【正文】 T? ? 有效值也稱為方均根值。為此，下面在同一個電阻 R上分別流過直流電流 I和交流電流 i， “ 有效 ” 是指它們對電阻 R的作功上的等效。 ），如圖 4－８。 ⑶ φ = 90176。 ⑴ φ ＝０， u和 i同相，如圖 4－６。 例 如 正 弦 電 壓 u(t)=Umsin(ωt+φ u )和正弦電流 i(t)=Imsin(ωt+φ i )，則 u和 i的相位差 φ 0， u超前 (領先 )i， 或 i滯后 (落后 )u； φ 0， i超前 (領先 )u，或 u滯后 (落后 )i。對于一個確定的正弦量來說，其最大值是一個常數(shù)，它表示了正弦量在振蕩過程中的最大幅度。由于正弦量是周期變化的，所以規(guī)定其主值范圍是 。它反映了正弦量隨時間變化的進程。正弦交流電流的大小和方向都是隨時間按正弦規(guī)律而變化的。本書統(tǒng)一采用的是 sine函數(shù)表示正弦量。 在電路中，如果電壓或電流隨時間按正弦規(guī)律變化，我們稱為正弦量。例如發(fā)電廠發(fā)出的交流電送入電力系統(tǒng)，再通過配電系統(tǒng)分到工廠、學校和千家萬戶。其主要的原因是：第一 ,利用電子設備可以很方便地將交流電整流成直流電。 ,求它的代數(shù)形式；已知復數(shù) B=8j6,求它的極坐標形式，并在復平面上畫出復數(shù) A、 B的和矢量。 , 復數(shù) A的實部 復數(shù) A的虛部 復數(shù) A的代數(shù)形式 已知復數(shù) B的代數(shù)形式 B=8j6 復數(shù) B的模 復數(shù) B的幅角 復數(shù) B極坐標形式 在復平面上分別畫出復數(shù) A和復數(shù) B，用作圖法畫出和矢量 A+B，如圖 4 4所示?？梢杂孟率奖硎? 湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 4 22A a b??由圖 4－ 1可知，復數(shù) A的模是 ab1ta n ???復數(shù) A與實軸的夾角，這里也稱為幅角 ?????????si nc o sAbAa依三角函數(shù)可以得到投影 a、 b和模的關(guān)系如下 c o s s i n ( c o s s i n )A A j A A j? ? ? ?? ? ? ?2）三角函數(shù)形式 復數(shù)三角函數(shù)形式為 3）指數(shù)形式 復數(shù)的指數(shù)形式為 jA A e ??湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 5 圖 42 復數(shù)加、減圖解法 AA ???4）極坐標形式 復數(shù)的極坐標形式為 2. 復數(shù)運算 設有兩個復數(shù) 1）加、減法運算 12 ajaA a ja a ae ??? ? ? ? ?12 bjbB b j b b be ??? ? ? ? ?1 1 2 21 1 2 2( ) ( )( ) ( )C A B a b j a bC A B a b j a b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 6 圖 43 旋轉(zhuǎn)因子 177。在數(shù)學中用字母 i表示虛數(shù)單位，但是在電路理論中為了避免和電流符號相混淆，而改用 j來表示。 ※ 諧振電路 。 ※ 正弦交流電路的計算 。 ※ 電阻 、 電感 、 電容元件的 VCR相量形式 。1 4 正弦交流電路 周冬婉 湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 2 本章知識要點： ※ 相關(guān)數(shù)學知識 。 ※ 相量分析法 。 ※ 復阻抗和復導納 。 ※ 正弦交流電路的功率 。 湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 3 復數(shù)及復數(shù)運算 相關(guān)數(shù)學知識 圖 41 復平面上的復數(shù)表示 1. 復數(shù)及其表達形式 1）代數(shù)形式 一個復數(shù) A是由實部和虛部組成 jbaA ??,]Re[ aA ? bA ?]Im[1??j 式中 稱為虛數(shù)單位。 一個復數(shù) A在復平面上的表示如圖 4－1所示，復平面以作為實軸單位，以作為虛軸單位。 j 2）乘、除法運算 ? ?abjabC A B a b a b e ???? ?? ? ? ? ? ?abjjA aeCB be??? ??3）旋轉(zhuǎn)因子 根據(jù)歐拉公式有 2 c o s s in22je j j? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 7 解：已知復數(shù)的極坐標形式 A=10∠45 176。 2545c o s10 ??? ?a2545s in10 ??? ?b2525 jA ??1068 22 ???B?)86(t an 1 ???? ??? ???B3. 例題 例 如圖 44所示電路中，已知復數(shù) A=10∠45 176。 圖 44 例 湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 8 正弦交流電 正弦信號在日常生活和生產(chǎn)實際中得到非常廣泛的應用。第二 ,正弦交流電便于產(chǎn)生、轉(zhuǎn)換和遠距離安全傳輸。第三 ,從信號分析和計算角度看，正弦周期函數(shù)是最簡單的周期函數(shù)，其它非正弦周期函數(shù)均可用傅里葉級數(shù)將其分解成直流分量及一系列不同頻率的正弦分量的疊加。規(guī)定用小寫字母分別表示正弦電流、正弦電壓的瞬時值。 湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 9 圖 45 正弦量 1. 正弦量的三要素 有一段正弦電流電路，如圖 4－ 5（ a）所示，其上通過的交流電流如圖（ b）的波形圖。 與圖（ b）波形圖相對應的正弦電流的數(shù)學表達式為 mi( t) = I s in ( t + )i??湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 10 （ 3）初相位 正弦量在任一瞬時的電角度（ ωt+ φ i ）稱為相位角，簡稱為相位。 φ i 是正弦量在 t＝ 0時刻的相位角，稱為初相位，即 ，相位的單位是弧度（ rad）或度。 0)iitt? ? ????（???（ 1）幅值 用帶有下標 m的大寫字母，如 Im，來表示正弦電流瞬時值中所達到的最大值或幅值。 2 2 fT?????