【正文】 ①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分別根據(jù)這三種情況求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)AM=t則DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=（2﹣t）2t=﹣t2+2t，把解析式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得△MNB最大面積；此時(shí)點(diǎn)M在D點(diǎn)，點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x(chóng)軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x(chóng)軸下方2個(gè)單位處．【詳解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：如圖1，①當(dāng)CP=CB時(shí)，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②當(dāng)PB=PC時(shí)，OP=OB=3，∴P3（0，3）；③當(dāng)BP=BC時(shí)，∵OC=OB=3∴此時(shí)P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如圖2，設(shè)AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，∴S△MNB=（2﹣t）2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，△MNB面積最大，最大面積是1．此時(shí)點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x(chóng)軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x(chóng)軸下方2個(gè)單位處．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求運(yùn)動(dòng)多少秒使△PBQ的面積最大，最大面積是多少？（3）當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上存在點(diǎn)K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）y=x2﹣x﹣3（2）運(yùn)動(dòng)1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是（3）K1（1，﹣），K2（3，﹣）【解析】【詳解】試題分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、b的解析式，通過(guò)解方程組求得它們的值；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．利用三角形的面積公式列出S△PBQ與t的函數(shù)關(guān)系式S△PBQ=﹣（t﹣1）2+．利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答；（3）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=x﹣3．由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，m2﹣m﹣3）．如圖2，過(guò)點(diǎn)K作KE∥y軸，交BC于點(diǎn)E．結(jié)合已知條件和（2）中的結(jié)果求得S△CBK=．則根據(jù)圖形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m），把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入推知：﹣m2+3m=．易求得K1（1，﹣），K2（3，﹣）．解：（1）把點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）分別代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得，解得，所以該拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣3；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=3t，BQ=t．∴PB=6﹣3t．由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．在Rt△BOC中，BC==5．如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于點(diǎn)H．∴QH∥CO，∴△BHQ∽△BOC，∴，即，∴HQ=t．∴S△PBQ=PB?HQ=（6﹣3t）?t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+．當(dāng)△PBQ存在時(shí)，0＜t＜2∴當(dāng)t=1時(shí)，S△PBQ最大=．答：運(yùn)動(dòng)1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是；（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0）．把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直線BC的解析式為y=x﹣3．∵點(diǎn)K在拋物線上．∴設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，m2﹣m﹣3）．如圖2，過(guò)點(diǎn)K作KE∥y軸，交BC于點(diǎn)E．則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m﹣3）．∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m．當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=．∴S△CBK=．S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m）=4?EK=2（﹣m2+m）=﹣m2+3m．即：﹣m2+3m=．解得 m1=1，m2=3．∴K1（1，﹣），K2（3，﹣）．點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍，即自變量的取值范圍．4．童裝店銷售某款童裝,每件售價(jià)為60元,每星期可賣100件,為了促銷該店決定降價(jià)銷售,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元,每星期可多賣10件,已知該款童裝每件成本30元,設(shè)降價(jià)后該款童裝每件售價(jià)元,每星期的銷售量為件.(1)降價(jià)后,當(dāng)某一星期的銷售量是未降價(jià)前一星期銷售量的3倍時(shí)，求這一星期中每件童裝降價(jià)多少元?(2)當(dāng)每件售價(jià)定為多少元時(shí),一星期的銷售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?【答案】（1）這一星期中每件童裝降價(jià)20元；（2）每件售價(jià)定為50元時(shí)，一星期的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)4000元．【解析】【分析】（1）根據(jù)售量與售價(jià)x（元/件）之間的關(guān)系列方程即可得到結(jié)論．（2）設(shè)每星期利潤(rùn)為W元，構(gòu)建二次函數(shù)利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得，（60﹣x）10+100＝3100，解得：x＝40，60﹣40＝20元，答：這一星期中每件童裝降價(jià)20元；（2）設(shè)利潤(rùn)為w，根據(jù)題意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，答：每件售價(jià)定為50元時(shí)，一星期的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)4000元．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次不等式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，利用圖象法解一元二次不等式，屬于中考?？碱}型．5．如圖1，拋物線C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC=3OA，拋物線C1的頂點(diǎn)為G．（1）求出拋物線C1的解析式，并寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；（2）如圖2，將拋物線C1向下平移k（k＞0）個(gè)單位，得到拋物線C2，設(shè)C2與x軸的交點(diǎn)為A′、B′，頂點(diǎn)為G′，當(dāng)△A′B′G′是等邊三角形時(shí)，求k的值：（3）在（2）的條件下，如圖3，設(shè)點(diǎn)M為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線CC2于P、Q兩點(diǎn)，試探究在直線y=﹣1上是否存在點(diǎn)N，使得以P、Q、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，4）；（2）k=1；（3）M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)及OC=3OA得點(diǎn)C坐標(biāo)，將A、C坐標(biāo)代入解析式求解可得；（2）設(shè)拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)BD′=m，由等邊三角形性質(zhì)知點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（m+1，0），點(diǎn)G′的坐標(biāo)為（1，m），代入所設(shè)解析式求解可得；（3）設(shè)M（x，0），則P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根據(jù)PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均為鈍角知△AOQ≌△PQN，延長(zhǎng)PQ交直線y=﹣1于點(diǎn)H，證△OQM≌△QNH，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊相等建立關(guān)于x的方程，解之求得x的值從而進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），∴OA=1，∴OC=3OA，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），將A、C坐標(biāo)代入y=ax2﹣2ax+c，得：，解得：，∴拋物線