高中數(shù)學(xué)222向量減法及其幾何意義教學(xué)設(shè)計新人教a版必修1-展示頁
2024-11-09 12:32本頁面
【正文】 ＝a；②任一向量與它相反向量的和是零向量，即 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 ③如果a、b是互為相反的向量，則有 a＝－b，b＝－a，a＋b＝：判斷下列各命題的真假(1)─→AA＋─→AA＋…＋──→AA與──→AA是一對相反向量； 1223n﹣1nn1(2)─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→Ai﹣1Ai與──→AiAi＋1＋───→Ai＋1Ai＋2＋──→AnA1是一對相反向量；(3)a＝－a的充要條件是a＝0；(4)─→AA＋─→AA＋──→：(1)真命題.∵─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→An﹣1An＝─→A1An，而──→AnA1與─→A1An長度相等，方向相反，所以命題(1)是真命題.(2)真命題.∵─→AA＋─→AA＋…＋──→AA＝─→AA，而──→AA＋───→AA＋──→AA＝─→AA，由于─→AA與1223i﹣1i1iii＋1i＋1i＋2n1i11i─→AiA1是一對相反向量，所以命題(2)是真命題.(3)真命題.∵當(dāng)a≠0時，a≠－a；而當(dāng)a＝0時，a＝－a，故命題(3)是真命題.(4)真命題.∵─→AA＋─→AA＋──→AA＝0，∴─→AA＋─→AA＋──→n1n1【探究2】向量減法如圖，設(shè)向量AB＝b，AC=a，則AD=b，由向量減法的定義，知AE=a+(b)=ab．又b＋BC＝a，所以BC＝a－b． 由此，我們得到ab的作圖方法．如圖2，已知a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA=a，則BA=aOB=b，－b，即a－b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義．新知2：（1）向量減法的定義：ab=a+(b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量．向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b),求兩個向量差的運(yùn)算，叫向量的減法．（2）向量的減法運(yùn)算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運(yùn)算的幾何意義所在，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)．說明：①還可以這樣定義：兩個向量a與b的差，是這樣一個向量x，它適合于等式x＋b＝a，并記作x＝a－b,并稱a為被減向量，b為減向量，而x稱為差向量．②向量減法可以轉(zhuǎn)化為向量加法，如圖b與a－b首尾相接，根據(jù)向量加法的三角形法則有b＋(a－b)＝a,即a－b＝→CB． ③，－→AB＝→BA，就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法，在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接兩向量終點(diǎn)，箭頭指向被減數(shù)”即可．→＝a，→→＝a＋b，BD→＝b－a, DB→④以向量ABAD＝b，為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量為AC＝a－b，這一結(jié)論在以后應(yīng)用是非常廣泛的．【探究3】關(guān)于向量差的模的不等式如果我們回憶向量加法的平行四邊形法則，那么就可以知道，對于兩向量a及b為邊作成的平行四邊→＝a＋b，BA→＝a－b，利用圖中的三角形OAB，形中，其兩條對角線分別為a與b的和及差，如圖所示，有OC并注意三角形中兩邊之差小于第三邊，于是當(dāng)a與b不共線時，有|a－b|||a|－|b||，與向量和的模的不等式類似．對于兩任意兩向量a與b差的長度不大小兩向量長度之和，且又不小于兩向量長度差的絕對值，即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 證明：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知，||a|－|b||≤|a＋(－b)|≤|a|＋|－b|，亦即 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.說明：在不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，①當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向或a、b中至少一個為0時，左邊等號成立； ②當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向或a、b中至少一個為0時，右邊等號成立； ③當(dāng)且僅當(dāng)a、b中至少一個為0時，①、②及③：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 例1 如圖，已知向量a、b、c、d，求作向量ab，cd．分析：根據(jù)向量減法的三角形法則，需要選點(diǎn)平移作出兩個同起點(diǎn)的向量．作法：如圖3(2)，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．則BA=ab，DC=cd． 變式訓(xùn)練：在ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AB=DC 答案：C 例2 如圖4，B．AD+AB=AC C．ABAD=BDD．AD+BC=0 ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AC、DB嗎? 解：由向量加法的平行四邊形法則，我們知道AC=a+b，同樣，由向量的減法，知DB=ABAD=ab． 變式訓(xùn)練1．已知一點(diǎn)O到ABCD的3個頂點(diǎn)A、B、C的向量分別是a、b、c，則向量OD等于（）A．a(chǎn)+b+cB．a(chǎn)b+c C．a(chǎn)+bcD．a(chǎn)bc 解析：如圖5，點(diǎn)O到平行四邊形的三個頂點(diǎn)A、B、C的向量分別是a、b、c，結(jié)合圖形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OCOB=ab+c．故選B．2．若AC=a+b，DB=ab．①當(dāng)a、b滿足什么條件時，a+b與ab垂直？ ②當(dāng)a、b滿足什么條件時，|a+b|=|ab|？③當(dāng)a、b滿足什么條件時，a+b平分a與b所夾的角？ ④a+b與ab可能是相等向量嗎？解析：如圖6，用向量構(gòu)建平行四邊形，其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對角線．由平行四邊形法則，得AC=a+b，DB=ABAD=ab．由此問題就可轉(zhuǎn)換為：①當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線相等？(a、b互相垂直)③當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線平分內(nèi)角？(a、b相等)④a+b與ab可能是相等向量嗎？(不可能，因?yàn)閷蔷€方向不同例3 化簡→AB－→AC＋→BD－→CD．解：原式＝→CB＋→BD－→CD＝→CD－→CD＝0 變式訓(xùn)練：8．如圖所示，DCDE+AFBC+FE＝________．答案：→AB →＝8，|AC|→＝5，則|BC|→的取值范圍是（）例4 若|AB|A．［3，8］B．（3，8）C．［3，13］D．（3
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