【正文】 滿足 狄利赫利 (Dirichlet)條件 ，即函數(shù)在 [T/2,T/2]上滿足： ① 連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)； ② 只有有限個(gè)極值點(diǎn)。舉例 — 付里葉 (Fourier)級(jí)數(shù) — 矩形波分解舉例 — 付里葉 (Fourier)級(jí)數(shù) — 周期函數(shù)分解時(shí)間幅值頻率時(shí)域分析 頻域分析舉例 — 齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)信號(hào)分析 齒根裂紋輸入軸回轉(zhuǎn)頻率：f 1=990/60=Z Z2嚙合頻率： 330Hz Z Z4嚙合頻率： 一、付里葉 (Fourier)變換? 主要內(nèi)容：? (Fourier)級(jí)數(shù)：周期函數(shù)；? (Fourier)變換：非周期函數(shù)；? (Fourier)變換（ DFT： Discrete Fourier Transform）? (Fourier)變換（ FFT： Fast Fourier Transform） 1965年 CooleyTukey首先提出。 3. 為了分析系統(tǒng)的工作狀態(tài)，經(jīng)常要求了解不同頻率條件下系統(tǒng)的工作狀態(tài)。 2. 任何一個(gè)系統(tǒng)（機(jī)械的、電器的、電子的、液壓的、氣動(dòng)的 …) 都具有自身的頻率特性，即對(duì)不同的頻率簡諧信號(hào)的輸入，有不同的響應(yīng)特性。? 數(shù)學(xué)變換是信號(hào)分析與處理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)? 常用算法： 一、付里葉 (Fourier)變換 二、拉普拉斯 (Laplace)變換 三、 Z變換 四、希爾伯特變換 (Hilbert Transform)一、付里葉 (Fourier)變換? 內(nèi)涵： 任何時(shí)域信號(hào)都可以由各種不同頻率的簡諧信號(hào)組成，付里葉變換就是研究它們之間關(guān)系的有力工具，即從 時(shí)域 變換至 頻域。 ? 非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)： 統(tǒng)計(jì)特性隨時(shí)間而改變的一類信號(hào) 。 各態(tài)歷經(jīng)性： 是指其總體的集合統(tǒng)計(jì)量與其樣本的時(shí)間統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)相等。實(shí)際工作中，我們往往事先假定所測(cè)信號(hào)為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。如果信號(hào)的各階矩都不隨時(shí)間而改變，則稱此信號(hào)是 嚴(yán) 平穩(wěn) (強(qiáng)平穩(wěn) )；如果信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性中只有 均值 和 方差 不隨時(shí)間而改變，則稱此信號(hào)是 寬平穩(wěn) (弱平穩(wěn) )。因此，我們往往把所測(cè)機(jī)械信號(hào)籠統(tǒng)地說成是 隨機(jī)信號(hào) 。可表示為： x(t) = x(t +T) T— 周期? 隨機(jī)信號(hào)： 是指其單次試驗(yàn)所得信號(hào)的規(guī)律不能確定，而在大量的重復(fù)試驗(yàn)中則表現(xiàn)出某種統(tǒng)計(jì)特性的一類信號(hào)。 信號(hào)的分類 依據(jù) 1? 根據(jù)其 能否用明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式 進(jìn)行描述而將信號(hào)分為：? 確定性信號(hào)： 是指能用數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行精確描述的一類信號(hào)，它可進(jìn)一步分為周期信號(hào)和非周期信號(hào)。 ★ 相關(guān)分析 （自相關(guān)、互相關(guān)分析）；? 頻域分析： 幅度譜分析、功率譜分析等；? 時(shí)間序列分析 ；? 特殊方法： 時(shí)域平均、倒頻譜分析、自適應(yīng)消噪 技術(shù)、共振解調(diào)技術(shù)等。? 信號(hào)分析與處理的 目的 ： 從原始信號(hào)中獲取更多的有用信息；更便于根據(jù)信號(hào)的特征進(jìn)行判斷。第二章 故障診斷的信號(hào)分析與處理技術(shù)（內(nèi)容提要） [付里葉 (Fourier)變換 、拉普拉斯 (Laplace)變換、 Z 變換、希爾伯特 (Hilbert)變換第二章 故障診斷的信號(hào)分析與處理技術(shù)? 