（ 2）角頻率 正弦量變化的快慢用角頻率 ω表示，它是正弦量在單位時間內(nèi)變化的角速度，即 湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 11 2. 同頻率正弦量的相位差 為了比較兩個同頻率正弦量隨時間變化過程的先后次序 ， 我 們 引 出 了 相 位 差 的 概 念 。 下面分別討論兩個同頻率正弦量 之間的幾種相位關(guān)系。 ( ) ( )u i u itt? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?圖 46 電壓與電流同相 湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 12 圖 47 電壓與電流反相 圖 48 電壓與電流正交 ⑵ φ = ? ?， u和 i反相 ， 如圖 4－７ 。 ， u和 i正交，（ u超前 i 90，或 i 滯后 u 90176。 湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 13 圖 49 交流電的有效值 3． 正弦量有效值 （ 1）定義 所謂有效值是指在同一個周期內(nèi)，當一個交流量的作功和一定數(shù)值的直流量作功相等時，與這個交流量有相同的熱效應的直流電的量值就是有效值。如圖 4－ 9。上式可以適用于任何交流電量的有效值計算。如圖 4－ 10所示。 ()2 ijtC I e ???? ijI Ie ??一一對應 數(shù)學記法 復數(shù) 相量 湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 18 圖 4－ 10中的第三步，由正弦量 → 相量，即分析如何用相量表示正弦量。 1 0 2 s in ( 3 0it ??? 。正弦量對應的相量是 10 2 si n( 30 10 30i t I?? ? ? ? ?。）相量 對應的正弦量是 U 60 60 60 2 si n( 60U u t?? ? ? ? ?。 ）湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 19 圖 411 相量圖舉例 2AI?其中 （相量）， jtBe?? （旋轉(zhuǎn)因子） 2. 相量圖及旋轉(zhuǎn)相量 因為相量是一種特殊的復數(shù)，相量和復數(shù)一樣，可在復平面上用矢量表示，這種相量在復平面上的幾何表示圖稱為相量圖。 進一步將復數(shù) 寫成 6 0 2 s in ( 4 5it ??? 。()2 ijtC I e ????22ij j t j tC I e e I e A B? ??? ? ? ? ? ?－。 － 進一步將復數(shù) 寫成 。湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 20 圖 412 正弦量與旋轉(zhuǎn)相量 如圖 4－ 12所示，這也表示了復指數(shù)函數(shù)的幾何意義。旋轉(zhuǎn)相量 C將最大值相量 以角速度 ω，在復平面上逆時針方向旋轉(zhuǎn)，這一旋轉(zhuǎn)相量在虛軸上的投影是一個正弦量，即 2I湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 21 3. 相量的運算 （ 1）加減法運算 例如，正弦電壓 求它們的和電壓 1 1 1 2 2 22 s i n ( ) 2 s i n ( )u U t u U t? ? ? ?? ? ? ?和，12u u u??將正弦電壓 u u2用對應的復數(shù)的虛部來表示，得 1 1 1 12 s i n ( ) 2 jtmu U t I U e ??? ??? ? ? ??2 2 2 22 s i n ( ) 2 jtmu U t I U e ??? ??? ? ? ??1 2 1 22 ( )m jtu u u I U U e ???? ? ? ???那么 2 jtmu I U e ???? ??令 湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 22 122 2 ( )j t j tmmI U e I U U e??? ? ? ???? ? ? ?12U U U??有 上式對任何時間都成立，則有 可對上式兩個電壓相量的加、減法運算推廣到多個電壓相量的加、減法運算 12 ...U U U? ? ?湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 23 2 s i n ( )uu U t????2 c o s ( ) 2 s i n ( )2uudu U t U tdt ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?() 22u ujj jU e U e e j U??? ?? ? ?? ??（ 2） 微分 、 積分運算 有一正弦電壓 ， 對 u求導后得 對應的相量為 dudtcc duicdt?cdu dt UcccI j c U??例如由電容元件的 VCR關(guān)系可知， 的相量是 uC的相量 乘以 jω。 例如由電容元件的積分關(guān)系， ，同樣可以得出 的相量是 ， 故有 Uc1ccu i d tC? ?ci dt?CIj?ccIUjC??電容元件時域和相量分析過程示意圖如下： 湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 25 一個正弦量對時間微分，用相量表示后，就變成了對應相量乘以 jω； 一個正弦量對時間積分，用相量表示后，就變成了對應相量除以 jω。 ⑵ 只限于正弦信號，其它非正弦信號可用傅里葉級數(shù)分解成多個正弦信號疊加，再分別對不同的頻率信號用相量法計算。 湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 27 圖 413 例 5. 例題 例 電路如圖所示， C=1/2F電容中通以正弦電流 i=2sin(t+30176。 由電容元件伏安關(guān)系的相量形式可知 CC IjICjU ??? 21 ????VjcU ??? 60223022 ???????4 si n( 60 )Cut??所以 故 sr ad /1?? FC21?21?C? ??? 21 jCj??? 302 ??CI解： 用相量運算形式 湖北工業(yè)大學 華中科技大學出版社 28 電阻、電感、電容元件的 VCR相量形式 圖 414 電阻的時域分析 2 s i n ( ) 2 s i n ( )iuu R i R I t U t? ? ? ?? ? ? ? ?上式中可得到電壓和電流的有效值關(guān)系 UU R I I R??或