注冊設(shè)備工程師10年培訓(xùn)課件4-展示頁
2025-01-22 14:21本頁面
【正文】 ( ) 0d df rr r f rdr dr ??? ??????222() ( ) 0dg gd? ?????00( ) l nf r C r D??()g A B??γ ≠ 0 時，式（ F1）可寫為： 2222 0d f dfr r fdr dr ?? ? ? 對于 g (φ) ，即式（ F2）的解為 ( ) si n( ) c os( )g A B??? ? ? ? ???()f r C r D r?? ??? 這是一個變系數(shù)常微分方程，稱為歐拉（ Euler）方程， 即（式 F1）的解為： 在許多實際問題中 , 坐標(biāo)變量 φ 的變化范圍是 0 — 2π ,而電位又必須是單值的 ,即 ( ) ( 2 )? ? ? ? ???這就要求 ( ) ( 2 )? ? ? ? ? ? ? ???γ 應(yīng)當(dāng)是整數(shù) ,以 n 表示 (n=1,2,3, …). 將上述各式中的 γ 換成 n ,則可得圓柱坐標(biāo)中的二維拉普拉斯方程的同解是 : () 例：一根半徑為 r0的 ， 介電常數(shù)為 ε 的無限長介質(zhì)圓柱體 ， 放置于均勻外電場 E0中 ， 且與 E0相垂直 。于是 和 疊加后，得電位解為 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法 應(yīng)用條件： 界面形狀適合用圓柱坐標(biāo)系表示。為了滿足 y=0和 y=d時 的條件， g(y)必定取正弦函數(shù) ；又因為 時， 應(yīng)為零，所以 f(x)應(yīng)是隨 x衰減的函數(shù)，即取 ，再由 ， 得 。現(xiàn)在只需求解 。由于問題的解是圖（ a）和圖（ b）問題疊加的結(jié)果，因此圖（ a）和圖（ b）邊界條件的疊加應(yīng)該等于原來的邊界條件，即 從而得到 212 0y?? ?? 01 U yd? ? 001 2 200 2( 0 , ) ( ) 0 2 0xx U d y dUyy d d y? ? ? ??? ???? ? ? ? ? ? ??? 這兩個場疊加后，在 y=0和 y=d兩平面上的邊界條件與原題中的一樣，而在 x=0的平面上有 也和原題相同。即 Φ1和 Φ2分別是圖（ a）和圖（ b）的解 對于圖 （ a） ， 當(dāng) y=a時 ， 電位為 U0， 當(dāng) y=0時 ， 電位為 0， 它相當(dāng)于求兩個無限大平板之間的電位 ， 這是一個一維問題 ，即電位只在 y方向有變化 。 首先考慮邊界條件 ， 有 以及當(dāng) x趨于無窮時，電位應(yīng)該有限。槽的寬度為 d，在 x和 z方向都是無窮大，槽由兩塊 L形的導(dǎo)體構(gòu)成，兩塊導(dǎo)體間有一狹縫，外加恒定電壓 U0。 如果有多個邊界條件電位不為零，則可利用疊加原理，將問題分解為只有其中一個邊界電位不為零，其余邊界電位為零，分別求解，最后的解就是所有這些問題的解的疊加結(jié)果。由于當(dāng) z=0時，h(z)=0， 顯然采用雙曲函數(shù)比較方便，代入邊界條件： 得到 這里 1( ) si n( )mmmg y B yb???? ?(0) 0h ? 11( ) ( )m n zm nnmh z C sh k z????? ??122 2zm nnmkab????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ??? 這樣，長方形體積內(nèi)電位的通解的形式為 令 為新的待定系數(shù)，對于具體的 U(x,y)，可以利用三角函數(shù)的正交性，得出待定系數(shù)。 解： 顯然，長方形體積內(nèi)的電位滿足拉普拉斯方程。邊界條件為除 z＝ c面電位不為零外，其他各表面的電位都為零。 ()gy和 的情況與此類似。 常微分方程的解 以常微分方程 為例，其解的形式為： 若 為零，則 若 為實數(shù)，則 若 為虛數(shù)，即 ，則 或 其中 雙曲正弦曲線， 通過原點對原點對稱 雙曲余弦曲線， 不通過原點，對 y軸對稱， 頂點（同極小點）： A(0,1) 求定解 根據(jù)邊界條件確定通解中的各個常數(shù)。 分析方法： 用分離變量法求通解，重點是利用邊界條件求定解。 如果邊界是 導(dǎo)體 ，則上述 三類問題 分別變?yōu)椋阂阎鲗?dǎo)體表面的電位；已知各導(dǎo)體表面的總電量；已知一部分導(dǎo)體電位與另一部分導(dǎo)體的電荷量。 第二類邊值問題 （諾伊曼（ Neumann）問題）：位函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)已知。 拉普拉斯方程和泊松方程 拉普拉斯方程和泊松方程是靜態(tài)場的基本方程。第四章 靜態(tài)場邊值問題的解法 本章主要介紹泊松方程或拉普拉斯方程的求解。求解邊值問題的方法，可以分為解析法和數(shù)值法兩大類。 邊值型問題的分類 第一類邊值問題 （狄利赫利（ Dirichlet）問題）：邊界上的位函數(shù)已知。 第三類邊值問題 （混合邊值問題）：部分邊界上位函數(shù)已知，部分邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)已知。 邊值問題 研究方法 計算法 實驗法 作圖法 解析法 數(shù)值法 實測法 模擬法 定性 定量 積分法 分離變量法 鏡像法、電軸法 微分方程法 保角變換法 有限差分法 有限元法 邊界元法 矩量法 模擬電荷法 數(shù)學(xué)模擬法 物理模擬法 ???? ???? ???? 直角坐標(biāo)系中的分離變量法 應(yīng)用條件 ： 界面形狀適合用直角坐標(biāo)系表示 , 既場域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時。 直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程： 變量分離 設(shè) 拉普拉斯方程變?yōu)? 上式成立的唯一條件是三項中每一項都是常數(shù)，故可分解為下列三個方程： 其中 、 和 為常數(shù)，但不能全為實數(shù)或全為虛數(shù)。 請參照例題來學(xué)習(xí)體會。故拉普拉斯方程的解為 hz ( ) ( ) ( )f x g y h z??例 求如圖長方體積中的電位函數(shù)。 Z＝ c表面上給定的電位函數(shù)為 U（ x， y）。 0222222?????????zyx???首先觀察邊界條件，有 要滿足在 x=0， x=a的邊界上，電位為零的邊界條件，在 f(x)的三種可能的解中只能有 ( , )0zcU x y?????其 它12( ) si n( ) c os( )xxf x A k x A k x??
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