【正文】 x)＝ log5(2x＋ 1)的單調(diào)增區(qū)間是 ______． 解析 要使 y＝ log5(2x＋ 1)有意義，則 2x＋ 1＞ 0，即 x＞－ 12，而 y＝ log5u 為 (0，＋ ∞ )上的增函數(shù)，當(dāng) x＞－ 12時， u＝ 2x＋ 1 也為增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 ??? ???－ 12，＋ ∞ . 答案 ??? ???－ 12，＋ ∞ 5．若 x＞ 0，則 x＋ 2x的最小值為 ________． 解析 ∵ x＞ 0，則 x＋ 2x≥ 2 x湖南 )已知函數(shù) f(x)＝ ex－ 1， g(x)＝－ x2＋ 4x－ f(a)＝ g(b)，則 b 的取值范圍為 ( )． A． [2－ 2， 2＋ 2] B． (2－ 2， 2＋ 2) C． [1,3] D． (1,3) 解析 函數(shù) f(x)的值域是 (－ 1，＋ ∞ )，要使得 f(a)＝ g(b)，必須使得－ x2＋ 4x－ 3＞－ x2－ 4x＋ 2＜ 0，解得 2－ 2＜ x＜ 2＋ 2. 答案 B 3． (2020遼寧 )設(shè)函數(shù) f(x)＝ ??? 21－ x， x≤ 1，1－ log2x， x＞ 1， 則滿足 f(x)≤ 2 的 x 的取值范圍是 ( )． A． [－ 1,2] B． [0,2] C． [1，＋ ∞ ) D． [0，＋ ∞ ) [審題視點 ] 對于分段函數(shù)應(yīng)分段求解，最后再求其并集． 解析 f(x)≤ 2? ??? x≤ 1，21－ x≤ 2 或 ??? x＞ 1，1－ log2x≤ 2? 0≤ x≤ 1 或 x＞ 1，故選 D. 答案 D 分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．解決分段函數(shù)問題，關(guān)鍵抓住在不同的段內(nèi)研究問題，如本例中，需分 x≤ 1 和 x＞ 1 時分別解得 x 的范圍，再求其并集． 【訓(xùn)練 3】 (2020陜西 )某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每 10 人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以 10 的余數(shù)大于 6 時再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y 與該班人數(shù) x 之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù) y＝ [x]([x]表示不大于 x 的最大整數(shù) )可以表示為 ( )． A． y＝ ??? ???x10 B． y＝ ??? ???x＋ 310 C． y＝ ??? ???x＋ 410 D． y＝ ??? ???x＋ 510 解析 根據(jù)規(guī)定各班每 10 人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以 10 的余數(shù)大于 6時再增選一名代表，即余數(shù)分別為 9 時可增選一名代表．因此利用取整函數(shù)可表示為 y＝ ??? ???x＋ 310 .故選 B. 答案 B 5．函數(shù) y＝ f(x)的圖象如圖所示．那么， f(x)的定義域是 ________；值域是 ________；其中只與 x 的一個值對應(yīng)的 y 值的范圍是 ________． 解析 任作直線 x＝ a，當(dāng) a 不在函數(shù) y＝ f(x)定義域內(nèi)時，直線 x＝ a 與函數(shù) y＝f(x)圖象沒有交點；當(dāng) a 在函數(shù) y＝ f(x)定義域內(nèi)時，直線 x＝ a 與函數(shù) y＝ f(x)的圖象有且只有一個交點． 任作直線 y＝ b，當(dāng)直線 y＝ b 與函數(shù) y＝ f(x)的圖象有交點，則 b 在函數(shù) y＝ f(x)的值域內(nèi)；當(dāng)直線 y＝ b 與函數(shù) y＝ f(x)的圖象沒有交點，則 b 不在函數(shù) y＝ f(x)的值域內(nèi)． 答案 [－ 3,0]∪ [2,3] [1,5] [1,2)∪ (4,5] 考向一 求函數(shù)的定義域 【例 1】 ?求下列函數(shù)的定義域： (1)f(x)＝ |x－ 2|－ 1log2?x－ 1?； (2)f(x)＝ ln?x＋ 1?－ x2－ 3x＋ 4. [審題視點 ] 理解各代數(shù)式有意義的前提，列不等式解得． 解 (1)要使函數(shù) f(x)有意義，必須且只須??? |x－ 2|－ 1≥ 0，x－ 10，x－ 1≠ 1. 解不等式組得 x≥ 3，因此函數(shù) f(x)的定義域為 [3，＋ ∞ )． (2)要使函數(shù)有意義，必須且只須 ??? x＋ 10，－ x2－ 3x＋ 40， 即 ??? x－ 1，?x＋ 4??x－ 1?0， 解得：－ 1x1. 因此 f(x)的定義域為 (－ 1,1)． 求函數(shù)定義域的主要依據(jù)是 (1)分式的分母不能為零； (2)偶次方根的被開方式其值非負； (3)對數(shù)式中真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于 1. 