【正文】 ?(?) Bode Diagram ? (rad/sec) 實際幅頻特性 漸近線 20dB/dec 第四章 頻域分析法 ? 轉折頻率（ ? ＝ 1/T ) 低頻漸近線和高頻漸近線的相交處的頻率點? ＝ 1/T，稱為 轉折頻率（截止頻率） 。 45176。 對數(shù)相頻特性： ?(?) = arctgT? 對數(shù)幅頻特性： 221lo g20)( TL ?? ???第四章 頻域分析法 ? 高頻段 (? 1/T ) ?lg20lg20 ??? T即高頻段可近似為斜率為 20dB/dec 的直線，稱為 高頻漸近線 。 20lgK K 0 Re Im Nyquist Diagram 第四章 頻域分析法 ? 慣性環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)： 11)(?? TssG頻率特性： ???? j a r c t g TeTTjjG ????? 221111)(相頻特性： ?(?) = arctgT? 幅頻特性： 2211)(TA????實頻特性： 2211)(TP ?? ??虛頻特性： 221)( TTQ??????注意到： ? ? 222 21)(21)( ?????????????? ? ?? QP即慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖為圓心在 (1/2, 0)處 ，半徑為 1/2的一個圓 。 90176。 90176。 第四章 頻域分析法 ? 對數(shù)坐標的優(yōu)點 ? 通常用 L(?)簡記對數(shù)幅頻特性，也稱 L(?) 為增益；用 ?(?)簡記對數(shù)相頻特性。它們也 用作頻率變化的單位。 縱坐標：線性分度，頻率特性的相角 ?(?) 單位 — 度 (?) ? 在對數(shù)頻率特性圖中，由于橫坐標采用了 對數(shù)分度，因此 ? =0不可能在橫坐標上表 示出來，橫坐標上表示的最低頻率由所感 興趣的頻率范圍確定；此外，橫坐標一般 只標注 ?的自然數(shù)值； 第四章 頻域分析法 ? 在對數(shù)頻率特性圖中，角頻率 ? 變化的倍 數(shù)往往比其變化的數(shù)值更有意義。 易知 ， 向量 G(j?) 的 長 度 等 于 A(?)（ |G(j?)|） ；由正實軸方向沿逆時針方向繞原點轉至向量 G(j?)方向的角度等于 ?(?) （ ?G(j?)）。顯然： 第四章 頻域分析法 在復平面上 ， 隨 ?（ 0 ~ ?） 的變化 ， 向量G(j?)端點的變化曲線 （ 軌跡 ） ， 稱為系統(tǒng)的 幅相頻率特性曲線 。 第四章 頻域分析法 ? 頻率特性的物理意義 ：頻率特性表征了系 統(tǒng)或元件對不同頻率正弦輸入的響應特性； ? ?(?)大于零時稱為 相角超前 ，小于零時稱 為 相角滯后 。 ? 盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應，但系統(tǒng)的 頻率特性與傳遞函數(shù)一樣包含了系統(tǒng)或元 部件的全部動態(tài)結構參數(shù)，因此，系統(tǒng)動 態(tài)過程的規(guī)律性也全寓于其中。 第四章 頻域分析法 ? 頻率特性與傳遞函數(shù)的關系 ?? jssGjG ?? )()(? 示例 正弦輸入 xi(t)=Xsin?t 作用下的頻率響應。 ? 幅頻特性 ：當 ?由 0到 ?變化時， |G(j?)|的變 化特性，記為 A(?)。 ? 頻率特性 ：系統(tǒng)在不同頻率的正弦信號輸入 時，其穩(wěn)態(tài)輸出隨頻率而變化 (? 由 0變到 ?)的特性。 jeejGXtx tjtjo 2)()()]([)]([ ?????????? ??因此： ? ?)()](si n [)](si n [)(????????jGXYtYtjGX?????顯然輸出信號的幅值和相角是頻率的函數(shù)，隨頻率而變化。對穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，這些項隨 t 趨于無窮大都趨近于零。 nnopsApsApsAjsAjsAsX??????????? ?2211)(??假設系統(tǒng)只具有不同的極點，則： AA,其中 為一對待定共軛復常數(shù) Ai(i = 1, 2, …, n)為待定常數(shù)。 ? 無需求解微分方程，圖解 (頻率特性圖 )法 間接揭示系統(tǒng)性能并指明改進性能的方向； ? 易于實驗分析； 優(yōu)點： ? 