信號(hào)： 信息的載體，通常表示為 x(t) 、 y(t)等。? 信號(hào)分析與處理 : 對(duì)信號(hào)的加工過程。第二章 故障診斷的信號(hào)分析與處理技術(shù)? 信號(hào)分析與處理的常用方法 ：? 時(shí)域分析： ★ 統(tǒng)計(jì)特征參量分析 （ 例如概率密度函數(shù) p(x) ， 概 率分布函數(shù) F(x)，均值 μx ，偏態(tài)指標(biāo) K3 ， 峭度指標(biāo) K4，無量綱指標(biāo)等） 。第二章 故障診斷的信號(hào)分析與處理技術(shù) 信號(hào)的分類 目的 不同的信號(hào)種類采取不同的處理方法，以便獲取更多的有用信息。周期信號(hào)是指每隔一定的時(shí)間便重復(fù)發(fā)生一次的一類信號(hào)，簡諧信號(hào)是最簡單的周期信號(hào)。 說明：工程實(shí)際中、特別是在機(jī)械故障診斷領(lǐng)域中，我們所測(cè)得的信號(hào)大都是確定性信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)的組合，因而總體上具有一定的隨機(jī)性，絕對(duì)的確定性信號(hào)是很少見的。第二章 故障診斷的信號(hào)分析與處理技術(shù)信號(hào)的分類 依據(jù) 2 根據(jù)其統(tǒng)計(jì)特性的不同，可將隨機(jī)信號(hào)分為：? 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)： 統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間變化而改變的一類信號(hào)。 說明： 在大多數(shù)情況下，在診斷機(jī)械狀態(tài)監(jiān)測(cè)中所測(cè)得的信號(hào)都屬于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的范疇。在平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)中 各態(tài)歷經(jīng)信號(hào) 最為重要。各態(tài)歷經(jīng)性的重要意義在于，可用樣本來研究信號(hào)的總體特性。第二章 故障診斷的信號(hào)分析與處理技術(shù)信號(hào)的分類信號(hào)的分類各態(tài)歷經(jīng)：各態(tài)歷經(jīng)： st[x(t)]= st[x1(t)]= st[x2(t)]=......= st[xn(t)] 平穩(wěn)信號(hào)：平穩(wěn)信號(hào)： st[x(t)]= st[x (t1)]= st[x (t2)]=......= st[x (tn)]第一節(jié) 信號(hào)分析與處理中的常用數(shù)學(xué)變換 ? 重要意義： 主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面 1. 可以把對(duì)復(fù)雜的時(shí)域信號(hào)的分析，轉(zhuǎn)化為一系列不同頻率的簡諧信號(hào)的分析，而簡諧信號(hào)是最容易產(chǎn)生、最便于分析、理論最成熟的信號(hào)。如：人體、彈簧 質(zhì)量系統(tǒng)、放大電路系統(tǒng)、濾波電路系統(tǒng)等。如合唱隊(duì)各個(gè)聲部的音響狀態(tài)、機(jī)床嘈聲的悅耳要求、設(shè)備的故障源的識(shí)別等。 (Fourier)級(jí)數(shù)(1) 周期函數(shù)及其付里葉級(jí)數(shù)展開 周期函數(shù)： 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的簡諧振動(dòng)、內(nèi)燃機(jī)活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng)、偏心質(zhì)量的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)等都是周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)叫做周期運(yùn)動(dòng)，它反映在數(shù)學(xué)上就是周期函數(shù)的概念，對(duì)于函數(shù) x ( t )，若存在著不為零的常數(shù) T，對(duì)于時(shí)間 t 的任何值都有： ? x( t+T) = x( t ) (21)? 則稱 x( t )為周期函數(shù)，而滿足上式的最小正數(shù) T稱為 x( t )的周期。則可展開為如下的付里葉級(jí)數(shù)： (Fourier)級(jí)數(shù)(1) 周期函數(shù)及其付里葉級(jí)數(shù)展開 三角函數(shù)形式(2) 以上展開式稱為周期函數(shù) x( t )的付里葉級(jí)數(shù)。