人教b版高中數(shù)學選修2-2第1章13第3課時導數(shù)的實際應用-展示頁
2024-11-30 15:23本頁面
【正文】 是多少？ [ 解析 ] 汽車運行的時間為1 3 0xh ，耗油量為1 3 0x ( 2 ＋x23 6 0)L ，耗油費用為 2 ( 2 ＋x23 6 0) 元，司機的工資為 141 3 0x1 3 0x＝ 1 3 0 (x1 8 0＋18x) ， 所以 y ′ ＝ 1 3 0 (11 8 0－18x2 ) ． 令 y ′ ＝ 0 ，解得 x ＝ 18 10 或 x ＝－ 18 10 ( 舍去 ) ． 因為 50 ≤ x ≤ 1 0 0 ， 所以 x ＝ 18 10 ≈ 5 7 k m / h . 故最經(jīng)濟的車速為 5 7 k m/ h ，最低費用為 130 (18 101 8 0＋1818 10) ≈ 8 2 . 2 元． 二、利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的步驟 ( 1 ) 細致分析實際問題中各個量之間的關系，正確設定所求最大值或最小值的變量 y 與自變量 x ，把實際問題轉化為數(shù)學問題，即列出函數(shù)關系式 y ＝ f ( x ) ，再根據(jù)實際問題確定函數(shù) y＝ f ( x ) 的定義域． ( 2 ) 求 f ′ ( x ) ，解方程 f ′ ( x ) ＝ 0 ，求出定義域內所有的實數(shù)根． ( 3 ) 通過單調性確定出函數(shù)的最值點及最值． 注意： ( 1 ) 求實際問題的最大 ( 小 ) 值時，一定要從問題的實際意義去考慮，不符合實際意義的理論值應舍去； ( 2 ) 在解決實際最優(yōu)化問題中，不僅要注意將問題中涉及的變量關系用函數(shù)關系式給予表示，還應確定函數(shù)關系式中自變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域． 將一段長為 100cm的鐵絲截成兩段 ， 一段彎成正方形 ， 一段彎成圓 ， 問如何截能使正方形與圓的面積之和最小 ？ [ 解析 ] 設彎成圓的一段鐵絲長為 x ( 0 x 1 0 0 ) ，則另一段長為 100 － x ，從而正方形的邊長為1 0 0 － x4，圓的半徑 r ＝x2π，記正方形與圓的面積之和為 S ， 所以 S ＝ π(x2π)2＋ (1 0 0 － x4)2＝x24π＋1 0 0 0 0 － 200 x ＋ x216( 0 x 1 0 0 ) ， 則 S ′ ＝x2π＋x － 1008. 令 S ′ ＝x2π＋x － 1008＝ 0 ，解得 x ＝1 0 0 π4 ＋ π. 當 0 x 1 0 0 π4 ＋ π時， S ′ 0 ； 當1 0 0 π4 ＋ π x 1 0 0 時， S ′ 0 . 所以當 x ＝1 0 0 π4 ＋ π，即彎成圓的一段鐵絲長為1 0 0 π4 ＋ πcm 時，正方形與圓的面積之和最?。? 三、解決最優(yōu)化問題的類型與注意問題 1．利用導數(shù)解決最優(yōu)化問題的基本思路： 在日常生活、生產建設和科技活動中，做一件事總要付出一定的代價，也總想取得一定的效果，在付出代價一定的條件下，我們總想取得最好的效果；在預期效果確定的情形下，我們總想只付出最小的代價． 2．生活中的最優(yōu)化問題常見類型存在以下幾類： (1)利潤最大問題，首先要找到銷售價格、銷售數(shù)量，由此可得銷售收入，然后看單件成本及總成本，最后求得產生利潤函數(shù)． (2)用料最省問題，主要考慮幾何體的側面積，當然，要結合具體問題，看看上方有沒有蓋，下方有沒有底，這些細節(jié)往往隱含在問題之中．用料最省往往也會以工程造價最低 (不同的面造價會不同，實際問題可能要分開計算 )的形式與大家見面． ( 3 ) 容積最大問題．此類問題實際上是體積問題，首先要明白條件的給出方式，可能會將重要條件 ( 比如：多面體的長、寬、高；旋轉體的底面半徑、高等 ) 隱藏在表面積之中，其次，要注意幾何體的特征，當幾何體不規(guī)范時，可能還要進行 “ 割 ” 與 “ 補 ” 的技術處理． ( 4 ) 效率最大問題．首先要清楚效率是如何求出的：效率＝產量時間，然后要緊緊抓住產量與生產時間，通過這個比產生結論． ( 5 ) 增長率 ( 最大或最小 ) 問題．首先要抓住增長率＝現(xiàn)產量原產量－ 1 ，然后逐步求出原產量與現(xiàn)產量，最后得出結 論． ( 6 ) 運輸費用最省問題．其實此類問題就是路程、時間、速度三者的關系問題，建立在時間與速度的基礎上產生路程，根據(jù)路程產生運輸費用最少或是油耗最?。? 某單位用木料制作如圖所示框架 ， 框架的下部是邊長分別為 x， y(單位： m)的矩形 ， 上部是等腰直角三角形 ． 要求框架圍成的總面積為 8m2， 問 x， y分別為多少 (精確到 )時用料最省 ？
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