【正文】 案。連續(xù)函數(shù)在某個閉區(qū)間上可能有多個極大值和極小值，但是最大值和最小值卻各有一個。答：例如：直線y=c(c為常數(shù))，在任意一點都滿足費馬定理的條件，且導(dǎo)數(shù)值都是0，但是在任意一點處都不是極值點。設(shè)函數(shù) 在 及其鄰域內(nèi)有定義，且在 的鄰域內(nèi) 恒成立，則稱 為極小值點，稱 為極小值。5． 導(dǎo)數(shù)的絕對值大小告訴我們什么？它反映在函數(shù)曲線上情況又怎樣？答：導(dǎo)數(shù)絕對值大小反映曲線的陡峭程度，導(dǎo)數(shù)的絕對值越大，則曲線越陡峭，否則，曲線越平緩。輔助函數(shù)為：。2． 什么是羅爾定理？答：設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，并且滿足，那么至少存在一點，使得。5． 可導(dǎo)的函數(shù)是連續(xù)的，但是連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)。3． 導(dǎo)數(shù)的第三種解釋是變化率。二、填空題1． 導(dǎo)數(shù)的物理意義是瞬時速度。同理可定義極小值。駐點——使得 的點。導(dǎo)函數(shù)——對于區(qū)間（a,b）內(nèi)的每一點x都有導(dǎo)數(shù)值，這樣由這些導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的函數(shù)稱為 的導(dǎo)函數(shù)。平均變化率——稱 為平均變化率。高等數(shù)學(xué)（B）（1）作業(yè)2 導(dǎo) 數(shù)一、名詞解釋導(dǎo)數(shù)——設(shè)函數(shù) 在 及其鄰域內(nèi)有定義，若 存在，則稱此極限值為函數(shù) 在 點處的導(dǎo)數(shù)值。在解決實際問題時，“無限”的過程標(biāo)志著可以得到精確的答案，他是為解決實際問題的需要而產(chǎn)生的，反過來又成為解決實際問題的有力工具。答：設(shè)函數(shù) 在點 處連續(xù)，函數(shù) 在點 處連續(xù)，而，并設(shè) 在點 的某一鄰域內(nèi)有定義，則復(fù)合函數(shù) 在點 處連續(xù)。4．什么是連續(xù)函數(shù)？ 4．什么是連續(xù)函數(shù)？答：若函數(shù) 在（a,b）內(nèi)的每個點處均連續(xù)，且在左端點處右連續(xù)，右端點處左連續(xù)，則稱函數(shù) 在[a,b]上連續(xù)。2．間斷點分成幾類？ 答：3．什么是單側(cè)連續(xù)？答：設(shè)函數(shù) 在 及其右鄰域內(nèi)有定義，且等式 成立，則稱函數(shù) 在 右連續(xù)。答：設(shè)函數(shù) 在 及其一個鄰域內(nèi)有定義，且等式 成立，則稱函數(shù) 在 連續(xù)。5．極限概念產(chǎn)生于求面積求切線兩個實際問題。天下篇》中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，就是極限的樸素思想。2．極限概念描述的是變量在某一變化過程中的終極狀態(tài)。函數(shù)極限——設(shè)函數(shù) 在 的附近有定義，當(dāng) 時，則稱函數(shù) 在 時的極限為A，記作無窮大量——若，則稱 為該極限過程下的無窮大量。連 續(xù)——設(shè)函數(shù) 在 及其一個鄰域內(nèi)有定義，且等式 成立，則稱函數(shù) 在 連續(xù)。極 限（P9）一、名詞解釋極 限——一個數(shù)列或函數(shù)其變化趨勢的終極狀態(tài)。（5）解：由 解得，交換 和，得到 的反函數(shù)，由，故定義域為。（3）解：，所以定義域為。第（1）題圖 第（2）題圖 第（3）題圖第（4）題圖 第（5）題圖 第（6）題圖第（7）題圖 第（8）題圖 第（9）題圖第（10）題圖 第（11）題圖 第（12）題圖五、計算題（1）解：。（9）解：是對數(shù)函數(shù)(a1)。（7）解：是自然對數(shù)函數(shù)。（5）解：是正切曲線。（3）解：是正弦曲線。四、作圖題（1）解：是拋物線。否則，稱為單調(diào)減少。（2）有界性是依賴于區(qū)間的。三、回答題1．答：設(shè)函數(shù) 在集合 上有定義，如果存在一個正數(shù)，對所有的，恒有，則稱函數(shù) 為有界函數(shù)。7．單調(diào)函數(shù)的圖像特點是總是上升或總是下降。5．單值函數(shù)是當(dāng)自變量在定義域中取定了一數(shù)值時，與之對應(yīng)的函數(shù)值是唯一的函數(shù)。