【正文】 法 向量。 ? 用來衡量種群向適應(yīng)性梯度移動的傾向，用 f(x,u)表示。這將與包含運(yùn)動梯度 m(x)但不反應(yīng)擁擠的模型的行為相對比。如果 m(x)被解釋為描述資源的分布，那么有 u=m+(x)意味著人口完全符合資源密度。在人口動態(tài)面前，純理想自由擴(kuò)散將預(yù)計(jì)導(dǎo)致一個平衡的人口分布，該分布中每個個體的適應(yīng) 性是 0，因此，將沒有進(jìn)一步的人口增長。這是合理的假設(shè)：評定適應(yīng)性梯度的過程，有瑕疵的梯度的跟蹤，和對其他環(huán)境方面的反應(yīng)可能造成一定量的隨機(jī)運(yùn)動。 單一物種模型 在本文中，我們將考慮對上述模型 的變化，包括人口的增長和沿著定向的適應(yīng)性梯度運(yùn)動的擴(kuò)散。一個動態(tài)模型，支持平衡解，與這個在【 14】中被引入的構(gòu)想一致。第二條件是通過，結(jié)合以前的密度公式u(x).他能夠被用于定義 F并且在 u(x)0的部分，通過觀察它作為一個約束和最大 F約束。)(184。其中 F是盡可能符合條件的大。對一個固定總?cè)丝跀?shù) U，種群的分布將由 u = ? _m(x)? F if m(x) F 。如果種群密度被適當(dāng)?shù)目s放，個體的本地生殖適應(yīng)性在x 處，在同一密度 u(x)的個體面前，是由 f(x,u)=m(x)u(x) 給出的。一個連續(xù)捕獲這些特點(diǎn)的模型在【 23】中被引進(jìn)。 研究問題 一個理想自由分布的關(guān)鍵想法是，個體們用這樣一個方式 —為了優(yōu)化他們的適應(yīng)性，將它們定位。然而，同樣應(yīng)該被注意的是，在時間變化的模型中的系數(shù)或復(fù)雜的動態(tài)，更快的無條件擴(kuò)散有時可能會更有利。我們計(jì)劃，在今后的工作中，從這個觀點(diǎn)考慮理想自由分布。這些結(jié)論考慮兩個競爭對手的模型，它們采用不用的擴(kuò)散策略，但其他生態(tài)相同，并且考察就入侵而言演化的穩(wěn)定性。為什么無條件擴(kuò)散室不利的是因?yàn)樗鼘?dǎo)致了種群的分布和資源的分布的不匹配。有條件擴(kuò)散是指受環(huán)境或其他生物的存在影響的。無條件擴(kuò)散是指擴(kuò)散而不考慮環(huán)境或其他生物的存在。 我們分析的部分動機(jī)是一種對理解在空間變化但時間不變的環(huán)境下演變的擴(kuò)散的興趣?！?3， 4】中兩個種群模型被用來代替反應(yīng)移流分布模型。我們將表明隨著比率向上層適應(yīng)性梯度移動變得更大和或擴(kuò)散比率變小，這個生物的 擴(kuò)散被我們的模型預(yù)測接近于期望的理想自由棲息地的選擇。一個版本的理想自由分布連續(xù)空間可以源自于一種平流分布方程，該方程基于假定生物向上層局部適應(yīng)性梯度移動，并且這個適應(yīng)性隨著空間變化、隨著擁擠現(xiàn)象下降。在本文中，我們將探討空間明確的種群模型 ,該模型與一個特定的模式，理想自由分布有關(guān)。所以很自然的要問，種群的擴(kuò)散過程是如何導(dǎo)致空間分布的模式的，什么樣的模式產(chǎn)生怎樣的過程，以及為什么生物可以進(jìn)化到這樣的擴(kuò)散方式。 本文考慮了兩種完全相同的種群在相同的環(huán)境下采取不同的策略 —— 一種采取隨機(jī)自由擴(kuò)散策略，另一種采取具適應(yīng)性的擴(kuò)散策略 —— 競爭演化模型，并證明其在整個時間區(qū)間上的古典解的存在唯一性 。這里的疏散不僅僅指人口疏散，還可以表示生物種群的擴(kuò)散演化 。 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 1 具適應(yīng)性的人口疏散模型的整體解 摘要 在人口疏散中，采取怎樣的方式疏散 (擴(kuò)散 )人口更為有效是一個非常重要的問題。 具適應(yīng)性表示人口向著資源密集的地方移動 (遷移 )。對這些問題的研究在生物學(xué)、社會學(xué)上有著廣泛的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：擴(kuò)散，偏微分方程，適應(yīng)性，整體解存在性 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 2 Global Existence for Population Evacuation Model with Adaptability Abstract In the evacuation of the population, how to evacuate(diffusion) population more effectively is a very important question. Adaptive is defined as follows: population move(migration) toward the place where resource is intensive. The evacuation here not only refers to evacuation of population, also can say the diffusion of species evolution. Research on these problems is widely used in biology, sociology. In this paper we consider two identical population that take different strategies in the same environment—one taking a random free diffusion strategy, another taking diffusion strategy with adaptability –petition evolution model, and prove that the time interval of the classical solution existence uniqueness. Key words: diffusion, partial differential equations, adaptability, existence of global solution 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 3 目 錄 1. 