【正文】 )()()()()()()(212121sDsKNsDsDsNsNKKsHsGKK??第四章 頻域分析法 )()()()()()(1)()( 211sKNsDsDsNKsHsGsGsKK ?????即閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式之和。 一般 G(s) 和 H(s) 的分母多項(xiàng)式的階次均大于其分子多項(xiàng)式的階次，故閉環(huán)特征方程的階次等于開(kāi)環(huán)特征方程的階次。 第四章 頻域分析法 令輔助函數(shù)： )()()()()()()(1)(sDsDsDsDsKNsHsGsFKBKKK ?????其中， DB(s)為閉環(huán)特征多項(xiàng)式。 )()()()(1)(?????jDjDjHjGjFKB????由 0變化到 ?時(shí)，矢量 F(j?)的相角變化量 ? ? ? ? ? ?)(a r g)(a r g)(a r g ??? jDjDjF KB ?????第四章 頻域分析法 ? 開(kāi)環(huán)穩(wěn)定時(shí) ? ? 2)(ar g ?? ??? njD K若閉環(huán)也穩(wěn)定，當(dāng) ?由 0變化到 ?時(shí)： ? ? 2)(ar g ?? ??? njD B從而： ? ? ? ? ? ? 0)(a r g)(a r g)(a r g ?????? ??? jDjDjF KB上式表明，若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，則當(dāng) ?由 0變化到 ?時(shí)， F(j?) 的相角變化量等于 0 時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)也穩(wěn)定。 第四章 頻域分析法 ? =0 ? =? Re Im 0 ? F(j?) ? =0 ? =? Re Im 0 ? F(j?) ? ? 0)(a r g ?? ?jF ? ? 0)(a r g ?? ?jFF(j?) 的相角變化量等于 0 時(shí)，意味著復(fù)平面內(nèi) F(j?) 的軌跡不包圍坐標(biāo)原點(diǎn)。 第四章 頻域分析法 注意到： )()(1)( ??? jHjGjF ??即： 1)()()( ?? ??? jFjHjG? =0 ? =? Re Im 0 F(j?) G(j?)H(j?) 1 1 上式表明，在復(fù)平面上將 F(j?)的軌跡向左移動(dòng)一個(gè)單位，便得到 G(j?)H(j?) 的軌跡。 第四章 頻域分析法 比較 F(j?)和 G(j?)H(j?) 在復(fù)平面上的軌跡可見(jiàn)， F(j?)的軌跡是否包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)?G(j?)H(j?) 的軌跡是否包圍 (1， j0)點(diǎn)的問(wèn)題。 因此， 若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，則當(dāng) ?由 0變化到 ?時(shí)， 開(kāi)環(huán) Nyquist曲線(xiàn) G(j?)H(j?)不包圍復(fù)平面上 ( 1， j0 ) 點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。否則，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。 第四章 頻域分析法 ? 開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定時(shí) ? ? 2)2()(ar g ?? ???? qnjD K設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)特征根有 q個(gè)位于右半 s平面。當(dāng)?由 0變化到 ?時(shí)： 從而： ? ? ? ? ? ??????2222)(a r g)(a r g)(a r g?????????qqjDjDjF KB? ? 2)(ar g ?? ??? njD B若閉環(huán)穩(wěn)定， 第四章 頻域分析法 即： 若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定 ， 且有 q個(gè)開(kāi)環(huán)特征根位于右半 s 平面 ， 則當(dāng) ?由 0變化到 ? 時(shí) ， 開(kāi)環(huán) Nyquist曲線(xiàn)逆時(shí)針包圍 (1， j0) 點(diǎn) q/2圈時(shí) ， 系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定 。 否則 ， 閉環(huán)不穩(wěn)定 。 綜上所述 ， 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為： 系統(tǒng)開(kāi)環(huán) Nyquist曲線(xiàn)逆時(shí)針包圍 (1， j0) 點(diǎn)圈數(shù) N 等于 q/2， 其中 q為位于右半 s 平面的開(kāi)環(huán)特征根個(gè)數(shù) 。 此即為 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 。 第四章 頻域分析法 ? 示例 ? 例 1：已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) )15)(12)(1(20)()(???? ssssHsG應(yīng)用 Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 ： )15)(12)(1(20)()(???? ????? jjjjHjG)251)(41)(1(20)(222 ???? ????A????? 52)( a r c t ga r c t ga r c t g ????