【訓(xùn)練 1】 (2020第 1 講 函數(shù)及其表示 【高考會這樣考】 1．主要考查函數(shù)的定義域、值域、解析式的求法． 2．考查分段函數(shù)的簡單應(yīng)用． 3．由于函數(shù)的基礎(chǔ)性強，滲透面廣，所以會與其他知識結(jié)合考查． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 正確理解函數(shù)的概念是學(xué)好函數(shù)的關(guān)鍵，函數(shù)的概念比較抽象，應(yīng)通過適量練習(xí)彌補理解的缺陷，糾正理解上的錯誤．本講復(fù)習(xí)還應(yīng)掌握： (1)求函數(shù)的定義域的方法； (2)求函數(shù)解析式的基本方法； (3)分段函數(shù)及其應(yīng)用． 基礎(chǔ)梳理 1．函數(shù)的基本概念 (1)函數(shù)的定義：設(shè) A、 B 是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系 f，使對于集合 A中的 任意 一個數(shù) x，在集合 B 中都有 唯一 確定的數(shù) f(x)和它對應(yīng)，那么稱f： A→ B 為從集合 A到集合 B 的一個函數(shù)，記作： y＝ f(x)， x∈ A. (2)函數(shù)的定義域、值域 在函數(shù) y＝ f(x)， x∈ A中， x 叫自變量， x 的取值范圍 A叫做 定義域 ，與 x 的值對應(yīng)的 y 值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合 {f(x)|x∈ A}叫值域．值域是集合 B 的子集． (3)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系． (4)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的 定義域和 對應(yīng)關(guān)系 完全一致，則這兩個函數(shù)相等；這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)． 2． 函數(shù)的三種表示方法 表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法、 圖象法． 3． 映射的概念 一般地，設(shè) A、 B 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系 f，使對于集合 A中的任意一個元素 x，在集合 B 中都有 唯一 確定的元素 y 與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng) f： A→ B 為從集合 A到集合 B 的一個映射． 一個方法 求復(fù)合函數(shù) y＝ f(t)， t＝ q(x)的定義域的方法： ① 若 y＝ f(t)的定義域為 (a， b)，則解不等式得 a＜ q(x)＜ b 即可求出 y＝ f(q(x))的定義域； ② 若 y＝ f(g(x))的定義域為 (a， b)，則求出 g(x)的值域即為 f(t)的定義域． 兩個防范 (1)解決函數(shù)問題，必須優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域． (2)用換元法解題時，應(yīng)注意換元前后的等價性． 三個要素 函數(shù)的三要素是：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系．值域是由函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系所確定的．兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致時，則認為兩個函數(shù)相等．函數(shù)是特殊的映射，映射 f： A→ B 的三要素是兩個集合 A、 B 和對應(yīng)關(guān)系 f. 雙基自測 1． (人教 A 版教材 習(xí)題改編 )函數(shù) f(x)＝ log2(3x＋ 1)的值域為 ( )． A． (0，＋ ∞ ) B． [0，＋ ∞ ) C． (1，＋ ∞ ) D． [1，＋ ∞ ) 解析 ∵ 3x＋ 1＞ 1， ∴ f(x)＝ log2(3x＋ 1)＞ log21＝ 0. 答案 A 2． (2020江西 )若 f(x)＝ 1log12?2x＋ 1?，則 f(x)的定義域為 ( )． A.??? ???－ 12， 0 B.??? ???－ 12， 0 C.??? ???－ 12，＋ ∞ D． (0，＋ ∞ ) 解析 由 log12(2x＋ 1)＞ 0，即 0＜ 2x＋ 1＜ 1， 解得－ 12＜ x＜ 0. 答案 A 3．下列各對函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是 ( )． A． f(x)＝ lg x2， g(x)＝ 2lg x B． f(x)＝ lgx＋ 1x－ 1， g(x)＝ lg(x＋ 1)－ lg(x－ 1) C． f(u)＝ 1＋ u1－ u， g(v)＝ 1＋ v1－ v D． f(x)＝ ( x)2， g(x)＝ x2 答案 C 4． (2020天津耀華中學(xué)月考 )(1)已知 f(x)的定義域為 ??? ???