【正文】 ? ????又湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 84 圖 458 例 例 電路如圖所示，已知 ， f＝ 200Hz， R1＝ 4Ω，C2＝ ， R2＝ 30k Ω ，求 與二者相位差角 。 abU????? 02U解：以作為參考相量，如圖 4－ 58（ c）。 ??? ?? UUUadca 21湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 85 ? an221 ?? ?cR?? 設(shè) 在相位上超前電壓 一個(gè) φ 角，采用阻抗三角形表示時(shí)，如圖 458（ b）所示，有 2?I ?U??????902c bac bdab90abab22????????????????????????）（則有：。，設(shè)底角是等腰，因而其長度等于斜邊的一半引向直角頂點(diǎn)的直線，由直角三角形斜邊中點(diǎn)學(xué)可知：為直角三角形，由幾何。相角為與，則兩點(diǎn)，設(shè)相量連接，并且滯后同相，同???????UUUUUUIUIU bdcbcbbd湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 86 5. 復(fù)功率的計(jì)算 圖 459 例 jUjUU 515,55 21 ?????? ???)(5050~ 11 VAjIUS s ???? ??sss UYUUUIS???????????? ??? 4222 )(~VAj )501 5 0( ???求得 ?9010)1(111 21 ??????? ?? UjUjj ）（???? ??????sUjUgUjjUj 1)11()1( 21?? ?UU1解： 用節(jié)點(diǎn)法求解 例 電路如圖所示，已知 Y1＝ 1S， Y2＝ j1S， Y3＝ j1S， Y4＝ j1S， g＝ 1S， 求獨(dú)立電流源和獨(dú)立電壓源發(fā)出的復(fù)功率。 ,9010,9010 VUAI SS ?? ????? ??湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 87 瞬時(shí)功率 在交流電路中，通過任一個(gè)無源一端口網(wǎng)絡(luò)的電流及兩端電壓都是隨時(shí)間交變的，如圖 4－ 60所示。 正弦交流電路的功率 圖 460 無源一端口網(wǎng)絡(luò)的瞬時(shí)功率 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 88 ? ?2 sin 2 sin( )c os c os( 2 )c os c os( 2 )p ui U t I tU I tU I U I t? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? 設(shè) ，在 u、 i取關(guān)聯(lián)參考方向下，由功率的定義可得該一端口網(wǎng)絡(luò)的瞬時(shí)功率為 2 s in , 2 s in ( )u U t i I t? ? ?? ? ?湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 89 有功功率 電路中更需要研究的是平均功率，平均功率即為有功功率。平均功率是瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，用 P表示。 ? ?001 c o s c o s ( 2 )TT UIP p d t t d tTT ? ? ?? ? ? ???c o sP U I ?? 上式說明正弦電流電路的有功功率不僅與電流、電壓的有效值有關(guān)，而且與它們二者之間的相位差角 φ的余弦有關(guān)，此 cosφ稱為電路的功率因數(shù)。 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 90 另外由前面討論過的阻抗三角形可知，如圖 4－ 61（ a）， cos RZ? ? U IZ ?2c o s RP U I U I I RZ?? ? ?則有 c os RUU? ?R RUP U I I UU?? 再由電壓三角形可知，如圖 4－ 61（ b）， 則有 圖 461 阻抗與電壓三角形 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 91 無功功率 由上面對(duì)有功功率的討論可知，當(dāng)電路用復(fù)阻抗 Z表示時(shí)，電壓分量 UX對(duì)有功功率無貢獻(xiàn)，而電壓分量 UR沒有反映出電路儲(chǔ)能元件與電源之間的能量交換的情況。因此，這里用無功功率表示電路的儲(chǔ)能元件與電源之間所交換的那一部分能量，為此把電壓分量 UX稱為電壓的無功分量或無功電壓。 s in XU XUZ? ??同樣由電壓三角形和阻抗三角形可知， xQ IU? 2Q I X?則有 無功功率用 Q表示，其定義是， ?sinUIQ ?湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 92 si n 90 0L L LQ U I U I? ? ? 對(duì)于電感元件，其上電壓相量 超前電流相量 90176。 ，則， LUI 所以稱電感元件為無功功率的負(fù)載，它相當(dāng)于吸收無功功率。 對(duì)于電容元件，其上電壓相量 滯后電流相量 90176。 ，則， ICUsin( 90 ) 0C C CQ U I U I? ? ? ? ? 所以稱電容元件為無功功率的電源，它相當(dāng)于發(fā)出無功功率。 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 93 視在功率 圖 462 功率三角形 仿照直流電路中的功率等于電流和電壓相乘積的關(guān)系，將正弦交流電路中電流有效值與電壓有效值的相乘之積也看成功率，叫視在功率，也稱為表觀功率。以 S表示，單位為伏安（ VA）。 S UI?? ? ? ? ? ?2 2 22 2 222c o s s i nP Q U I U I U I SS P Q??? ? ? ? ??? 有功功率 P，無功功率 Q和視在功率 S有如下關(guān)系 ta n ta nQ QPP????或 P， Q， S三者之間滿足直角三角形的關(guān)系式，此三角形稱為電路的功率三角形。如圖 4－ 62所示。 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 94 S P jQ??c os sinS P jQ U I jU I U I? ? ?? ? ? ? ? ?u i u iU I U I U I? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? 復(fù)功率 1. 