【正文】 PdPzjj解：首先對應(yīng)于第一優(yōu)先等級，建立線性規(guī)劃問題： 用 LINGO求解，得最優(yōu)解＝ 0，最優(yōu)值為 0。 圖 1 在 LINGO工作區(qū)中錄入以下程序（參見圖 2） model: min=d1。 END 其中 x x2分別代表決策變量 、 ； d1_、 d1分別代表偏差變量 、 。 LINGO彈出求解結(jié)果報(bào)告（參見圖 3）： 詳細(xì)信息如下 圖 3 對應(yīng)于第二優(yōu)先等級，將 ＝ 0作為約束條件，建立線性規(guī)劃問題： ?1d???????????????????????????2,1,0,010401510..min211222111212jddxxdddxxddxxtsdzjj?? ? 11 dd 62?d用 LINGO求解，得最優(yōu)解 ＝ 0 ， ，最優(yōu)值為 6。 10*x1+15*x2+d1_d1=40。 d1=0。具體 LINGO程序及輸出信息如下（參見圖 6） ： ?1d 62 ??d????????????????????????????????????3,2,1,0,6,0710401510..min2121332222111213jddxxddddxddxxddxxtsdzjj,0,4 21 ?? xx 011 ?? ?? dd 7,6 32 ??? ddmodel: min=d3_。 x1+x2+d2_d2=10。 d1=0。 END 圖 6 LINGO運(yùn)算后輸出為：（參見圖 7） 圖 7 ? 因此， ＝ 0， 就是目標(biāo)規(guī)劃的滿意解。任何決策問題的解決主要依賴于所謂的決策者和分析者。政府官員、企業(yè)行政管理人員均為某類問題的決策者。分析者一般指能夠提供可行方案和各目標(biāo)之間的折中信息的人或機(jī)器，比如經(jīng)濟(jì)學(xué)家、工程師、系統(tǒng)分析員、社會學(xué)家、計(jì)算機(jī)等。具有 2個或 2個以上目標(biāo)的決策問題稱為多目標(biāo) 決策問題，相應(yīng)的求解方法稱為多目標(biāo)方法。而多目標(biāo)方法則由決策者探尋 和確定備選的可行方案范圍，評價目標(biāo)的相對價值。 由于模型的不準(zhǔn)確性和單一目標(biāo)的片面性，這 種所謂最優(yōu)的方案并不一定是決策者滿意的。另一方面，多目標(biāo)方 法向決策者提供經(jīng)過仔細(xì)選擇的備選方案（多種方 案）。 概括起來，多目標(biāo)決策方法處理實(shí)際決策問題 有三個方面的優(yōu)點(diǎn)：（ 1）加強(qiáng)了決策者在決策過程 中的作用；（ 2）可以得到范圍更為廣泛的備選決策 方案；（ 3）決策問題的模型和分析者對問題的直覺 將更加現(xiàn)實(shí)。第一個是顧客到商店購買衣服。該決策問題的解就是顧客最終買到一件合適的衣服（或選擇一個滿意的方案）。 因此，顧客購買衣服的問題是多目標(biāo)決策問題。這也是一個決策問題，決策者是公務(wù)員，備選方案是可利用的交通工具。顯然這也是一個多目標(biāo)決策問題。比如在煉油廠的生產(chǎn)計(jì)劃中，基本的決策問題是如何根據(jù)企業(yè)的外部環(huán)境與內(nèi)部條件，制定出具體的作業(yè)計(jì)劃。這些指標(biāo)包括：利潤、原油量、成本、能耗等。 多目標(biāo)決策問題有兩個共同的特點(diǎn)，即各目標(biāo)的不可公度性和相互之間的矛盾性。 目標(biāo)之間的矛盾性是指，如果改進(jìn)某一目標(biāo)的值，可能會使另一個或一些目標(biāo)變差。必須深入研究其特征，特別是解的性質(zhì)。但是這里的“最優(yōu)”往往帶有片面性，不能全而準(zhǔn)確的反映決策者的偏好信息。滿意解指決策者對于有關(guān)的所有目標(biāo)值都認(rèn)為滿意。各目標(biāo)之間的這種矛盾性是多目標(biāo)問題的基本特性，不具有這種特性的問題實(shí)質(zhì)上是單目標(biāo)優(yōu)化問題。 非劣性的意義可解釋為：設(shè)某一可行解 對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為 ，若不存在其他可行解既能在 的基礎(chǔ)上改進(jìn)某一目標(biāo)的值，同時又不至于使任何別的目標(biāo)的值變差。下面舉一個簡單的例子來說明非劣性。 方案 目標(biāo)函數(shù) 方案的性質(zhì) F1(x) F2(x) X1 10 21 非劣 X2 14 18 非劣 X3 12 16 劣 X4 8 20 劣 解：因 故 。 因此四個方案的優(yōu)劣性見表。 在各個方案之間 ，顯然： ④ 比 ① 好 ， ⑤ 比④ 好 , ⑥ 比 ② 好 , ⑦ 比③ 好 …… 。 圖 多目標(biāo)規(guī)劃的劣解與非劣解 第二部分 多目標(biāo)決策的數(shù)學(xué)模型及其非劣解 一、多目標(biāo)決策的數(shù)學(xué)模型 （一）任何多目標(biāo)決策問題，都由兩個基本部分組成： （ 1）兩個以上的目標(biāo)函數(shù)； （ 2）若干個約束條件。 TnxxxX ],[ ?21?)(max (min) XFZ ?GXts ?? )(..縮寫形式： 有 n個決策變量， k個目標(biāo)函數(shù) ， m個約束方程， 則： Z=F(X) 是 k維函數(shù)向量 ， ?(X)是 m維函數(shù)向量； G是 m維常數(shù)向量； 多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標(biāo)的最優(yōu)化（最大或最?。?，而不顧其它目標(biāo)。 圖 多目標(biāo)規(guī)劃的劣解與非劣解 而對于方案 ⑤ 、 ⑥ 、⑦ 之間則無法確定優(yōu)劣 ，而且又沒有比它們更好的其他方案 ， 所以它們就被稱為多目標(biāo)規(guī)劃問題的 非劣解 或 有效解 ，其余方案都稱為 劣解 。 