3．函數(shù)的三種表示法：解析法、圖像法、列表法。2．在歷史上第一個給出函數(shù)一般定義的是狄里克雷，并給出了一個不能畫出圖形的函數(shù)。二、填空題1．函數(shù)概念最早是由萊布尼茲引進(jìn)的。常量——在某一變化過程中，始終保持不變的量。冪函數(shù)——稱函數(shù)（為實數(shù)）為冪函數(shù)。反函數(shù)——若函數(shù) 的值域為，若，都有一個確定的且滿足 的 值與之對應(yīng)。復(fù)合函數(shù)——設(shè) 若 的值域包含在 的定義域中，則 通過 構(gòu)成 的函數(shù)，記作，稱其為復(fù)合函數(shù)，稱為中間變量。三角函數(shù)：稱 為三角函數(shù)。值域——所有函數(shù)值組成的集合，記作G={y|y=f(x),x }。偶函數(shù)——若函數(shù) 的定義域關(guān)于原點對稱，若對于任意的，恒有，則稱函數(shù) 為偶函數(shù)。其中D叫做函數(shù)的定義域，f稱為對應(yīng)法則，集合G={y|y=f(x),x }叫做函數(shù)的值域。3．解： 為方程的解。四、計算題1．解：。4．答：等價于。2．答：包括整數(shù)與分?jǐn)?shù)。（3）培養(yǎng)抽象思維能力，實現(xiàn)從具體數(shù)學(xué)到概念化數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。三、回答題1．答：（1）發(fā)展符號意識，實現(xiàn)從具體數(shù)學(xué)的運算到抽象符號運算的轉(zhuǎn)變。8．去心鄰域是指 的全體。6． 表示小于 的實數(shù)，或記為。4．無窮大的記號為。2．開區(qū)間的表示有、。實數(shù)——有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。分為開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間、無窮區(qū)間。記為。第一篇：高等數(shù)學(xué)B形成性考核答案高等數(shù)學(xué)（B）（1）作業(yè)1 初等數(shù)學(xué)知識一、名詞解釋：鄰域——設(shè) 是兩個實數(shù)，且，滿足不等式 的實數(shù) 的全體，稱為點 的 鄰域。絕對值——數(shù)軸上表示數(shù) 的點到原點之間的距離稱為數(shù) 的絕對值。區(qū)間——數(shù)軸上的一段實數(shù)。數(shù)軸——規(guī)定了原點、正方向和長度單位的直線。二、填空題1．絕對值的性質(zhì)有、。3．閉區(qū)間的表示有、。5． 表示全體實數(shù)，或記為。7． 表示大于 的實數(shù)，或記為。 9．滿足不等式 的數(shù) 用區(qū)間可表示為。（2）培養(yǎng)嚴(yán)密的思維能力，實現(xiàn)從具體描述到嚴(yán)格證明的轉(zhuǎn)變。（4）樹立發(fā)展變化意識，實現(xiàn)從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。3．答：不對，可能有無理數(shù)。5．答：。2．解：。函 數(shù)（P3）一、名詞解釋函數(shù)——設(shè)x與y是兩個變量，若當(dāng)x在可以取值的范圍D內(nèi)任意取一個數(shù)值時，變量y通過某一法則 f,總有唯一確定的值與之對應(yīng)，則稱變量y是變量x的函數(shù)。奇函數(shù)——若函數(shù) 的定義域關(guān)于原點對稱，若對于任意的，恒有 為奇函數(shù)。定義域——自變量的取值范圍，記作。初等數(shù)學(xué)——包括幾何與代數(shù)，基本上是常量的數(shù)學(xué)。指數(shù)函數(shù)——稱函數(shù) 為指數(shù)函數(shù)。對數(shù)函數(shù)——稱函數(shù) 為對數(shù)函數(shù)。則由此得到一個定義在 上的以 為自變量、為因變量的新函數(shù)，稱它為 的反函數(shù)，記作。常函數(shù)——稱函數(shù) 為常函數(shù)。變量——在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量。有了函數(shù)概念，人們就可以從數(shù)量上描述運動。這就是著名的狄里克雷函數(shù)，其表達(dá)式是。4．函數(shù)表達(dá)了因變量與自變量之間的一種對應(yīng)規(guī)則。6．