【正文】 這可通過如下 QLB統(tǒng)計量進(jìn)行： ?????????????mkkLB knrnnQ12)2( 該統(tǒng)計量近似地服從自由度為 m的 ?2分布（ m為滯后長度）。 kr kr 1 1 0 k 0 k ( a ) ( b ) 圖 平穩(wěn)時間序列與非平穩(wěn)時間序列樣本相關(guān)圖 ? 注意 : 確定樣本自相關(guān)函數(shù) rk某一數(shù)值是否足夠接近于 0是非常有用的，因為它可 檢驗對應(yīng)的自相關(guān)函數(shù) ?k的真值是否為 0的假設(shè)。 ? 一個時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)定義為： ? ?? ?? ???????????nttkntkttkXXXXXXr121?,3,2,1?k 易知 ， 隨著 k的增加 ， 樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于零 。 tX tX t t (a ) (b ) 圖 平穩(wěn)時間序列與非平穩(wěn)時間序 列圖 ? 進(jìn)一步的判斷 :檢驗 樣本自相關(guān)函數(shù)及其圖形 定義隨機時間序列的 自相關(guān)函數(shù)（ autocorrelation function, ACF） 如下 ： ?k=?k/?0 自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于滯后期 k的遞減函數(shù) (Why?)。 ? 一個 平穩(wěn)的時間序列 在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動的過程。 ? 1階自回歸過程 AR(1)又是如下 k階自回歸 AR(K)過程 的特例： Xt= ?1Xt1+?2Xt2? +?kXtk 該隨機過程平穩(wěn)性條件將在第二節(jié)中介紹。 167。 后面將會看到 :如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列 。 容易知道該序列有相同的均值 ： E(Xt)=E(Xt1) 為了檢驗該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)Xt的初值為 X0，則易知 : X1=X0+?1 X2=X1+?2=X0+?1+?2 ? ? Xt=X0+?1+?2+?+ ?t 由于 X0為常數(shù)， ?t是一個白噪聲，因此 : Var(Xt)=t?2 即 Xt的方差與時間 t有關(guān)而非常數(shù) ， 它是一非平穩(wěn)序列 。 由于 Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零 ,由定義 ,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的 。 二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 定義： 假定某個時間序列是由某一 隨機過程（ stochastic process）生成的，即假定時間序列{Xt}（ t=1, 2, … ）的每一個數(shù)值都是從一個概率分布中隨機得到，如果滿足下列條件： 1）均值 E(Xt)=?是與時間 t 無關(guān)的常數(shù)； 2）方差 Var(Xt)=?2是與時間 t 無關(guān)的常數(shù)； 3）協(xié)方差 Cov(Xt,Xt+k)=?k 是 只與時期間隔 k有關(guān)，與時間 t 無關(guān)的常數(shù)； 則稱該隨機時間序列是 平穩(wěn)的 （ stationary)，而該隨機過程是一 平穩(wěn)隨機過程（ stationary stochastic process）。 時間序列分析模型方法 就是在這樣的情況下， 以通過揭示時間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計量經(jīng)濟學(xué)方法論 。 ⒊ 數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn) “ 虛假回歸 ” 問題 在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中， 實際的時間序列數(shù)據(jù)往往是非平穩(wěn)的 ， 而且主要的經(jīng)濟變量如消費、收入、價格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。 因此 ： 注意： 在雙變量模型中： 表現(xiàn)在 :兩個本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性 （有較高的 R2)。 ? 數(shù)據(jù)非平穩(wěn) ，大樣本下的統(tǒng)計推斷基礎(chǔ) ——“一致性 ”要求 ——被破懷。統(tǒng) 計 建 模 (4) 時間序列的經(jīng)濟學(xué)模型 隨機時間序列的計量經(jīng)濟學(xué)模型 ? 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 ? 隨機時間序列分析模型 ? 協(xié)整分析與誤差修正模型 167。 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 一、 問題的引出： 非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型 二、 時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 三、 平穩(wěn)性的圖示判斷 四、 平穩(wěn)性的單位根檢驗 五、 單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程 一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型 ⒈常見的數(shù)據(jù)類型 到目前為止，經(jīng)典計量經(jīng)濟模型常用到的數(shù)據(jù)有： ? 時間序列數(shù)據(jù) （ timeseries data) ? 截面數(shù)據(jù) (crosssectional data) ? 平行 /面板數(shù)據(jù) （ panel data/timeseries crosssection data) ★ 時間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù) ⒉經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 ? 