引言 4 研究背景 4 研究問題 5 2. 理論準(zhǔn)備 9 極值原理 9 比較原理 9 Holder 空間 9 2( ), ( ), ( )PP TpL L Q W??與 ? ?2,1 (0, )pWT?? 空間（ 1P? ） 11 3. 局部解的存在性 13 4. 整體解的存在性 14 5. 小結(jié) 21 參考文獻(xiàn) 22 致謝 25 原文及譯文 26 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 4 1. 引言 研究背景 大多數(shù)生物種群的一個明顯特征是：它們有著空間分布。在這方面已經(jīng)作 出了相當(dāng)大的努力，利用空間模型來解決這些問題。在最初的形式中，理想自由分布是簡單的描述生物怎樣定位他們自己，如果他們能自由的移動到最合適他們的適應(yīng)性。我們考慮一個在這個模型中同樣包括隨機(jī)擴(kuò)散的分布部分的變化。其他的生物模型中生物被假設(shè)成沿著適應(yīng)性梯度向上擴(kuò)散已經(jīng)在 [3] . Armsworth, . Roughgarden, The impact of directed versus random movement on population dynamics and biodiversity patterns, Am. Nat. 165 (20xx) 449– 。在【 19】中的分 析方法和問題中，通過模型和分析解決問題是兩種不同的方法 從以前那些文本中可以看出。在那種情況下它遵循 McPeek和 Holt【 22】和區(qū)分非條件、有條件擴(kuò)散之間的區(qū)別是有用的。純擴(kuò)散和與物質(zhì)的移流相關(guān)的擴(kuò)散（例如由于轉(zhuǎn)動和流動）都是無條件擴(kuò)散。它已經(jīng)表明，在這個空間框架下明確的種群模型在空間變化看時間不變的環(huán)境下，只有無條件的擴(kuò)散演化偏 向緩 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 5 慢的擴(kuò)散。但是，對于某些有條件的擴(kuò)散類型，演化又是能夠有利于更快的擴(kuò) 散如果他允許種群沿著資源更有效的方向擴(kuò)散。（一個策略被認(rèn)為是進(jìn)化上穩(wěn)定的，如果這個種群用那種策略不能被一個使用不同策略的小種群入侵）。要做到這一點(diǎn)，我們需要理解一個單一種群使用理想自由擴(kuò)散的行為；發(fā)展這個理解是本 文的目標(biāo)；進(jìn)一步是的注意的是，導(dǎo)致了包含某些理想自由分布的特征的擴(kuò)散過程已經(jīng)被證明在離散擴(kuò)散模型中是進(jìn)化穩(wěn)定的，見【 10,25】。其中一些現(xiàn)象和其他生態(tài)的部分，定向?qū)闺S機(jī)移動和演化的擴(kuò)散的影響，在兩個種群的模型【 3， 4】中被研究。因此，在平衡水平上，在棲息地被占領(lǐng)的部分，所有生物將有相同的適應(yīng)性并且 這里講沒有個體的凈運(yùn)動，種群是恒定的。假設(shè)一個種群有一個固有的人均增長率，m(x),該 m 在空間上不同但是經(jīng)歷增加的死亡率和或減少的繁殖成功率由于擁擠在整個環(huán)境一致得變化。 讓 F 表示生物在占用棲息地 Ω 的部分的適應(yīng)性。 0 otherwise, 給出。 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 6 。 Udxxu ??? ? ? ? ?? ??? ?????? 0)(: )(0)(: xux UdxxmFxux 這些條件的第一只要總?cè)丝谑鞘睾愕?。在簡單情況下，他可能找到 F的顯示的公式和 u(x)0的 部分的 U；見【 23】。這個模型有如下形式 ? ?? ?ux,fu????? ?tu on ? ???? ,0 , 與無通量邊界條件 ? ? 0, ??? n uxfu on ? ????? ,0 , 定義域 ? 是 NR 中的有界域，有光滑邊界 ?Ω， n 是在 ?Ω上的外向單位法向量， α是正常 數(shù)，用以衡量擴(kuò)散強(qiáng)度的適應(yīng)性梯度。自然要問，人口增長和擴(kuò)散怎樣相互作用。同時，通過將分布和人口動態(tài)包含進(jìn)模型，我們能夠把它放進(jìn)一個框架，允許我們將它與其他已經(jīng)在擴(kuò)散演化【 1113,16,25】背景下研究過的模型相比較。這相當(dāng)于人口密度 u(x)=m+(x),這里 m+(x)表示 m(x)的正向部分。我們將看到，隨著生物向適應(yīng)性梯度移動的趨勢變大，這樣的分布近似于對應(yīng)的擴(kuò)散模型的平衡。在這些模型中，生物的分布隨著向梯度的移動速率變大，而趨向于變得集中在 m(x)的局部最大值附近，見【 12,13】 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 7 這個模型有如下形式 ? ? ),(),( uxufuxfuuu t ??????? ?? in ? ???? ,0 . () 無通量邊界條件 0),( ?????? n uxfunu ?? on ? ????? ,0 () 這里 uxmuxf ?? )(),( () 方程中 u(x,t)表示單一種群的密度，而隨機(jī)擴(kuò)散系數(shù)是 ? 。我們假設(shè) ? 是正常數(shù)， ? 是非負(fù)常數(shù)。在本文中我們假設(shè) m∈ 2C , ???? ， ? ?1,0?? ，且 m在 Ω上可取正。 兩物種模型 最終我們計(jì)劃研究，演化穩(wěn)定的 理想自由擴(kuò)散與其他擴(kuò)散策略的比較。這種方法已經(jīng)被用在【 11,12,16,25】中。例如， g=0，對應(yīng)于通過簡單擴(kuò)散的無條件擴(kuò)散。要從進(jìn)化穩(wěn)定的觀點(diǎn)來分析這樣一個模型，我們需要研究 半平凡 平衡 ()()的穩(wěn)定性。 理解半平凡平衡 ? ?0,~u ，這里 u~ 滿足 ()()是必須的并且是本文的主題 具適應(yīng)性的人