【正文】 ? 就不是統(tǒng)計(jì)量了。 往往從直觀或某些一般性原則考慮提出統(tǒng)計(jì)量，再考慮它是否在某種意義下較好地集中了樣本中與所討論問(wèn)題有關(guān)的信息量。為了使統(tǒng)計(jì)推斷成為可能，首先必須把分散在樣本中的信息集中起來(lái)，用樣本的某種函數(shù)表示，這種函數(shù)稱(chēng)為 統(tǒng)計(jì)量 (Statistic) 。這兩類(lèi)分布族在研究方法上有很大差異。凡不是參數(shù)分布族的分布族稱(chēng)為 非參數(shù)分布族。{ ( ) : }Fx ?? ??。 9 分布族與參數(shù)空間 ? 如果對(duì) 總體了解甚少 ，那么總體所在的分布族可設(shè)為 {F(x):F(x)為分布函數(shù)，其它條件 } ? 如果知道 總體的分布形式 ，只是不知道具體參數(shù)，那么總體所在的分布族可設(shè)為 ，這里 為總體的分布函數(shù)中的未知參數(shù) (可以是向量 )，未知參數(shù)的全部可容許值組成的集合稱(chēng)為 參數(shù)空間 ，記為 ? 稱(chēng)為 統(tǒng)計(jì)模型 ( Statistical Model )。 8 分布族與參數(shù)空間 ? 在概率論中，總假定所用隨機(jī)變量的分布函數(shù)已知，而在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，認(rèn)為其是未知的，但總假定其是某一個(gè)分布族的成員。 ? 樣本空間為 n維歐氏空間或它的一個(gè)子集。 5 綜上所述，所謂 總體 就是一個(gè) 隨機(jī)變量 X ，所謂樣本（指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本）就是 n 個(gè)相互獨(dú)立且與總體 X 有相同的分布的隨機(jī)變量 X1,X2,…,Xn，并稱(chēng) X1,X2,…,Xn 為來(lái)自于總體 X的樣本 . 顯然，若總體具有分布函數(shù) F(x),則 X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)（樣本聯(lián)合分布）為： 1()??n iiFx6 抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 以后對(duì)樣本 X1,X2,…,Xn 作 兩種理解 ： ? 在理論推導(dǎo)中把其作為隨機(jī)向量 ? 在用理論推導(dǎo)所得出的結(jié)論進(jìn)行具體推斷時(shí)，作為實(shí)數(shù)向量，代入具體的觀察值進(jìn)行計(jì)算。這樣獲得簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的方法稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。 ? 我們稱(chēng) X1,X2,…, Xn 是 容量為 n的樣本（ Sample ）。 隨機(jī)變量 X 的分布就是總體的分布 3 抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 從一總體 X 中隨機(jī)抽取 n個(gè)個(gè)體 x1,x2,…,xn， ? 其中每個(gè) xi 是一次抽樣觀察結(jié)果，我們稱(chēng) x1,x2,…, xn 為總體 X 的 一組 樣本（觀察）值 。第二章 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布 1 167。 1. 基本概念 ? 總體與個(gè)體 ? 抽樣、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 ? 樣本、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本與樣本空間 ? 分布族、參數(shù)空間 ? 統(tǒng)計(jì)量與樣本矩 2 總體與個(gè)體 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把研究對(duì)象的全體稱(chēng)為 總體(Population) ，把組成總體的每一個(gè)單元稱(chēng)為 個(gè)體 在實(shí)際中， 總體通常是某個(gè)隨機(jī)變量取值的全體 ，其中每一個(gè)個(gè)體都是一個(gè)實(shí)數(shù) 以后我們把總體和數(shù)量指標(biāo) X 可能取值的全體組成的集合等同起來(lái)。 ? 這里的 xi 具有 二重性 ： ，它是完全確定的一組數(shù)； ，每一個(gè) xi 都可以看作某一個(gè)隨機(jī)變量 Xi (i=1,2,…, n)所取的觀察值。 4 抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 定義 ： 設(shè) X1,X2,…, Xn 為來(lái)自總體 X 的容量為 n的樣本，如果隨機(jī)變量 X1,X2,…, Xn 相互獨(dú)立且與總體有相同的分布，則稱(chēng)這樣的樣本為總體 X 的 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 ，簡(jiǎn)稱(chēng)樣本。 抽樣方式 ： 隨機(jī)抽樣 ,分層抽樣 ,等距抽樣 ,整群抽樣 ,多階段抽樣 以后如不特別聲明，所提到的樣本都是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 。 