－ 12， 12 ，求函數(shù) y＝ f??? ???x2－ x－ 12 的定義域； (2)已知函數(shù) f(3－ 2x)的定義域為 [－ 1,2]，求 f(x)的定義域． 解 (1)令 x2－ x－ 12＝ t， 知 f(t)的定義域為??????????t??? － 12 ≤ t≤12 ， ∴ － 12≤ x2－ x－ 12≤ 12， 整理得 ??? x2－ x≥ 0，x2－ x－ 1≤ 0 ? ??? x≤ 0或 x≥ 1，1－ 52 ≤ x≤1＋ 52 ， ∴ 所求函數(shù)的定義域為 ??? ???1－ 52 ， 0 ∪ ??? ???1， 1＋ 52 . (2)用換元思想，令 3－ 2x＝ t， f(t)的定義域即為 f(x)的定義域 ， ∵ t＝ 3－ 2x(x∈ [－ 1,2])， ∴ － 1≤ t≤ 5， 故 f(x)的定義域為 [－ 1,5]． 考向二 求函數(shù)的解析式 【例 2】 ?(1)已知 f??? ???2x＋ 1 ＝ lg x，求 f(x)； (2)定義在 (－ 1,1)內(nèi)的函數(shù) f(x)滿足 2f(x)－ f(－ x)＝ lg(x＋ 1)，求函數(shù) f(x)的解析式． [審題視點 ] (1)用代換法求解； (2)構(gòu)造方程組求解． 解 (1)令 t＝ 2x＋ 1，則 x＝ 2t－ 1， ∴ f(t)＝ lg 2t－ 1，即 f(x)＝ lg 2x－ 1. (2)x∈ (－ 1,1)時，有 2f(x)－ f(－ x)＝ lg(x＋ 1)． ① 以－ x 代 x 得， 2f(－ x)－ f(x)＝ lg(－ x＋ 1)． ② 由 ①② 消去 f(－ x)得 f(x)＝ 23lg(x＋ 1)＋ 13lg(1－ x)， x∈ (－ 1,1)． 求函數(shù)解析式的方法主要有： (1)代入法； (2)換元法； (3)待定系數(shù)法；(4)解函 數(shù)方程等． 【訓(xùn)練 2】 (1)已知 f(x)是二次函數(shù)，若 f(0)＝ 0，且 f(x＋ 1)＝ f(x)＋ x＋ 1，試求 f(x)的表達式． (2)已知 f(x)＋ 2f(1x)＝ 2x＋ 1，求 f(x)． 解 (1)由題意可設(shè) f(x)＝ ax2＋ bx(a≠ 0)，則 a(x＋ 1)2＋ b(x＋ 1)＝ ax2＋ bx＋ x＋ 1 ax2＋ (2a＋ b)x＋ a＋ b＝ ax2＋ (b＋ 1)x＋ 1 ∴ ??? 2a＋ b＝ b＋ 1，a＋ b＝ 1， 解得 a＝ 12， b＝ 12. 因此 f(x)＝ 12x2＋ 12x. (2)由已知得????? f?x?＋ 2f??? ???1x ＝ 2x＋ 1，f??? ???1x ＋ 2f?x?＝ 2x＋ 1，消去 f??? ???1x ， 得 f(x)＝ 4＋ x－ 2x23x . 考向三 分段函數(shù) 【例 3】 ?(2020江蘇 )已知實數(shù) a≠ 0，函數(shù) f(x)＝ ??? 2x＋ a， x＜ 1，－ x－ 2a， x≥ 1. 若 f(1－ a)＝ f(1＋ a)，則 a 的值為 ________． 解析 分類討論： (1)當(dāng) a＞ 0 時， 1－ a＜ 1,1＋ a＞ 1. 這時 f(1－ a)＝ 2(1－ a)＋ a＝ 2－ a； f(1＋ a)＝－ (1＋ a)－ 2a＝－ 1－ 3a. 由 f(1－ a)＝ f(1＋ a)，得 2－ a＝－ 1－ 3a， 解得 a＝－ 32， 不符合題意，舍去． (2)當(dāng) a＜ 0 時， 1－ a＞ 1,1＋ a＜ 1， 這時 f(1－ a)＝－ (1－ a)－ 2a＝－ 1－ a； f(1＋ a)＝ 2(1＋ a)＋ a＝ 2＋ 3a， 由 f(1－ a)＝ f(1＋ a)，得－ 1－ a＝ 2＋ 3a， 解得 a＝－ 34. 綜合 (1)， (2)知 a 的值為－ 34. 答案 － 34 閱卷報告 1——忽視函數(shù)的定義域 【問題診斷】 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求出函數(shù)的定義域．如果是復(fù)合函數(shù)，應(yīng)該根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)同增異減的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．由于思維定勢的原因，考生容易忽視定義域，導(dǎo)致錯 誤． 【防范措施】 研究函數(shù)的任何問題時，把求函數(shù)的定義域放在首位，即遵循 “ 定義域優(yōu)先 ” 的原則． 【 示例 】 ? 求函數(shù) y＝ log13(x2－ 3x)的單調(diào)區(qū)間． 錯因 忽視函數(shù)的定義域，把函數(shù) y＝ log13t 的定義域誤認為 R 導(dǎo)致出錯． 實錄 設(shè) t＝ x2－ 3x. ∵ 函數(shù) t 的對稱軸為直線 x＝ 32， 故 t 在 ??? ???－ ∞ ， 32 上單調(diào)遞減，在 ??? ???32，＋ ∞ 上單調(diào)遞增． ∴ 函數(shù) y＝ log13(x