江蘇省南通中學(xué)20xx屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題word版含答案-展示頁(yè)
2024-12-12 03:41本頁(yè)面
【正文】 平面 A1BC， 所以 AB1⊥ 平面 A1BC. 16. 已知向量 m＝ (cos α，－ 1)， n＝ (2， sin α)，其中 α∈ ?? ??0，π2 ，且 m⊥ n. (1) 求 cos 2α的值； (2) 若 sin(α－ β)＝1010 ，且 β∈ ?? ??0， π2 ，求角 β. 【答案】 解： (1) (解法 1)由 m⊥ n 得 ， 2cos α － sin α ＝ 0， sin α ＝ 2cos α， (2 分 ) 代入 cos2α ＋ sin2α ＝ 1， 5cos2α ＝ 1， 且 α∈ ?? ??0，π2 ，β ∈ ????0， π2 ， 則 cos α ＝55 ， sin α ＝2 55 ， (4 分 ) 則 cos 2α ＝ 2cos2α － 1＝ 2 ??? ???552－ 1＝－35.(6 分 ) (解法 2)由 m⊥ n得 ， 2cos α － sin α ＝ 0， tan α＝ 2， (2 分 ) 故 cos 2α ＝ cos2α － sin2α ＝cos2α － sin2αcos2α ＋ sin2α ＝1－ tan2α1＋ tan2α ＝1－ 41＋ 4＝－35.(6 分 ) (2) 由 α∈ ?? ??0，π2 ，β ∈ ????0， π2 得 ，α － β∈ ????－ π2 ，π2 . 因 sin(α－ β)＝1010 ， 則 cos(α－ β)＝3 1010 .(9 分 ) 則 sin β ＝ sin[α－ (α－ β)]＝ sin αcos(α－ β)－ cos α sin(α－ β)＝2 55 3 1010 －55 1010 ＝22 .(12 分 ) 因 β∈ ?? ??0，π2 ， 得 β＝π4 .(14 分 ) ， 攝影愛(ài)好者 S 在某公園 A處，發(fā)現(xiàn)正前方 B 處有一立柱，測(cè)得立柱頂端 O 的仰角和立柱底部 B 的俯角均為π S 的眼睛到地面的距離為 3米． (1) 求攝影愛(ài)好者到立柱的水平距離和立柱的高度； (2) 立柱的頂端有一長(zhǎng) 2 米的彩桿 MN 繞其中點(diǎn) O 在 S 與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．?dāng)z影愛(ài) 好者有一視角范圍為π3的鏡頭 ， 在彩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的任意時(shí)刻 ， 攝影愛(ài)好者是否都可以將彩桿全部攝入畫(huà)面？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】 解： (1) 如圖 ， 作 SC 垂直 OB 于 C， 則 ∠ CSB＝π6 ， ∠ ASB＝π3 .又 SA＝ 3， 故在Rt△ SAB 中 ，可求得 BA＝ 3， 即攝影愛(ài)好者到立柱的水平距離為 3 米． 由 SC＝ 3， ∠ CSO＝π6 ， 在 Rt△ SCO 中 ， 可求得 OC＝ 3. 因?yàn)?BC＝ SA＝ 3， 故 OB＝ 2 3， 即立柱高為 2 3米． (2) 如圖 ， 連結(jié) SM， SN＝ a， SM＝ (1)知 SO＝ 2 3， 在 △ SOM和 △ SON 中 ，cos∠ SOM＝－ cos∠ SON， 即（ 2 3） 2＋ 1－ b22 2 3 1 ＝－（ 2 3） 2＋ 1－ a22 2 3 1 ， 可得 a2＋ b2＝ 26. 在 △ MSN 中 ， cos∠ MSN＝a2＋ b2－ 222ab ＝11ab≥22a2＋ b2＝111312， 當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b 時(shí) ， 等號(hào)成立． 又 ∠ MSN∈
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