第四章 頻域分析法 ??? 0)0(,20)0( ?A?????? 270)(,0)( ?A0)108()171( )108(20)( 222222???? ??? ??? ???Q由： 解得： 52?j?222222)108()171()171(20)(??????????P由： 解得 Nyquist曲線(xiàn)與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)為： )( ??jP ?第四章 頻域分析法 20 1 0 Re Im ? =0 ? =? ? 由圖可見(jiàn)，開(kāi)環(huán) Nyquist曲線(xiàn)順時(shí)針包圍 (1，j0)點(diǎn)一圈，即 N＝ 1： 而開(kāi)環(huán)特征根全部位于左半 s平面，即 q＝ 0，由 Nyquist判據(jù)知，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。 第四章 頻域分析法 ? 例 2：已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 1)()( ?? TsKsHsG應(yīng)用 Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 ： ??? jTKjHjG?? 1)()(221)( ?? TKA?? ??? a r c t g T??? 1 8 0)(???? 1 8 0)0(,5)0( ?A?????? 90)(,0)( ?A第四章 頻域分析法 Re Im 0 ? =0 ? =? 1 K ? 221)( ???TKTQ??221)( ?? TKP??? ? ? ? 222 )2/()(2/)( KQKP ??? ??當(dāng) K1時(shí)， N=1/2= q/2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 當(dāng) K1時(shí)， N=0 ? q/2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。 當(dāng) K=1時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 第四章 頻域分析法 ? 開(kāi)環(huán)含有積分環(huán)節(jié)時(shí) Nyquist判據(jù)的處理 開(kāi)環(huán)含有積分環(huán)節(jié)（原點(diǎn)處存在極點(diǎn)）或者在虛軸上存在極點(diǎn)時(shí)時(shí)，此時(shí)，不可直接應(yīng)用米哈伊洛夫穩(wěn)定定理獲得該極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量 j?+pi 在 ?由 0變化到 ?時(shí)的相角變化量。 pi Re Im 0 j?+pi pi Re Im 0 j?+pi 第四章 頻域分析法 ? 處理方法 ? 0– 0+ 0 Re Im 用半徑 ? ? 0的半圓在虛軸上極點(diǎn)的右側(cè)繞過(guò)這些極點(diǎn)，即將這些極點(diǎn)劃到左半 s平面。 ? ?– ?+ Re Im j? 第四章 頻域分析法 考慮極點(diǎn)在原點(diǎn)處的情形，此時(shí)新的虛軸由－ j? ~ j0– 和 j0+ ~ j? 的兩段直線(xiàn)和小半圓j0– ~ 0 ~ j0+組成。 小半圓的表達(dá)式為： 22l im 0???? ???????jes? = 90176。 對(duì)應(yīng) ? = j0– ； ? = 0176。 對(duì)應(yīng) ? = 0 ； ? = 90176。 對(duì)應(yīng) ? = j0+ ； 第四章 頻域分析法 ? 開(kāi)環(huán) Nyquist圖的處理 考慮含有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)： )()1()1()(11 mnsTssKsGvnjjvmii?? ?? ??????對(duì) G(j?)起始點(diǎn)， ? = 0， ? 位于無(wú)窮小的半圓上。 ?? ?? ??jvves eKsGjGj?? ??? 0lim)()(第四章 頻域分析法 當(dāng) ? = 0–時(shí)， ? = 90176。 ， 2)0( ???jvjvv eeKjG ??? ??當(dāng) ? = 0時(shí)， ? = 0176。 ， 0)0( eeKjG jvv ???? ??當(dāng) ? = j0+時(shí)， ? = 90176。 ， 2)0( ???jvjvv eeKjG ??? ???即當(dāng) ?由 0– ? 0 ? 0+ 變化時(shí)， ?G(j?)由v90176。 ? 0176。 ? － v90 176。 變化。 第四章 頻域分析法 或： ?arg[G(j?)] = － v180 176。 。 即當(dāng) ?由 0– ? 0 ? 0+ 變化時(shí)， G(j?)以幅值?順時(shí)針旋轉(zhuǎn) v180 176。 。 顯然，若僅考慮 ? 0的情形，即 ?由 0?0+ 變化時(shí)， G(j?)以幅值 ?順時(shí)針旋轉(zhuǎn) v90 176。 。 綜上所述，對(duì)于包含積分環(huán)節(jié)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，對(duì)虛軸作上述處理后，繪制 Nyquist圖時(shí)需考慮 ?由 0?0+ 變化時(shí)的軌跡。 第四章 頻域分析法 即按常規(guī)方法作出 ?由 0+? ?變化時(shí)的 Nyquist曲線(xiàn)后，從 G(j0)開(kāi)始，以 ?