經(jīng)典回歸分析 暗含 著一個重要 假設(shè) ： 數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。 ? 經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量 X是非隨機變量 ? ? nXX i /)( 2 ? ???? QnXXP in )/)(( 2lim依概率收斂： (2) 放寬該假設(shè)： X是隨機變量，則需進(jìn)一步要求： (1)X與隨機擾動項 ? 不相關(guān) ∶ Cov(X,?)=0 第（ 2）條是為了滿足統(tǒng)計推斷中大樣本下的 “一致性 ”特性： ?? ???)?(limnP第（ 1）條是 OLS估計的需要 ???? ????nxnuxxuxiiiiii//?22 ??? ???? ????? ???? QnxPnuxPPiiin0/lim/lim?lim2▲ 如果 X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù) （如表現(xiàn)出向上的趨勢），則（ 2）不成立，回歸估計量不滿足 “一致性 ”，基于大樣本的統(tǒng)計推斷也就遇到麻煩。 例如： 如果有兩列時間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。這樣 ， 仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析，一般不會得到有意義的結(jié)果。 時間序列分析 已組成現(xiàn)代計量經(jīng)濟學(xué)的重要內(nèi)容，并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟分析與預(yù)測當(dāng)中。 例 ． 一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均值同方差的獨立分布序列： E(Xt)=?t ， ?t~N(0,?2) 該序列常被稱為是一個 白噪聲 （ white noise） 。 例 ． 另一個簡單的隨機時間列序被稱為隨機游走（ random walk） ， 該序列由如下隨機過程生成： X t=Xt1+?t 這里， ?t是一個白噪聲。 ? 然而，對 X取 一階差分 （ first difference） : ?Xt=XtXt1=?t 由于 ?t是一個白噪聲，則序列 {△ Xt}是平穩(wěn)的。 ? 事實上， 隨機游走過程 是下面我們稱之為 1階自回歸 AR(1)過程 的特例 : Xt=?Xt1+?t 不難驗證 : 1)|?|1時，該隨機過程生成的時間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升 (?1)或持續(xù)下降 (?1)，因此是非平穩(wěn)的； 2)?=1時，是一個隨機游走過程，也是非平穩(wěn)的 。 :只有當(dāng) 1?1時，該隨機過程才是平穩(wěn)的。 三、平穩(wěn)性檢驗的圖示判斷 ? 給出一個隨機時間序列，首先可通過該序列的 時間路徑圖 來粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。 ? 而 非平穩(wěn)序列 則往往表現(xiàn)出在不同的時間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。 實際上 ,對一個隨機過程只有一個實現(xiàn)（樣本），因此，只能計算 樣本自相關(guān)函數(shù) （ Sample autocorrelation function）。 但從下降速度來看 ， 平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多 。 Bartlett曾證明 :如果時間序列由白噪聲過程生成 ， 則對所有的 k0， 樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以 0為均值 ， 1/n 為方差的正態(tài)分布 ， 其中 n為樣本數(shù) 。 因此 :如果計算的 Q值大于顯著性水平為 ?的臨界值，則有 1?的把握拒絕所有 ?k(k0)同時為 0的假設(shè)。 表 一個純隨機序列與隨機游 走序列的檢驗 序號 R andom1 自相關(guān)系數(shù) kr (k=0,1, … 17) LBQ R andom2 自相關(guān)系數(shù) kr (k=0,1, … 17) LBQ 1 K=0, 1 . 0 0 0 2 K=1, 0 . 0 5 1 3 K=2, 0 . 3 9 3 4 K=3, 0 . 1 4 7 5 K=4, 0 . 2 8 0 6 K=5, 0 . 1 8 7 7 K=6, 0 . 3 6 3 8 K=7, 0 . 1 4 8 9 K=8, 0 . 3 1 5 10 K=9, 0 . 1 9 4 11 K=10, 0 . 1 3 9 12 K=11, 0 . 2 9 7 13 K=12, 0 . 0 3 4 14 K=13, 0 . 1 6 5 15 K=14, 0 . 1 0 5 16 K=15, 0 . 0 9 4 17 K=16, 0 . 0 3 9 18 K=17, 0 . 0 2 7 19 ? 容易驗證： 該樣本序列的均值為 0，方差為。 （ a ） （ b ） 0 . 6 0 . 4 0 . 20 . 00 . 20 . 40 . 62 4 6 8 10 12 14 16 18R A N D O M 1 0 .8 0 .40 .00 .40 .81 .22 4 6 8 10 12 14 16 18R A N D O M 1 A C ? 由于該序列由一隨機過程生成，可以認(rèn)為不存在序列相關(guān)性，因此 該序列為一白噪聲。 ? 同樣地 ， 從 QLB統(tǒng)計量的計算值看，滯后 17期的計算值為 ，未超過 5%顯著性水平的臨界值 ，因此 ,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)?k(k0)都為 0的假設(shè)。 ? 序列 Random2是由一隨機游走過程 Xt=Xt1+?t 生成的一隨機游走時間序列樣本。 （ a ） （ b ） 1 . 0 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 20 .00 .20 .42 4 6 8 10 12 14 16