奇函數(shù)的圖像特點是關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像特點是關(guān)于y軸對稱。8．反函數(shù)的圖像特點是關(guān)于直線y=x對稱。2．答：（1）當(dāng)一個函數(shù) 在區(qū)間 有界時，正數(shù) 的取法不是唯一的。3．答：，則稱函數(shù) 在區(qū)間 單調(diào)增加。4．答：若函數(shù) 在區(qū)間 單調(diào)，其值域是，則函數(shù) 存在反函數(shù) 其定義域是，值域是。（2）解：是立方拋物線。（4）解：是余弦曲線。（6）解：是半拋物線。（8）解：是指數(shù)函數(shù)(a1)。（10）解：是對數(shù)函數(shù)（a1)。（2）解：設(shè)長為，寬為，則，面積。（4）解：。（6）解：復(fù)合函數(shù)為六、討論題答：（1）復(fù)合函數(shù)是函數(shù)之間的一種運算；（2）并不是任何兩個函數(shù)都能構(gòu)成一個復(fù)合函數(shù)；（3）復(fù)合函數(shù)可以是由多個（大于兩個）函數(shù)復(fù)合而成；（4）中，后者的值域正好是前者的定義域；（5）構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的各簡單函數(shù)，除了最后一個外，都是基本初等函數(shù)。無窮小量——極限為零的變量或者常數(shù)0。數(shù)列極限——對數(shù)列 來說，若 時，則稱數(shù)列 的極限為 記作。二、填空題1．從極限產(chǎn)生的歷史背景來看，極限概念產(chǎn)生于解決微積分的基本問題：求面積，體積，弧長，瞬時速度以及曲線在一點的切線問題。3．在中國古代，極限概念已經(jīng)產(chǎn)生，我國春秋戰(zhàn)國時期的《莊子4．公元3世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)，就用圓內(nèi)接正多邊形周長去逼近圓周長這一極限思想來近似地計算圓周率 的。三、回答題1．簡述連續(xù)性概念。在（a,b）內(nèi)連續(xù)是指函數(shù) 在（a,b）內(nèi)的每個點處均連續(xù)。同理可定義左連續(xù)。5．簡述復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理。四、論述題極限思想的辯證意義是什么？答：極限概念描述的是變量在某一變化過程中的終極狀態(tài)，是一個無限逼近的過程，是一個客觀上存在但又永遠(yuǎn)達(dá)不到的數(shù)。五、計算題（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：六、討論 解：，函數(shù)在x=0處極限不存在。記為，等。瞬時變化率——稱 為瞬時變化率。高階導(dǎo)數(shù)——二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)。極值——設(shè)函數(shù) 在 及其鄰域內(nèi)有定義，且在 的鄰域內(nèi) 恒成立，則稱 為極大值點，稱 為極大值。極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。2． 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在一點處切線的些率。4． 導(dǎo)數(shù)是一種特殊的極限，因而它遵循極限運算的法則。三、回答題1． 什么是費馬定理？答：設(shè)函數(shù) 在 的某鄰域 內(nèi)有定義，并且在 處可導(dǎo)，如果對任意的，有（或），那么。3． 什么是拉格朗日定理？它的輔助函數(shù)是怎樣構(gòu)成的? 答：設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，那么至少存在一點，使得。4． 函數(shù)的性質(zhì)有哪些？答：函數(shù)的性質(zhì)有：有界性，奇偶性，周期性，單調(diào)性。6． 什么是極大值（或極小值）? 答：設(shè)函數(shù) 在 及其鄰域內(nèi)有定義，且在 的鄰域內(nèi) 恒成立，則稱 為極大值點，稱 為極大值。7． 請舉例說明費馬定理只給出了極值的必要條件而不是充分條件。8． 最大值與極大值是一回事嗎？答：不是一回事。9． 求最大值或最小值通常要經(jīng)過哪幾個步驟？答：（1）找出駐點和那些連續(xù)但不可導(dǎo)的點來，并計算出這些點的函數(shù)值；（2）計算出比區(qū)間端點處的函數(shù)值；（3）將以上個函數(shù)值進(jìn)行比較，可得到最大值與最小值。