基本不等式的證明-展示頁
2024-10-27 20:07本頁面
【正文】 2．三式疊加，并應(yīng)用公式②，得2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)≥a2bc＋b2ab=6abc．∴a3＋b3＋c3≥3abc⑥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))．師：這是課本中的不等式定理2，即三個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和不小于它們的積的3倍．同學(xué)們可能想到n個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和會(huì)有什么結(jié)果，進(jìn)一步還會(huì)想到4個(gè)正數(shù)的4次方的和會(huì)有什么結(jié)果，直至n個(gè)正數(shù)的n次方的和會(huì)有什么結(jié)果．這些問題留給同學(xué)們課外去研究．4．推論師：直接應(yīng)用公式②和⑥可以得到兩個(gè)重要的不等式．⑦(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))．這就是課本中定理1的推論．⑧(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))．這就是課本中定理2的推論．當(dāng)ai∈R+(i=1，2，?，n)時(shí)，有下面的推廣公式(在中學(xué)不講它的證明)⑨(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號(hào))．何平均數(shù)．⑨式表明：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．這是一個(gè)著名的平均數(shù)不等式定理．現(xiàn)在只要求同學(xué)掌握n=3時(shí)的兩個(gè)公式，即⑦和⑧．三、小結(jié)(1)我們從公式①出發(fā)，運(yùn)用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它們之間的關(guān)系可圖示如下：(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②和⑥，在課本上是用比較法證明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦還可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)．四個(gè)公式中，②、⑦是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法或三角法證明．幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90176。AB=c，BC=a，AC=b，則2ab=2 c sin B=2c2sinAcos A=c2即 a=b時(shí)取“=”號(hào))．2三、應(yīng)用公式練習(xí)1．判斷正誤：下列問題的解法對(duì)嗎？為什么？如果不對(duì)請(qǐng)予以改正．a(chǎn)、b∈R+．若tgα、ctgα∈R+．解法就對(duì)了．這時(shí)需令α是第一、三象限的角．]改條件使a、b∈R+；②改變證法．a(chǎn)2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．]師：解題時(shí)，要根據(jù)題目的條件選用公式，特別注意公式中字母應(yīng)滿足的條件．只有公式①、②對(duì)任何實(shí)數(shù)都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正實(shí)數(shù)(事實(shí)上對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)也成立)．2．填空：(1)當(dāng)a________時(shí)，an＋a－n≥________；(3)當(dāng)x________時(shí)，lg2x＋1≥_________；(5)tg2α＋ctg2α≥________；(6)sinxcosx≤________；師：從上述解題中，我們可以看到：(1)對(duì)公式中的字母應(yīng)作廣義的理解，可以代表數(shù)，也可以代表式子．公式可以順用，也可以逆用．總之要靈活運(yùn)用公式．(2)上述題目中右邊是常數(shù)的，說明左邊的式子有最大或最小值．因此，在一定條件下應(yīng)用重要不等式也可以求一些函數(shù)的最大(小)值．(3)重要不等式還可以用于數(shù)值估計(jì)．如表明任何自然數(shù)的算術(shù)平方根不大于該數(shù)加1之半．四、布置作業(yè)略．教案說明1．知識(shí)容量問題這一節(jié)課安排的內(nèi)容是比較多的，有些是補(bǔ)充內(nèi)容．這是我教重點(diǎn)中學(xué)程度比較好的班級(jí)時(shí)的一份教案．實(shí)踐證明是可行的，效果也比較好．對(duì)于普通班級(jí)則應(yīng)另當(dāng)別論．補(bǔ)充內(nèi)容(一般式，幾何、三角證法等)可以不講，例題和練習(xí)也須壓縮．但講完兩個(gè)定理及其推論，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的基本要求仍是可以做到的．還應(yīng)看到學(xué)生接受知識(shí)的能力也非一成不變的．同是一節(jié)課，講課重點(diǎn)突出，深入淺出，富有啟發(fā)性，學(xué)生就有可能舉一反三、觸類旁通，獲取更多的知識(shí)．知識(shí)容量增加了，并未增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)．從整個(gè)單元來看，由于壓縮了講課時(shí)間，相應(yīng)的就增加了課堂練習(xí)的時(shí)間．反之，如果學(xué)生被動(dòng)聽講，目標(biāo)不清，不得要領(lǐng)，內(nèi)容講得再少，學(xué)生也是難以接受的．由此可見，知識(shí)容量的多少，既與學(xué)生的程度有關(guān)，與教學(xué)是否得法也很有關(guān)系．我們應(yīng)當(dāng)盡可能采用最優(yōu)教法，擴(kuò)大學(xué)生頭腦中的信息容量，以求可能的最佳效果．2．教學(xué)目的問題近年來，隨著教改的深入，教師在確定教學(xué)目的和要求時(shí)，開始追求傳授知識(shí)和培養(yǎng)能力并舉的課堂教學(xué)效果．在培養(yǎng)學(xué)生的能力方面，不僅要求學(xué)生能夠運(yùn)用知識(shí)，更重要的是通過自己的思考來獲取知識(shí)．據(jù)此，本節(jié)課確定如下的教學(xué)目的：一是在知識(shí)內(nèi)容上要求學(xué)生掌握四個(gè)公式；二是培養(yǎng)學(xué)生用綜合法進(jìn)行推理的能力．當(dāng)然，學(xué)生能力的形成和發(fā)展，絕不是一節(jié)課所能“立竿見影”的．它比掌握知識(shí)來得慢，它是長期潛移默化的教學(xué)結(jié)果．考慮到中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，大量的是公式和定理，如能在每一個(gè)公式、定理的教學(xué)中，都重視把傳授知識(shí)與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來，天長日久，肯定會(huì)收到深遠(yuǎn)的效果．3．教材組織與教法選用問題實(shí)現(xiàn)上述教學(xué)目的，關(guān)鍵在于組織好教材，努力把傳授知識(shí)與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來．教材中對(duì)定理1和定理2的安排，可能是為了與前面講的比較法和配方法相呼應(yīng)．但這容易使人感到這兩個(gè)定理之間沒有什么內(nèi)在聯(lián)系，又似乎在應(yīng)用定理時(shí)才能用綜合法．事實(shí)上，可以用比較法證明兩個(gè)數(shù)的平方和或三個(gè)數(shù)的立方和的不等式，但當(dāng)n＞3，特別對(duì)n是奇數(shù)時(shí)，用比較法就困難了(因?yàn)檫@時(shí)難以配方與分解因式)．因此不具有一般性．而對(duì)綜合法，學(xué)生在初中證幾何題時(shí)已多次用過了(只是課本上沒有提到這個(gè)名稱)．現(xiàn)行課本中兩個(gè)不等式定理及其推論，是著名的平均值不等式：和它的等價(jià)形式當(dāng)n=2，3時(shí)的特殊情況(當(dāng)n=2時(shí)，ai的取值有所變化)．在中學(xué)不講一般形式，只
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