=（ q1,q2,… ）?（ q1,q2,… ） ——定義一個(gè)在 q 中指定的滯后處具有滑動(dòng)平均參數(shù)的模型， q的默認(rèn)值為 0。 ? noconstant——在模型中舍棄常數(shù)項(xiàng) μ 。 ? method=ml/uls/cls——指定估計(jì)時(shí)使用的方法。默認(rèn)值為 cls。 9f7f455e131c908d9235459d28b49e0b 商務(wù)數(shù)據(jù)分析 電 子商務(wù)系列 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 5 of 49 ? outmode=數(shù)據(jù)集名 ——將模型和參數(shù)估計(jì)值輸出到指定的數(shù)據(jù)集。 ? plot——可以繪制殘差自回歸函數(shù)等?？梢钥s寫為 f。上下置信限的置信水平為 1－ ?。 ? lead=n——指定要計(jì)算的多步向前預(yù)測(cè)值的次數(shù)。 ? back=n——指定在數(shù)據(jù)末尾前 n個(gè)觀測(cè)值開(kāi)始進(jìn)行分步預(yù)測(cè)。 ? interval=時(shí)間間隔 ——指定觀測(cè)之間的時(shí)間間隔。 ? id=變量名 ——指明輸入數(shù)據(jù)集中一個(gè)變量，用于識(shí)別與觀測(cè)有關(guān)的時(shí)間周期。 ? out=數(shù)據(jù)集名 ——將預(yù)測(cè)值和其他值輸出到一個(gè)指定的數(shù)據(jù)集中。 三、 實(shí)例分析 例 建立國(guó)際航線旅客月度人數(shù)的 ARIMA模型。使用 ARIMA過(guò)程進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)。 表 1949 年至 1961 年國(guó)際航線旅客月度人數(shù) YEAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1949 112 118 132 129 121 135 148 148 136 119 104 118 1950 115 126 141 135 125 149 170 170 158 133 114 140 1951 145 150 178 163 172 178 199 199 184 162 146 166 1952 171 180 193 181 183 218 230 242 209 191 172 194 1953 196 196 236 235 229 243 264 272 237 211 180 201 1954 204 188 235 227 234 264 302 293 259 229 203 229 1955 242 233 267 269 270 315 364 347 312 274 237 278 1956 284 277 317 313 318 374 413 405 355 306 271 306 1957 315 301 356 348 355 422 465 467 404 347 305 336 1958 340 318 362 348 363 435 491 505 404 359 310 337 1959 360 342 406 396 420 472 548 559 463 407 362 405 1960 417 391 419 461 472 535 622 606 408 461 390 432 1. 建立數(shù)據(jù)集和繪制原始時(shí)間序列圖 首先，輸入要分析的時(shí)間序列的數(shù)據(jù)，建立 SAS 數(shù)據(jù)集。 data arimad01。month39。31dec194839。 input x 。 112 118 132 129 121 135 148 148 136 119 104 118 115 126 141 135 125 149 170 170 158 133 114 140 ? ? ? 417 391 419 461 472 535 622 606 408 461 390 432 。 proc gplot data=arimad01 。31dec194939。1jan6139。 symbol1 i=join v=c h= l=1 font=swissb。Passenger39。 axis2 label=(39。) order=(39。d to 39。d by year)。 title1 39。 run。 ? 直接估計(jì)平穩(wěn)性。如果時(shí)間序列有某種趨勢(shì)或呈現(xiàn)出增加或減少范圍的擴(kuò)散現(xiàn)象，則序列是不平穩(wěn)的。如果序列的折線圖并不明顯地呈現(xiàn)上述現(xiàn)象，而我們又無(wú)法直 接判斷序列究竟平穩(wěn)與否，通?？梢岳?proc arima 過(guò)程的 identify 語(yǔ)句來(lái)檢測(cè)序列是否平穩(wěn)。 identify var=x。 提交 程序 運(yùn)行后，部分結(jié)果 如 表 所示。自相關(guān)圖顯示出來(lái)的這兩個(gè)性質(zhì)和該序列時(shí)序圖顯示出的帶長(zhǎng)期遞增趨勢(shì)的周期性質(zhì)是非常吻合的。對(duì)于不同的時(shí)間序列類型，它們相應(yīng) ACF 的特性有： ? 若時(shí)間序列是隨機(jī)無(wú)趨勢(shì)的，所有時(shí)滯的自相關(guān)系數(shù)都等于 0。 ACF 本身似乎隨著時(shí)滯長(zhǎng)度的增加而呈下降趨勢(shì)。 ? 若時(shí)間序列有趨勢(shì)且具有季節(jié)性，那么自相關(guān)系數(shù)特性類同于有趨勢(shì)序列，但是它們是擺動(dòng)的，對(duì)于按月的數(shù)據(jù)，在時(shí)滯 12， 24?等處具有峰態(tài)。 另外，在 ACF 圖中，通過(guò)自相關(guān)系數(shù)值的圖示是否在零點(diǎn)附近的兩條對(duì)稱的虛線之內(nèi)， ARIMA Procedure Name of variable = X. Mean of working series = Standard deviation = Number of observations = 144 Autocorrelations Lag Covariance Co