7 樣本空間 定義 ： 樣本 X1,X2,…, Xn 所有可能取值的全體稱(chēng)為 樣本空間（ Sample Space ），或稱(chēng)為 子樣空間 。 ? 一個(gè)樣本觀察值（ x1,x2,…,xn)是樣本空間中的一個(gè) 點(diǎn) 。 ? 一般可憑經(jīng)驗(yàn)，直方圖或經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)來(lái)對(duì)總體給出假定。 ??{ ( ) : }Fx ?? ??。10 分布族與參數(shù)空間 定義 ：若一個(gè)分布族中只含有有限個(gè)未知參數(shù)，或參數(shù)空間為歐氏空間的一部分，則稱(chēng)此分布族為 參數(shù)分布族 。 由參數(shù)分布族出發(fā)所得到的統(tǒng)計(jì)方法稱(chēng)為 參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法 ；由非參數(shù)分布族出發(fā)所得到的統(tǒng)計(jì)方法稱(chēng)為非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法 。 11 統(tǒng)計(jì)量與樣本矩 ? 我們對(duì)某一個(gè)問(wèn)題歸納出所在的分布族，并從總體中抽出了一個(gè)樣本后，就要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，即判斷這個(gè)樣本是來(lái)自總體分布族中哪一個(gè)基本的分布 . ? 雖然樣本含有總體的信息，但仍比較分散。 12 統(tǒng)計(jì)量與樣本矩 定義 ：設(shè) X1,X2,…,Xn為總體 X 的一個(gè)樣本，若樣本的實(shí)值連續(xù)（可擴(kuò)大為可測(cè)）函數(shù) T＝ T(X1,X2,…,Xn) 不依賴于可能含于總體中的未知參數(shù)，則稱(chēng) T 為此分布族的一個(gè) 統(tǒng)計(jì)量 (Statistic) 。 13 例如， X~N(?,?2), 其中 ? 已知， ?2未知。 2211 ()iiX ????14 樣本矩（ Sample Moment） 設(shè) X1,X2,…,Xn 是來(lái)自于總體 X 的一個(gè)樣本 .11??? ni iXnX樣本均值 （ Sample Mean） ： 樣本方差 （ Sample Variance）： 2 2 2 21111( ) . ( )1nnn i iiiS X X S X Xnn??? ? ? ???? 或15 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 （ Sample Standard Deviation）： 221111( ) . ( ) .1nnn i iiiS X X S X Xnn??? ? ? ???? 或 .2,1,11??? ??kXnA nikik .2,1,)(11???? ??kXXnB nikik階原點(diǎn)矩:k階中心矩:k樣本矩（ Sample Moment） 16 再設(shè) Y1,Y2,…, Yn 是來(lái)自總體 Y 的樣本。 19 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 在點(diǎn) x的函數(shù)值其實(shí)就是觀測(cè)值中小于或等于 x的頻率，它是一個(gè)右連續(xù)的非減函數(shù)，且 ，因而它具有分布函數(shù)的性質(zhì)，可以將它看成是以等概率取 的離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 ()nFx?0 ( ) 1nFx???12, , ..., nx x x20 對(duì)于的每一數(shù)值而言，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 為樣本 的函數(shù)，它是一統(tǒng)計(jì)量，即為一隨機(jī)變量，其可能取值為 。 ()()nFx?12, , , nX X X ? ?0 1 / , ..., 1 / , 1n n n?()n kFx n????????12, , , nX X X? ?Xx? ? ? ? ?( ) ( ) 1 ( )k n kknnkP F x C F x F xn???? ? ? ?????( ) { }F x P X x??21 定理 （ 格列汶科定理 ） 設(shè)總體的分布函數(shù)為 F(x),經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為 Fn*(x)，則對(duì)任何實(shí)數(shù) x 有 *l im sup ( ) ( ) 0 1nnxP F x F x??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?????22 ? 從上面定理知道，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) Fn*(x)依概率 1收斂于（理論）分布函數(shù) F(x)。 23 167。 ? 精確分布與小樣本問(wèn)題 ? 極限分布與大樣本問(wèn)題 24 正態(tài)總體的抽樣分布 正態(tài)總體樣本的線性函數(shù)的分布 －分布 t－分布 F－分布 2?25 正態(tài)總體樣本線性函數(shù)的分布 定理 1 設(shè)總體 X?N(?,?2), X1,X2,…, Xn 是總體