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時達(dá)到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解。 實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化 ， 有如下幾種建模方法 。 方法一 效 用最優(yōu)化模型 （ 線性加權(quán)法 ） 思想：規(guī)劃問題的各個目標(biāo)函數(shù)可以通過一定的方式進(jìn)行求和運(yùn)算。 在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時 ， 需要確定一組權(quán)值 ?i 來反映原問題中各目標(biāo)函數(shù)在總體目標(biāo)中的權(quán)重 ， 即： ??? kiii1max ??? ),2,1(),(21 migxxx ini ?? ??????kii11? ???T?max GXts ?? )(..式中 ， ?i 應(yīng)滿足： 向量形式： 方法二 罰款模型 （理想點(diǎn)法） 思想 : 規(guī)劃決策者對每一個目標(biāo)函數(shù)都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過比較實(shí)際值 fi 與期望值 fi* 之間的偏差來選擇問題的解，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下： 21)(min ????? kiiii ffZ ? ),2,1(),(21 migxxx ini ?? ???或?qū)懗删仃囆问剑? )()(m in ?? ??? FFAFFZ TGX ?? )(式中， 是與第 i個目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的權(quán)重； A是由 (i=1,2,…, k )組成的 mm對角矩陣。 假如，除第一個目標(biāo)外，其余目標(biāo)都可以提出一個可供選擇的范圍，則該多目標(biāo)規(guī)劃問題就可以轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題： 方法三 約束模型（極大極小法） ),(ma x(m in)211 nxxxfZ ?? ),2,1(),( 21 migxxx ini ?? ??? ),3,2(maxmin kjfff jjj ????方法四 目標(biāo)規(guī)劃模型（目標(biāo)規(guī)劃法） 需要預(yù)先確定各個目標(biāo)的期望值 fi* ，同時給每一個目標(biāo)賦予一個優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)，假定有 K個目標(biāo)， L個優(yōu)先級( L≤K)，目標(biāo)規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)形式為： ? ?? ????? ?? LlKk klkklklddpZ1 1)(min ?? ),(),( migxxxini ?? 2121 ??? ),( Kifddf iiii ?21???? ???式 中： di+ 和 di－ 分別表示 與 fi 相應(yīng)的、與 fi* 相比的目標(biāo)超過值和不足值，即 正、負(fù)偏差變量 ； pl表示第 l個優(yōu)先級； ?lk+、 ?lk表示在同一優(yōu)先級 pl 中，不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)。 三、目標(biāo)規(guī)劃方法 假定有 L個目標(biāo) ， K個優(yōu)先級 (K≤L)， n個變量 。 目標(biāo)函數(shù) 目標(biāo)約束 絕對約束 非負(fù)約束 ? ?? ????? ??KkLllkllklk ddpZ1 1)(min ?????? ????nj llljlj Llgddxc1)( ),2,1( ??????nj ijijmibxa1),2,1(),( ?),2,1(0 njxj ??? ),2,1(0, Lldd ll ?????目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中的有關(guān)概念。 其中 ， 正偏差變量表示決策值超過目標(biāo)值的部分 ， 負(fù)偏差變量表示決策值未達(dá)到目標(biāo)值的部分 。 (2) 絕對約束和目標(biāo)約束 絕對約束，必須嚴(yán)格滿足的等式約束和不等式約束，譬如，線性規(guī)劃問題的所有約束條件都是絕對約束，不能滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。 線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)，在給定目標(biāo)值和加入正、負(fù)偏差變量后可以轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束，也可以根據(jù)問題的需要將絕對約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。這些優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)都由決策者按照具體情況而定。凡要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子 p1 ，次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子 p2 ， ?? ，并規(guī)定 plpl+1 (l=1,