【正文】 2ee121s t s tnss????? ? ?????? ??0t? () 21 ( 1 ) ns ? ? ?? ? ? ? 22 ( 1) ns ? ? ?? ? ? ?1?? 計算表明，當 時，在式（ ）的兩個衰減的指數(shù)項中， 的衰減比 的要快得多，因此，過渡過程的變化以 項其主要作用。 0 ( ) 1 c o s nx t t??? ( 0)t?112 t t21()()= 1 ( 1 t) e 2 tennnonnnsx t L Lss???????? ??????????? ????? 1 ( 1 ) e n tn t ?? ?? ? ?20 ( ) e n tnx t t ?? ??( 0)t?0 (0 ) 0 。二階系統(tǒng)的標準形式，相應的方塊圖如圖 38所示 S ( S + 2 ξ ω n )ω n2R ( s ) C ( s )圖 3 8 標 準 形 式 的 二 階 系 統(tǒng) 方 塊 圖_2222)()()(nnnSsRsCs?????????（ 318） n? －自然頻率（或無阻尼振蕩頻率） ? －阻尼比（相對阻尼系數(shù)） 二階系統(tǒng)的動態(tài)特性，可以用 ? 和 n? 加以描述 ,二階系統(tǒng)的特征方程： 02 22 ??? nn SS ??? （ 319） 122,1 ???? ???? nnS （ 320） 二階系統(tǒng)的單位階躍響應 UnitStep Response of SecondOrder Systems 阻尼比 ? 是實際阻尼系數(shù) F與臨界阻尼系數(shù) 的比值 Cm FFJKFFKJFKJKT ????? 121 2212121? CF－臨界阻尼系數(shù)， 1?? 時，阻尼系數(shù) 二． 二階系統(tǒng)的單位階躍響應 若系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍函數(shù)，即 則二階系統(tǒng)的階躍路應函數(shù)的 Laplace變換式為 ： 1( ) ( ) , [ ( ) ]ix t u t L u t s??22211( ) ( )2nonnX s G ss s s s?? ? ?? ? ? ???21( ) ( )nn d n dss s j s j??? ? ? ? ? ????? ? ? ?其響應函數(shù)討論如下： （ 1）當 ，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)時，由式（ ）有 或 式（ ）中的第二項是瞬態(tài)項，是減幅正弦振蕩函數(shù)，它的振幅隨時間 t的增加而減小。 1 1 12 2 2 221()( ) ( )1ndon d n dsx t L L Ls s s? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ???? ???? ? ? ???????? ? ? ??? ??? ??21 e c o s s i n1n tddtt?? ????? ????? ? ????( 0)t?20 211( ) 1 e s i n1n tdx t t a r c t g?? ????? ?? ???? ? ?? ??( 0)t?01???（ ） （ 2）當 ，系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)時，由式 ()可知 （ 3）當 ，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)時，由式（ ），有 其 響應的變化速度為 ： 由此式可知：當 t=0時， 時， 時， ，這說明過渡過程在開始時刻和最終時刻的變化速度為零，過渡過程是單調上升的。xt? ? ? 0 ( ) 0 。從 S平面看，愈靠近虛軸的根，衰減越慢，對過渡過程影響愈大，起主導作用。 過渡過程的持續(xù)時間： 無振蕩單調上升的曲線： ξ =1時的時間 t最短； 在欠阻尼系統(tǒng)中，當 ξ =，時間比 ξ =1時的更短，而且振蕩不太嚴重。保證振蕩適度、持續(xù)時間較短。 n?01??? 在根據(jù)給定的性能指標設計系統(tǒng)時，將一階系統(tǒng)與二階系統(tǒng)相比， 通常選擇二階系統(tǒng) ，這是因為二階系統(tǒng)容易得到 較短的過渡過程時間，并且也能同時滿足對振蕩性能的要求 。 因此 :性能指標以系統(tǒng)對單位階躍輸入的時域響應量值給出。 所以： 在設計二階系統(tǒng)時，常使系統(tǒng)在欠阻尼（通常取 ）狀態(tài)下工作。 欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階響應的過渡過程的特性，通常采用下列性能指標（見圖 ）描述 : （ 1）上升時間 （ 2）峰值時間 （ 3）最大超調量 （ 4）調整時間 （ 5）振蕩次數(shù) N rtptpMst 上升時間 響應曲線從原工作狀態(tài)出發(fā)，第一次達到輸出穩(wěn)態(tài)值所需的時間定義為上升時間（對于過阻尼系統(tǒng)，一般將響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的 10%上升到 90%所需的時間稱為上升時間）。 rto 2( t ) 1 e c o s s i n1n tddx t t?? ????? ????? ? ????21 1 e ( c o s s i n ) ,1nrt d r d rtt?? ?????? ? ??d 2c o s s i n 0 。 pt() 0pttdx tdt??? s in 0dpt? ? 0 , , 2 ,dpt? ? ??dpt???pdt ???2/d??21dn? ? ???n? pt n? ptrt() 最大超調量 最大超調量定義，即 因為最大超調量發(fā)生在峰值時間， 時，故將式（ ）與 代入式（ ），可求得： 超調量 只與阻尼比 ξ 有關，而與無阻尼固有頻率 無關。當系統(tǒng)阻尼比 ξ 確定后，即可求得與其相對的超調量 ；反之，如果給出了系統(tǒng)所要求的 ，也可由此確定相應的阻尼比。 PM( ) ( ) 1 0 0 % 3 . 4 . 1 6()ppx t xMx?? ?????2/2/1e c os s i n 10 0%1: e 10 0% 3 .4 .1 7ndppMM? ? ? ?? ? ????????????? ? ? ????? ? ?即/pdtt ????( ) 1x? ??pMn?pMpMpM25 % ~ 1. 5%pM ?調整時間 是指定微小量，一般取 所需的時間，定義為調整時間 。 此時不僅 小，而且起調量 也不大，取 的另一理由將在 167。 21411 ,snnt ??????21311 .snnt ??????4 。 由此可見，二階系統(tǒng)的特征參數(shù) 決定系統(tǒng)的調整時間 和最大超調量 ；反過來，根據(jù)對 的要求，也能確定二階系統(tǒng)的特征參數(shù) 。 2/sdtN???21 .5 1N ??? ??0 stt?? ()xt? ()x? ?2 / ,d??0 0 .7 , 0 .0 5?? ? ? ? 4/snt ???（ ） （ ） 由以上討論，可得如下結論： （ 1） 要使二階系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)性能指標，必須選擇合適的阻尼比 ξ 和無阻尼固有頻率 ， 提高 ，可以提高系統(tǒng)的響應速度，減少 增大 ξ ，可以減弱系統(tǒng)的振蕩性能，降低 ，減小 N，但增大 。 要兼顧系統(tǒng)的振蕩性能和響應速度 ，就要選取合適的 ξ 和 值。由圖 （ b）可知系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 ＝ ， ＝， ，此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)顯然為： 式中： 2 2() 11()()oiXsGsc s kX s m s c s k s mm? ? ??? ??8 .9()iNXss?()ixt ()ixt ()oxt()ox ? ( ) ( )o p ox t x??2pts?（ 1）求 k 由 Laplace變換的終值定理可知： 而 ＝ ，因此 k＝ 297N/m.。因為 即為靜變形， 即可視為靜載荷，從而有 即得 020( ) l i m ( ) l i m ( )1 8 . 9 8 . 9l i mo o otssx x t s X sNNm s c s k s k?? ??? ? ? ?? ? ???()ox ?()ox ?()ix