定義 以有功功率作實(shí)部，無功功率作虛部構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)，同樣具有功率的概念，稱為復(fù)功率。 若 以表示復(fù)功率，則有 SS U I??即 2. 其他表示形式 2S U I ZI I ZI??? ? ?? ? 2S U I U U Y Y U? ? ?? ? ?湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 95 3. 功率守恒 圖 463 功率守恒示例 圖 464 功率守恒 電路中復(fù)功率是守恒的，以圖 4－ 63所示電路為例分析如下。 ()R x R x R xS S U I U I U U I U I S? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?RxS S S?? RxP P P?? RxQ Q Q??即 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 96 將以上結(jié)果推廣到由 N個(gè)復(fù)阻抗串聯(lián)的電路，如圖 4－ 64，則有 12 NS S S S? ? ? ?12 NP P P P? ? ? 12 NQ Q Q Q? ? ?12 NR R R R? ? ? 12 NX X X X? ? ?? ?1 2 1 2 1 2N N NU U U U S U I U U U I S S S? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 NS S S S? ? ?即湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 97 功率及功率因數(shù)的提高 1. 提高功率因數(shù)的原因 在正弦交流電路中，負(fù)載消耗的有功功率 P=UIcosφ，有功功率與功率因數(shù) cosφ有關(guān)，而較低的功率因數(shù)將引起下面兩個(gè)方面的問題。 （ 1）電源設(shè)備的容量不能充分利用 （ 2）功率因數(shù)低，電力輸電線和電機(jī)繞組上的功率損耗大 鑒于以上兩個(gè)原因，故需提高功率因數(shù)。 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 98 2. 提高 cosφ的措施 圖 465 相量圖分析 工業(yè)上廣泛使用的是感性負(fù)載，前面分析知道電感元件是一個(gè)無功功率負(fù)載，由于該無功功率負(fù)載與電源之間存在無功功率的往返交換，使得功率因數(shù)低，所以要提高功率因數(shù)。采取的措施是在感性負(fù)載兩端并一無功功率電源，如并聯(lián)電容器，如圖 4－ 65所示。 如圖 4－ 65所示，感性負(fù)載的電流相量 滯后電壓相量 一個(gè) 角，由于并聯(lián)電容的電流相量 超前電壓相量 90度，因此并聯(lián)電容后線路上電流相量 滯后電壓相量 一個(gè)角， 。 1I U1? CII 2?21???UU湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 99 3. 決定補(bǔ)償電容 C的大小 例 電路如圖所示， 設(shè)感性負(fù)載為 Y＝ G－ jBL，已知負(fù)載平均功率為 P，工作電壓 U，電源角頻率 ω，功率因數(shù) cosφ1，要將功率因數(shù) pf值由 cosφ1提高到 cosφ2 ，試確定并聯(lián)電容 C值為多大？ 圖 466 例 圖 467 功率多邊形 解：以電壓作為參考相量 0UU?? 。 ，11 ,G L C G L CI I I I I I I I I? ? ? ? ? ? ?電流多邊形如圖 4－ 65。再分析各功率，如圖 4－ 67所示。 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 100 功率圖中，可得 ? ? 22 2 2 1 CS P Q P Q Q? ? ? ? ?1 1 21 1 2 1 2t , tt t ( t t )CQ P g Q P gQ Q Q P g P g P g g??? ? ? ???? ? ? ? ? ?22 12s in 9 0 ( t )C C CQ U I U I U C U C P tg g? ? ? ?? ? ? ? ? ?。122 ( t t )PC g gU ????? 由此推導(dǎo)出并聯(lián)補(bǔ)償電容 C值的計(jì)算公式為 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 101 例 已知 U＝ 380V， f＝ 50Hz， P＝ 20kW， cosφ1＝ ， cosφ2＝ ， 求 C的值？ 2111`22222 3 1 41 c o s 1 0 .3 6t 1 .3 3 3c o s 0 .61 c o s 1 0 .8 1t 0 .4 8 4 3c o s 0 .9fgg??????????? ?? ? ?? ?? ? ?312220 10( t t ) ( 3 43 )314 380 380PC g gU ????? ? ? ???? ?2 0 0 0 . 8 4 9 3 7 4 . 5453416 F????解： 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 102 圖 468 例 圖 469 圖 470 全補(bǔ)償 例 如圖 4－ 68所示電路，方框內(nèi)給出一組數(shù)據(jù)如下： 當(dāng)在負(fù)載端并聯(lián)一電容時(shí)，就下列情況確定電容 C值？ （ 1）電路 pf=1 （ 2） pf=（滯后）， （ 3） pf= (超前）。 3 0 0 4 0 0 , 1 0 0 , 1L r a dS j V A U V k s?? ? ? ?湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 103 解： 11 400t a n t a n 5 3 . 1 , c o s c o s 5 3 . 1 0 . 6300LLLLQ pfP????? ? ? ? ? ?。 （滯后） （ 2） pf＝ （滯后）， cosφ3＝ ， φ3＝ 如圖 471所示 3400t 0. 48300L C CLQ Q QgP???? ? ?? ?2 322564 0 0 0 . 4 8 3 0 0 2 5 6 , 2 5 . 61 0 1 0 0CQ C U C F??? ? ? ? ? ? ??2324004 0 0 , 4 0 ( )1 0 1 0 0CLQ Q C U C F??? ? ? ?? 如圖 470所示為電路的全補(bǔ)償。 22c o s 1 , 0???? 。U I? （ 1） pf＝ 1， 說明 與 同相，即電路呈陽性， S2＝ PL 湖北工業(yè)大學(xué) 華中科技大學(xué)出版社 104 圖 471 欠補(bǔ)償 圖 472 過補(bǔ)償 （ 3） pf＝ （超前）， cosφ4＝ ， φ4