可推廣應用于某些非線性系統(tǒng)（如含有延 遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)）； ? 可方便設計出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)?？刂乒こ袒A 第四章 第四章 頻域分析法 二、典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖 三、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖 四、頻域穩(wěn)定性判據(jù) 五、閉環(huán)控制系統(tǒng)的頻率特性 六、頻域指標與時域性能指標間的關系 七、用開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)性能 八、頻域特性的計算機輔助分析 ○ 、概述 一 、頻率特性的基本概念 九、小結 第四章 頻域分析法 ○ 、概述 ? 時域分析的缺陷 ? 高階系統(tǒng)的分析難以進行 ； ? 難以研究系統(tǒng)參數(shù)和結構變化對系統(tǒng)性 能的影響； ? 當系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時， 整個系統(tǒng)的分析工作將無法進行。 第四章 頻域分析法 ? 頻域分析的目的 頻域分析 ：以輸入信號的頻率為變量，在頻率域，研究系統(tǒng)的結構參數(shù)與性能的關系。 第四章 頻域分析法 一 、頻率特性的基本概念 ? 頻率響應與頻率特性 ? 頻率響應與頻率特性的概念 22)()()()()()()()(?????? sXsNsMsXsNsMsXsGsXiio)())(()()()()(21 npspspssMsNsMsG????? ?考慮線性定常系統(tǒng)： 當正弦輸入 xi(t)=Xsin?t 時，相應的輸出為： 第四章 頻域分析法 對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，其特征根 pi具有負實部，此時其對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應不因初始條件而改變，因此，可認為系統(tǒng)處于零初始狀態(tài)。 第四章 頻域分析法 )0( )( 21 21??????? ????teAeAeAeAAetx tpntptptjtjo n???從而： )1,2,1,0( ??? jjtpk rket jj ?如果系統(tǒng)包含有 rj個重極點 pj，則 xo(t)將包含有類似： 的這樣一些項。 第四章 頻域分析法 因此，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為： tjtjo eAAetx ?? ?? ?)(jjXGjssXsGAjs 2)()()(22??????????)()( )()()( ???? ??? jj ejGejGjG ?? ????jjXGjssXsGAjs 2)()()(22??????????? ??其中： ???????? ????)](R e [)](I m [)()()()( )(??????? ??jGjGa r c t gjGejGjG j由于： 第四章 頻域分析法 上式表明， 穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)在正弦激勵下的穩(wěn)態(tài)輸出仍然為同頻率的正弦信號，且輸出與輸入的幅值比為 |G(j?)|， 相位差為 ?G(j?)。 第四章 頻域分析法 ? 頻率響應 ：系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應。 幅頻特性與相頻特性一起構成系統(tǒng)的頻率特性。 ? 相頻特性 ：當 ?由 0到 ?變化時， ?G(j?)的變 化特性稱為相頻特性，記為 ?(?)。 1)( ?? TsKsG求一階系統(tǒng) 的頻率特性及在 1)()( ??? ? ?? ? jTKsGjGjs解 ： 第四章 頻域分析法 221)()( ??? TKjGA???Ta r c t gjG ???? ???? )()()s i n (1)( 22 Ta r ct gtTXKtx o ??? ???對于正弦輸入 xi(t)=Xsin?t，根據(jù)頻率特性的定義： 由上式可見 ， 當 T?1時 ， A(?) ? K ?(?) ? 0? 