【正文】 1 4 正弦交流電路 周冬婉 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 2 本章知識要點： ※ 相關(guān)數(shù)學(xué)知識 。 ※ 相量分析法 。 ※ 電阻 、 電感 、 電容元件的 VCR相量形式 。 ※ 復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納 。 ※ 正弦交流電路的計算 。 ※ 正弦交流電路的功率 。 ※ 諧振電路 。 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 3 復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)運算 相關(guān)數(shù)學(xué)知識 圖 41 復(fù)平面上的復(fù)數(shù)表示 1. 復(fù)數(shù)及其表達(dá)形式 1）代數(shù)形式 一個復(fù)數(shù) A是由實部和虛部組成 jbaA ??,]Re[ aA ? bA ?]Im[1??j 式中 稱為虛數(shù)單位。在數(shù)學(xué)中用字母 i表示虛數(shù)單位，但是在電路理論中為了避免和電流符號相混淆，而改用 j來表示。 一個復(fù)數(shù) A在復(fù)平面上的表示如圖 4－1所示，復(fù)平面以作為實軸單位，以作為虛軸單位。可以用下式表示 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 4 22A a b??由圖 4－ 1可知，復(fù)數(shù) A的模是 ab1ta n ???復(fù)數(shù) A與實軸的夾角，這里也稱為幅角 ?????????si nc o sAbAa依三角函數(shù)可以得到投影 a、 b和模的關(guān)系如下 c o s s i n ( c o s s i n )A A j A A j? ? ? ?? ? ? ?2）三角函數(shù)形式 復(fù)數(shù)三角函數(shù)形式為 3）指數(shù)形式 復(fù)數(shù)的指數(shù)形式為 jA A e ??湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 5 圖 42 復(fù)數(shù)加、減圖解法 AA ???4）極坐標(biāo)形式 復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式為 2. 復(fù)數(shù)運算 設(shè)有兩個復(fù)數(shù) 1）加、減法運算 12 ajaA a ja a ae ??? ? ? ? ?12 bjbB b j b b be ??? ? ? ? ?1 1 2 21 1 2 2( ) ( )( ) ( )C A B a b j a bC A B a b j a b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 6 圖 43 旋轉(zhuǎn)因子 177。 j 2）乘、除法運算 ? ?abjabC A B a b a b e ???? ?? ? ? ? ? ?abjjA aeCB be??? ??3）旋轉(zhuǎn)因子 根據(jù)歐拉公式有 2 c o s s in22je j j? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 7 解：已知復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式 A=10∠45 176。 , 復(fù)數(shù) A的實部 復(fù)數(shù) A的虛部 復(fù)數(shù) A的代數(shù)形式 已知復(fù)數(shù) B的代數(shù)形式 B=8j6 復(fù)數(shù) B的模 復(fù)數(shù) B的幅角 復(fù)數(shù) B極坐標(biāo)形式 在復(fù)平面上分別畫出復(fù)數(shù) A和復(fù)數(shù) B，用作圖法畫出和矢量 A+B，如圖 4 4所示。 2545c o s10 ??? ?a2545s in10 ??? ?b2525 jA ??1068 22 ???B?)86(t an 1 ???? ??? ???B3. 例題 例 如圖 44所示電路中，已知復(fù)數(shù) A=10∠45 176。 ,求它的代數(shù)形式；已知復(fù)數(shù) B=8j6,求它的極坐標(biāo)形式，并在復(fù)平面上畫出復(fù)數(shù) A、 B的和矢量。 圖 44 例 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 8 正弦交流電 正弦信號在日常生活和生產(chǎn)實際中得到非常廣泛的應(yīng)用。