的半徑順時(shí)針補(bǔ)畫(huà)v90 176。 的圓弧 (輔助線(xiàn) )得到完整的 Nyquist曲線(xiàn)。 顯然，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，由于： 0)0( eeKjG jvv ???? ??其輔助線(xiàn)的起始點(diǎn)始終在無(wú)窮遠(yuǎn)的正實(shí)軸上。 第四章 頻域分析法 ? =0 ? =? 0 ? =0+ Re Im 0型系統(tǒng) ? =0 ? =? Re 0 ? =0+ Im I型系統(tǒng) ? =0 ? =? Re 0 ? =0+ Im II型系統(tǒng) 第四章 頻域分析法 對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，輔助線(xiàn)的起始點(diǎn)則由其含有的不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)決定。偶數(shù)個(gè)時(shí)，起于正實(shí)軸，奇數(shù)個(gè)時(shí)起于負(fù)實(shí)軸。 為作圖方便，通常按 ?由 0+? 0變化加輔助線(xiàn)，即從 G(j0+)開(kāi)始以 ?的半徑逆時(shí)針補(bǔ)畫(huà) v90176。 的圓弧。作出輔助線(xiàn)的 Nyquist曲線(xiàn)方向仍然是 0 ? 0+? +?。 作出輔助線(xiàn)后，即可應(yīng)用 Nyquist判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 第四章 頻域分析法 ? 例題 ? 例 1：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 )1()( ?? TssKsG應(yīng)用 Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 ： 開(kāi)環(huán) Nyquist曲線(xiàn)不包圍 (1, j0 )點(diǎn)，而 q=0，因此，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 ? =0 ? =? 0 ? =0+ Re Im 第四章 頻域分析法 ? 例 2：已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 )1)(1()()( 21 ??? sTsTsKsHsG應(yīng)用 Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 ： )1)(1()(222212 TTKA?????????????2121270)180(90)(a rc t g Ta rc t g Ta rc t g Ta rc t g T?????????????第四章 頻域分析法 ? ?＝ 0： A(0)＝ ? ?(0)＝－ 270176。 ? ?＝ ?： A(?)＝ 0 ?(?)＝－ 270176。 注意到： ????????????????212121 270270270)(TTTTa r ct g Ta r ct g T ????即 T1T2 時(shí)， Nyquist曲線(xiàn)位于第二象限。 T1T2 時(shí)， Nyquist曲線(xiàn)位于第一象限。 第四章 頻域分析法 T1T2 T1T2 ? =0 ? =? 0 ? =0+ Re Im ? =0 ? =0+ 由圖可見(jiàn)， Nyquist曲線(xiàn)順時(shí)針包圍 (1, j0 )點(diǎn)半次，而 q＝ 1，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。 第四章 頻域分析法 ? Nyquist判據(jù)中“穿越”的概念 ? 穿越 ：指開(kāi)環(huán) Nyquist曲線(xiàn)穿過(guò) (1, j0 ) 點(diǎn)左 邊實(shí)軸時(shí)的情況。 ? 正穿越 ： ?增大時(shí)， Nyquist曲線(xiàn)由上而下穿 過(guò) 1 ~ ? 段實(shí)軸。 ? 負(fù)穿越 ： ?增大時(shí)， Nyquist曲線(xiàn)由下而上穿 過(guò) 1 ~ ? 段實(shí)軸。負(fù)穿越相當(dāng)于 Nyquist曲線(xiàn) 反向包圍 (1, j0 )點(diǎn)一圈。 正穿越時(shí)，相角增加，相當(dāng)于 Nyquist曲線(xiàn)正向包圍 (1, j0 )點(diǎn)一圈。 第四章 頻域分析法 1 + + – 0 Re Im ? =? ? =0 ? q=2 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng) ?由 0變化到 ?時(shí)， Nyquist曲線(xiàn)在 (1, j0 )點(diǎn)左邊實(shí)軸上的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于 q/2時(shí)（ q 為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù)），閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 易知，上圖所示系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 第四章 頻域分析法 ? 對(duì)數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù) ? Nyquist圖與 Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ?1 1 ?2 ?3 ?4 ?=? ?