當 T?1時 ， A(?) ? K/T? ?(?) ? 90? 第四章 頻域分析法 ? 幾點說明 ? 頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復 平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與 系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系 統(tǒng)的固有特性。 第四章 頻域分析法 ? 應用頻率特性分析系統(tǒng)性能的基本思路： 實際施加于控制系統(tǒng)的周期或非周期信號 都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉 級數(shù)或用傅立葉積分表示的連續(xù)頻譜函數(shù) ， 因此根據(jù)控制系統(tǒng)對于正弦諧波函數(shù)這類 典型信號的響應可以推算出它在任意周期 信號或非周期信號作用下的運動情況。 t x(t), y1(t), y2(t) x(t) y1(t) y2(t) 0 ?1(?) ?2(?) 第四章 頻域分析法 ? 頻率特性圖 ? 奈奎斯特 (Nyquist)圖（極坐標圖、幅相頻 率特性圖） )()( )()()()()](I m [)](R e [)(??? ???????jjGj eAejGjQPjGjjGjG???????? ? ? ? )( )()()()()( 22 ??????? PQa r c t gQPA ???其中， P(?)、 Q(?)分別稱為系統(tǒng)的 實頻特性 和 虛頻特性 。 得到的圖形稱為系 統(tǒng)的 奈奎斯特圖或極坐標圖 。 第四章 頻域分析法 ? 波德 (Bode)圖（對數(shù)頻率特性圖） ? 對數(shù)幅頻特性圖 橫坐標：以 10為底的對數(shù)分度表示的角頻率 單位 — rad/s或 Hz 縱坐標：線性分度，表示幅值 A(?)對數(shù)的 20 倍，即： L(?)=20logA(?) 單位 — 分貝（ dB） 第四章 頻域分析法 ? 對數(shù)相頻特性圖 ? 幾點說明 橫坐標：與對數(shù)幅頻特性圖相同。為此通 常采用頻率比的概念：頻率變化十倍的區(qū) 間稱為一個 十倍頻程 ，記為 decade或簡寫 為 dec；頻率變化兩倍的區(qū)間稱為一個 二 倍頻程 ，記為 octave或簡寫為 oct。 可以注意到，頻率變化 10倍，在對數(shù)坐標 上是等距的，等于一個單位。 ? 幅值相乘變?yōu)橄嗉?，簡化作圖； ? 對數(shù)坐標拓寬了圖形所能表示的頻率范 圍 ? 兩個系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)時， 其對數(shù)幅頻特性曲線關于零分貝線對稱， 相頻特性曲線關于零度線對稱 第四章 頻域分析法 ? 尼柯爾斯 (Nichols)圖（對數(shù)幅相特性圖） ? 可以利用漸近直線繪制近似的對數(shù)幅頻 特性曲線； ? 將實驗獲得的頻率特性數(shù)據(jù)繪制成對數(shù) 頻率特性曲線，可以方便地確定系統(tǒng)的 傳遞函數(shù)； L(?) — ?(?)圖 第四章 頻域分析法 ? 比例環(huán)節(jié) 二、典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖 傳遞函數(shù)： G(s) = K 頻率特性： G(j?) = K = Kej0 實頻特性： P(?) = K 虛頻特性： Q(?) = 0 對數(shù)幅頻特性： L(?) = 20lgK 對數(shù)相頻特性： ?(?) = 0 幅頻特性： A(?) = K 相頻特性： ?(?) = 0 第四章 頻域分析法 比例環(huán)節(jié)的頻率特性圖： Bode Diagram ? (rad/sec) ?(?) L(?)/ (dB) 20 0 20 40 60 10 1 10 0 10 1 10 2 180176。 0176。 180176。 0 Re Im 1/2 1 ? =0 ? =? 45? ? =1/T Nyquist Diagram G(j?) ? 慣性環(huán)節(jié)的 Nyquist圖 第四章 頻域分析法 第四章 頻域分析法 ? 慣性環(huán)節(jié)的 Bode圖 ? 低頻段 (? 1/T ) 01lg20)( 22 ???? ?? TL即低頻段可近似為 0dB的水平線，稱為 低頻漸近線 。 ??? TTL lg