其主要的原因是：第一 ,利用電子設(shè)備可以很方便地將交流電整流成直流電。第二 ,正弦交流電便于產(chǎn)生、轉(zhuǎn)換和遠(yuǎn)距離安全傳輸。例如發(fā)電廠發(fā)出的交流電送入電力系統(tǒng)，再通過配電系統(tǒng)分到工廠、學(xué)校和千家萬戶。第三 ,從信號分析和計算角度看，正弦周期函數(shù)是最簡單的周期函數(shù)，其它非正弦周期函數(shù)均可用傅里葉級數(shù)將其分解成直流分量及一系列不同頻率的正弦分量的疊加。 在電路中，如果電壓或電流隨時間按正弦規(guī)律變化，我們稱為正弦量。規(guī)定用小寫字母分別表示正弦電流、正弦電壓的瞬時值。本書統(tǒng)一采用的是 sine函數(shù)表示正弦量。 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 9 圖 45 正弦量 1. 正弦量的三要素 有一段正弦電流電路，如圖 4－ 5（ a）所示，其上通過的交流電流如圖（ b）的波形圖。正弦交流電流的大小和方向都是隨時間按正弦規(guī)律而變化的。 與圖（ b）波形圖相對應(yīng)的正弦電流的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 mi( t) = I s in ( t + )i??湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 10 （ 3）初相位 正弦量在任一瞬時的電角度（ ωt+ φ i ）稱為相位角，簡稱為相位。它反映了正弦量隨時間變化的進(jìn)程。 φ i 是正弦量在 t＝ 0時刻的相位角，稱為初相位，即 ，相位的單位是弧度（ rad）或度。由于正弦量是周期變化的，所以規(guī)定其主值范圍是 。 0)iitt? ? ????（???（ 1）幅值 用帶有下標(biāo) m的大寫字母，如 Im，來表示正弦電流瞬時值中所達(dá)到的最大值或幅值。對于一個確定的正弦量來說，其最大值是一個常數(shù)，它表示了正弦量在振蕩過程中的最大幅度。 2 2 fT?????（ 2）角頻率 正弦量變化的快慢用角頻率 ω表示，它是正弦量在單位時間內(nèi)變化的角速度，即 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 11 2. 同頻率正弦量的相位差 為了比較兩個同頻率正弦量隨時間變化過程的先后次序 ， 我 們 引 出 了 相 位 差 的 概 念 。 例 如 正 弦 電 壓 u(t)=Umsin(ωt+φ u )和正弦電流 i(t)=Imsin(ωt+φ i )，則 u和 i的相位差 φ 0， u超前 (領(lǐng)先 )i， 或 i滯后 (落后 )u； φ 0， i超前 (領(lǐng)先 )u，或 u滯后 (落后 )i。 下面分別討論兩個同頻率正弦量 之間的幾種相位關(guān)系。 ⑴ φ ＝０， u和 i同相，如圖 4－６。 ( ) ( )u i u itt? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?圖 46 電壓與電流同相 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 12 圖 47 電壓與電流反相 圖 48 電壓與電流正交 ⑵ φ = ? ?， u和 i反相 ， 如圖 4－７ 。 ⑶ φ = 90176。 ， u和 i正交，（ u超前 i 90，或 i 滯后 u 90176。 ），如圖 4－８。 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 13 圖 49 交流電的有效值 3． 正弦量有效值 （ 1）定義 所謂有效值是指在同一個周期內(nèi)，當(dāng)一個交流量的作功和一定數(shù)值的直流量作功相等時，與這個交流量有相同的熱效應(yīng)的直流電的量值就是有效值。為此，下面在同一個電阻 R上分別流過直流電流 I和交流電流 i， “ 有效 ” 是指它們對電阻 R的作功上的等效。如圖 4－ 9。交流電流在一個周期 T內(nèi)消耗的電能為 動畫演示：有效值的表示 210TW i R d t? ?22W I R T? 直流電流 I在一個周期 T內(nèi)消耗的電能為 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 14 根據(jù)定義 ， 兩者在電阻 R上產(chǎn)生的作功相等 ， 即 220 dTI R T i R t? ?最后得到交流電流的有效值 201 ( ) dTI i t tT? ? 有效值也稱為方均根值。上式可以適用于任何交流電量的有效值計算。對于電壓有效值為 201 ( ) dTU u t tT? ?湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 15 （ 2）正弦電流、正弦電壓的有效值 將正弦電流 i(t)=Imsin(ωt+φi )代入上式中，其正弦電流的有效值為 22m022mmm01s in ( ) dII I[ 1 c o s ( 2 ) ] d 0 . 7 0 7 I 2 I2TiTmmiI I t tTt t TTT??????? ? ? ? ? ? ? ???m( ) s i n ( ) 2 s i n ( )iii t I t I t? ? ? ?? ? ? ?這樣正弦電流的瞬時表達(dá)式可以寫成 mmm 22U U 22mEEEU????同樣，可以計算出正弦電動勢和正弦電壓的有效值 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 16 正弦量的相量表示法 1. 分析示意圖 設(shè)有一正弦量 i=I msin(ωt+φi ) ，從該正弦量出發(fā)，最終推導(dǎo)出與它對應(yīng)的相量，中間要用到復(fù)數(shù)作為過渡的橋梁。如圖 4－ 10所示。 動畫演示：相量表示方法 相量分析法 圖 410 由正弦量推導(dǎo)相量 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 17 圖 4－ 10中的第一步，用復(fù)數(shù)表示相量的數(shù)學(xué)變換式 2 s i n ( )iIt??? ()2 ijtI e C??? ?一一對應(yīng) 數(shù)學(xué)變換 正弦量 復(fù)數(shù) 圖 4－ 10中的第二步， 由復(fù)數(shù) → 相量，即分析如何用相量表示復(fù)數(shù)。 ()2 ijtC I e ???? ijI Ie ??一一對應(yīng) 數(shù)學(xué)記法 復(fù)數(shù) 相量 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 18 圖 4－ 10中的第三步，由正弦量 → 相量，即分析如何用相量表示正弦量。 2 s i n ( )ii I t???? ijI Ie ??一一對應(yīng) 正弦量 相量 例如，寫出下列已知正弦量 所對應(yīng)的相量形式；寫出下列已知電壓相量 所相應(yīng)的正弦量。 1 0 2 s in ( 3 0it ??? 。 ）6 0 6 0U ?? 。正弦量對應(yīng)的相量是 10 2 si n( 30 10 30i t I?? ? ? ? ?。 。）相量 對應(yīng)的正弦量是 U 60 60 60 2 si n( 60U u t?? ? ? ? ?。 。 ）湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 19 圖 411 相量圖舉例 2AI?其中 （相量）， jtBe?? （旋轉(zhuǎn)因子） 2. 相量圖及旋轉(zhuǎn)相量 因為相量是一種特殊的復(fù)數(shù)，相量和復(fù)數(shù)一樣，可在復(fù)平面上用矢量表示，這種相量在復(fù)平面上的幾何表示圖稱為相量圖。如正弦電流 ，它對應(yīng)的電流相量是 ，其相量圖如圖 4－ 11所示。 進(jìn)一步將復(fù)數(shù) 寫成 6 0 2 s in ( 4 5it ??? 。 ） A6 0 4 5IA?? 。()2 ijtC I e ????22ij j t j tC I e e I e A B? ??? ? ? ? ? ?－。 ）。 － 進(jìn)一步將復(fù)數(shù) 寫成 。 ）。湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 20 圖 412 正弦量與旋轉(zhuǎn)相量 如圖 4－ 12所示，這也表示了復(fù)指數(shù)函數(shù)的幾何意義。 ? ? [ 2 ]jtmmi I C I I e ??? 因此也把復(fù)數(shù) C稱為旋轉(zhuǎn)相量。旋轉(zhuǎn)相量 C將最大值相量 以角速度 ω，在復(fù)平面上逆時針方向旋轉(zhuǎn)，這一旋轉(zhuǎn)相量在虛軸上的投影是一個正弦量，即 2I湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 21 3. 相量的運算 （ 1）加減法運算 例如，正弦電壓 求它們的和電壓 1 1 1 2 2 22 s i n ( ) 2 s i n ( )u U t u U t? ? ? ?? ? ? ?和，12u u u??將正弦電壓 u u2用對應(yīng)的復(fù)數(shù)的虛部來表示，得 1 1 1 12 s i n ( ) 2 jtmu U t I U e ??? ??? ? ? ??2 2 2 22 s i n ( ) 2 jtmu U t I U e ??? ?