【正文】 ；（4）∠A=∠C+∠P．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠A，∵∠1=∠C+∠P，∴∠A=∠C+∠P．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)定理的應(yīng)用，注意輔助線的作法．已知：直線 AB∥CD，點(diǎn) M，N 分別在直線 AB，CD 上，點(diǎn) E 為平面內(nèi)一點(diǎn)。EF 平分∠MEN，NP 平分∠END，EQ∥NP，求∠FEQ 的度數(shù)．（用含 m 的式子表示）（3）如圖 3，點(diǎn) G 為 CD 上一點(diǎn)，∠BMN=n∠EMN，∠GEK=n∠GEM，EH∥MN 交 AB 于點(diǎn) H，探究∠GEK，∠BMN，∠GEH 之間的數(shù)量關(guān)系（用含 n 的式子表示）【答案】（1）∠E＝∠BME＋∠END；（2）m176。∠GEH【解析】試題分析：（1）過點(diǎn)E作l∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得∠1=∠BME，∠2=∠DNE，由∠MEN=∠1+∠2，等量代換可得結(jié)論；（2）利用角平分線的性質(zhì)可得∠NEF＝∠MEN，∠ENP＝∠END，由EQ∥NP，可得∠QEN＝∠ENP＝∠END，由（1）的結(jié)論可得∠MEN=∠BME+∠END，等量代換得出結(jié)論；（3）由已知可得∠EMN＝∠BMN，∠GEM＝∠GEK，由EH∥MN，可得∠HEM＝∠ENM＝∠BMN，因?yàn)椤螱EH=∠GEM∠HEM，等量代換得出結(jié)論．試題解析：（1）如圖1，過點(diǎn)E作l∥AB，∵AB∥CD，∴l(xiāng)∥AB∥CD，∴∠1=∠BME，∠2=∠DNE，∵∠MEN=∠1+∠2，∴∠E=∠BME+∠END，故答案為：∠E=∠BME+∠END；（2）如圖2，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠NEF＝∠MEN，∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠QEN＝∠ENP＝∠END，∵∠MEN=∠BME+∠END，∴∠MEN∠END=∠BME=m176。；（3）∠GEK＝∠BMN＋n∠GEH．如圖3，∵∠BMN=n?∠EMN，∠GEK=n?∠GEK，∴∠EMN＝∠BMN，∠GEM＝∠GEK，∵EH∥MN，∴∠HEM＝∠ENM＝∠BMN，∵∠GEH=∠GEM∠HEM=∠GEK?∠BMN，∴n∠GEH=∠GEK∠BMN，即∠GEK＝∠BMN＋n∠GEH．點(diǎn)睛：本題主要考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是會(huì)綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義解決問題．完成下面的證明如圖，端點(diǎn)為P的兩條射線分別交兩直線ll2于A、C、B、D四點(diǎn)，已知∠PBA=∠PDC，∠l=∠PCD，求證：∠2+∠3=180176。（　 ?。唷?+∠3=180176。利用等量代換即可得∠2+∠3=180176。（ 鄰補(bǔ)角定義），∴∠2+∠3=180176?！?=∠B，求證:EF∥BC．【答案】見解析.【解析】【分析】先依據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，即可得到DF∥AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得出∠B=∠FDH，進(jìn)而得到∠3=∠FDH，即可依據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，判定EF∥BC．【詳解】證明：∵∠1+∠2=180176。（等量代換）∴DF∥AB（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴∠B=∠FDH（兩直線平行，同位角相等）∵∠3=∠B（已知）∴∠3=∠FDH（等量代換）∴EF∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，補(bǔ)角定義的應(yīng)用，能運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，反之亦然．（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1，D是△ABC邊AB延長線上一點(diǎn)，求證:∠A+∠C=∠CBD．小白同學(xué)的想法是，過點(diǎn)B作 BE∥AC，從而將∠A和∠C轉(zhuǎn)移到∠CBD處，使這三個(gè)角有公共頂點(diǎn)B，請(qǐng)你按照小白的想法，完成解答；（問題解決）在上述問題的前提，,如圖3，從點(diǎn)B引一條射線與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)F，且∠CBF=∠DBF，探究∠A與∠F的數(shù)量關(guān)系。【答案】問題發(fā)現(xiàn):見解析. 問題解決:∠A與∠F的數(shù)量關(guān)系是∠F＝∠A,見解析。∠1∠3∴∠F=180176?！?（∠A+2∠1）＝180176。∠PCD＝120176。.∴∠APE＝180176。－130176。.∵AB∥CD．∴PE∥CD．…………請(qǐng)你幫助小明完成剩余的解答.（2）問題遷移：請(qǐng)你依據(jù)小明的思路，解答下面的問題：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，∠MDP＝∠α，∠BCP＝∠β.①當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.②當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O不重合），請(qǐng)直接寫出∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)110176。；(2)2∠AQB+∠C＝180176。.（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)首先計(jì)算出∠DAC、∠ACB、∠CBE，再根據(jù)角的度數(shù)求比值.【詳解】(1)在圖①中，過點(diǎn)C作CF∥AD，則CF∥BE．∵CF∥AD∥BE，∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180176。﹣(∠B﹣∠A)＝120176。﹣(∠CBE﹣∠CAD)＝180176。．(3)∵AC∥QB，∴∠AQB＝∠CAP＝∠CAD，∠ACP＝∠PBQ＝∠CBE，∴∠ACB＝180176。﹣∠CBE．∵2∠AQB+∠ACB＝180176。即∠CAD+∠CBE＝180176?！螩BE＝120176。﹣(∠CBE﹣∠CAD)＝120176。：120176。＝1：2：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，再結(jié)合考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵在于做出合理的輔助線.如圖，CD⊥AB于D，點(diǎn)F是BC上任意一點(diǎn)，F(xiàn)E⊥AB于E，且∠1=∠2，∠3=80176。．【解析】【分析】（1）由CD⊥AB，F(xiàn)E⊥AB，則CD∥EF，則∠2=∠BCD，從而證得BC∥DG，即∠B=∠ADG；(2). 由CD∥EF，則∠3=∠BCG,即可求解.【詳解】（1）∵CD⊥AB，F(xiàn)E⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠BCD，∵∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴BC∥DG，∴∠B=∠ADG； （2）∵DG∥BC，∴∠3=∠BCA，∵∠3=80176。．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運(yùn)用.如圖1，已知，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)、在直線上，且于.（1）求證：；（2）如圖2，平分交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，求的度數(shù)；（3）如圖3，為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)