四、計算題 1． 解：2． 解：。答：從中間截斷，可得到最大矩形的面積。令，即，解得 x 舍掉，512/x 答：當(dāng)寬為16米，長為32米時，才能使材料最省。微分的線性化——由 知，其中 為線性主部，也就是微分。2．微分學(xué)包括兩個系統(tǒng)：概念系統(tǒng)與算法系統(tǒng)。4．微分中值定理建立了函數(shù)的局部性質(zhì)和整體性質(zhì)的聯(lián)系，建立了微積分理論聯(lián)系實際的橋梁。2．微分學(xué)的基本運算是什么？ 答：求導(dǎo)運算和求微分的運算。四、計算題 1．（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：，2． 解： cm 3． 解：設(shè)則，五、證明題 證明：令，則，證畢。不定積分——若 是 的一個原函數(shù)，則稱 為 的不定積分。二、填空題1． 在數(shù)學(xué)中必須考慮的運算有兩類：正運算與逆運算。3．關(guān)于逆運算我們至少有兩條經(jīng)驗：一是逆運算一般說比正運算困難，二是逆運算常常引出新結(jié)果。三、回答題1．什么叫函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）的原函數(shù)？有多少個？它們彼此之間有什么關(guān)系？ 答：若，則稱 是 的一個原函數(shù)，有無窮多個，彼此之間相差一個常數(shù)。3． 兩個函數(shù)的不定積分相等是什么意思？ 答：這兩個函數(shù)相等。答：減法是加法的逆運算；除法是乘法的逆運算；開方是乘方的逆運算；不定積分是微分的逆運算；等等。答：原函數(shù)的全體就是不定積分。定積分中值定理——設(shè)函數(shù) 則在，使得。二、填空題1．定積分是對連續(xù)變化過程總效果的度量，求曲邊形區(qū)域的面積是定積分概念的最直接的起源。它的數(shù)學(xué)模型是，它的物理原形是求變速運動的路程，它的幾何原形是求曲邊梯形的面積。4．微分學(xué)研究的是函數(shù)的局部性態(tài)，無論是微分概念，還是微商概念，都是逐點給出的。5．積分學(xué)包括不定積分和定積分兩大部分，不定積分的目的是提供積分方法。例如，路程問題，曲邊梯形面積問題等。3．簡述積分區(qū)間上限為變量時定積分定理。4．建立定積分步驟有哪些？ 答：分為4步：（1）分割；（2）作積 ；（3）作和 ；（4）取極限，其中。（1）解：，（2）解：，（3）解：，2．求函數(shù) 的平均值。4．設(shè)，求。5．計算下列定積分（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：6．解：如下圖, 體積V=第6題圖 第7題圖 第8題圖 第9題圖7．解：如上圖，體積8．解：如上圖，面積9．解：如上圖，面積高等數(shù)學(xué)（B）（1）作業(yè)4 微積分簡史注意：以下六題自己從書中相應(yīng)位置的內(nèi)容去概括，要抓住重點，言簡意賅，寫滿所留的空地。答：見書P216——217 2．簡述費馬對微分學(xué)的貢獻(xiàn)。答：見書P218——220 4．論述積分學(xué)的早期史。答：見書“一、前言”一開始的部分（前兩段）。微分方程(P33)一、回答題1．微分方程的定義。2．何為微分方程的通解、特解、初始條件？答：滿足微分方程的所有函數(shù)，叫做微分方程的通解；滿足微分方程的一個解或者部分解，稱為微分方程的特解。3．何為變量可分離的微分方程？ 答：把形如 的微分方程，稱為微分方程。答：拋棄具體意義，只關(guān)心微分方程的形狀，研究如何解方程，等這些工作做熟練了，反過來又可以用它解決實際問題。步驟：（1）明確實際問題，并熟悉問題的背景；（2）形成數(shù)學(xué)模型；（3）求解數(shù)學(xué)問題；（4）研究算法，并盡量使用計算機；（5）回到實際中去，解釋結(jié)果。（1）解：，代入初始條件得，滿足初始條件的特解為（2）解：代入初始條件得，滿足初始條件的特解為（3）解：，代入初始條件得，滿足初始條件的特解為2．解：由題意：，代入初始條件得，3．解：由題意：，代入初始條件得，所求的函數(shù)關(guān)系是4．解：由題意：，分離變量：兩邊積分：，代入初始條件 得：，這時：，代入初始條件 得：，代入 得，化簡得：，所以鐳的量R與時間t的函數(shù)關(guān)系為高等數(shù)學(xué)（B）（1）綜合練習(xí)一、名詞解釋1．函數(shù)——設(shè)x與y是兩個變量，若當(dāng)x在可以取值的范圍D內(nèi)任意取一個數(shù)值時，變量y通過