在信號(hào)處理中，這種展開又叫做 頻率分(4) 析 。注 :第一類間斷點(diǎn)? 就是函數(shù)在 t0點(diǎn)的左極限 f(t00)和右極限 f(t0+0)存在但不相等 , 或存在且相等但不等于 f(t0)。 j 是虛數(shù)，本身并無真正的數(shù)值的意義，但它的整指數(shù)運(yùn)算特性給數(shù)學(xué)分析帶來很多方便。 歐拉（ Euler）公式的推導(dǎo)和理解 (Fourier)級(jí)數(shù)（ 2）付里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式 為了運(yùn)算的方便，我們可將上述用三角函數(shù)形式表示的付里葉級(jí)數(shù)變?yōu)閺?fù)指數(shù)形式。2 . 由付里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)數(shù)表達(dá)式可以看出， 只包含了簡諧信號(hào)和頻 率 nω 的信息，因 是復(fù)數(shù)， 則 An φn 的信息必然包含其中。2. 傅立葉積分 — 非周期函數(shù) 周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開得到 離散頻譜 ，幅值和相位只在 存在 。2. 傅立葉積分 — 非周期函數(shù) 事實(shí)上，任何一個(gè)非周期函數(shù) x ( t )都可看作是由周期為 T 的函數(shù)當(dāng)時(shí)轉(zhuǎn)化而來。 前面已得到傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式為 ： 令 ，上式就可看作為周期函數(shù) x(t) 的展開式，即 3. 付里葉變換 （ 1）令 稱為付里葉正變換， 記為 （ 2）于是有： 稱為付里葉逆變換， 記為 工程上習(xí)慣使用頻率 f , 因?yàn)? 故有 在頻率分析中，稱 X(ω)、 X(f) 為 x(t)的譜函數(shù)、譜特性、或譜密度函數(shù)，由于是復(fù)值函數(shù)，具有幅頻特性和相頻特性。其更重要的意義還在于：工程信號(hào)處理中的許多實(shí)用技術(shù)都利用了這些變換性質(zhì)。 ② 比例伸縮性質(zhì) (相似性質(zhì) )。 ④ 對(duì)稱性質(zhì) (奇偶性質(zhì) )。 ⑥ 卷積與乘積 。 3. 付里葉變換 (4)離散付里葉變換 基于數(shù)字計(jì)算機(jī)的現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)只能處理數(shù)字量而不能處理模擬量，因此，要在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)前述的連續(xù)付里葉變換，必須首先將各模擬量離散化為數(shù)字量，這個(gè)連續(xù)付里葉變換的離散化實(shí)現(xiàn)過程即是所謂的離散付里葉變換，簡稱 DFT（ Discrete Fouerier Transform）。 （該部分可參閱有關(guān)書籍）3. 付里葉變換 (5)快速付里葉變換 1965年，美國庫列 (J． W． Cooley)和圖基 (J． W． Tukey)提出了快速傅里葉變換 (Fast Fourier Transform， FFT)計(jì)算方法，使計(jì)算離散傅里葉變換 (Discrete Fourier Transform，DFT)的復(fù)數(shù)乘法次數(shù)從 減少到 次，從而大大減少了計(jì)算量，使時(shí)域問題轉(zhuǎn)換到頻域的高效處理成為可能。 70年代以后，大規(guī)模集成電路的發(fā)展以及微型機(jī)的應(yīng)用，使信號(hào)分析技術(shù)具備了廣闊的發(fā)展前景，許多新的算法不斷出現(xiàn)。3. 付里葉變換 (5)快速付里葉變換 1976年美國維諾格蘭德 ()提出了一種傅里葉變換算法 (Winograd Fourier Transform Algorithm，簡稱 WFTA)，用它計(jì)算 DFT所需的乘法次數(shù)僅為 FFT算法乘法次數(shù)的 1/3； 1977年法國努斯鮑默 ()提出了一種多項(xiàng)式變換傅里葉變換算法 (Polynomial transform Fourier Transform Algorithm，簡稱 PFTA)，結(jié)合使用 FFT和 WFTA方法，在采樣點(diǎn)數(shù)較大時(shí)，較 FFT算法快 3倍左右。均有標(biāo)準(zhǔn)程序。如統(tǒng)計(jì)特征參量分析、相關(guān)分析等；第二節(jié) 時(shí)域分析方法 一 . 統(tǒng)計(jì)特征參量分析 統(tǒng)計(jì)特征參量分析又稱信號(hào) 幅值域分析 ，在各態(tài)歷經(jīng)的假設(shè)前提下，對(duì)隨機(jī)過程的分析可變?yōu)閷?duì)其任一樣本的統(tǒng)計(jì)分析，以