【正文】 )()()()()()()(212121sDsKNsDsDsNsNKKsHsGKK??第四章 頻域分析法 )()()()()()(1)()( 211sKNsDsDsNKsHsGsGsKK ?????即閉環(huán)系統的特征多項式為開環(huán)傳遞函數的分子多項式和分母多項式之和。 一般 G(s) 和 H(s) 的分母多項式的階次均大于其分子多項式的階次，故閉環(huán)特征方程的階次等于開環(huán)特征方程的階次。 第四章 頻域分析法 令輔助函數： )()()()()()()(1)(sDsDsDsDsKNsHsGsFKBKKK ?????其中， DB(s)為閉環(huán)特征多項式。 )()()()(1)(?????jDjDjHjGjFKB????由 0變化到 ?時，矢量 F(j?)的相角變化量 ? ? ? ? ? ?)(a r g)(a r g)(a r g ??? jDjDjF KB ?????第四章 頻域分析法 ? 開環(huán)穩(wěn)定時 ? ? 2)(ar g ?? ??? njD K若閉環(huán)也穩(wěn)定，當 ?由 0變化到 ?時： ? ? 2)(ar g ?? ??? njD B從而： ? ? ? ? ? ? 0)(a r g)(a r g)(a r g ?????? ??? jDjDjF KB上式表明，若系統開環(huán)穩(wěn)定，則當 ?由 0變化到 ?時， F(j?) 的相角變化量等于 0 時，系統閉環(huán)也穩(wěn)定。 第四章 頻域分析法 ? =0 ? =? Re Im 0 ? F(j?) ? =0 ? =? Re Im 0 ? F(j?) ? ? 0)(a r g ?? ?jF ? ? 0)(a r g ?? ?jFF(j?) 的相角變化量等于 0 時，意味著復平面內 F(j?) 的軌跡不包圍坐標原點。 第四章 頻域分析法 注意到： )()(1)( ??? jHjGjF ??即： 1)()()( ?? ??? jFjHjG? =0 ? =? Re Im 0 F(j?) G(j?)H(j?) 1 1 上式表明，在復平面上將 F(j?)的軌跡向左移動一個單位，便得到 G(j?)H(j?) 的軌跡。 第四章 頻域分析法 比較 F(j?)和 G(j?)H(j?) 在復平面上的軌跡可見， F(j?)的軌跡是否包圍坐標原點的問題轉變?yōu)?G(j?)H(j?) 的軌跡是否包圍 (1， j0)點的問題。 因此， 若系統開環(huán)穩(wěn)定，則當 ?由 0變化到 ?時， 開環(huán) Nyquist曲線 G(j?)H(j?)不包圍復平面上 ( 1， j0 ) 點時，系統閉環(huán)穩(wěn)定。否則，系統閉環(huán)不穩(wěn)定。 第四章 頻域分析法 ? 開環(huán)不穩(wěn)定時 ? ? 2)2()(ar g ?? ???? qnjD K設系統開環(huán)特征根有 q個位于右半 s平面。當?由 0變化到 ?時： 從而： ? ? ? ? ? ??????2222)(a r g)(a r g)(a r g?????????qqjDjDjF KB? ? 2)(ar g ?? ??? njD B若閉環(huán)穩(wěn)定， 第四章 頻域分析法 即： 若系統開環(huán)不穩(wěn)定 ， 且有 q個開環(huán)特征根位于右半 s 平面 ， 則當 ?由 0變化到 ? 時 ， 開環(huán) Nyquist曲線逆時針包圍 (1， j0) 點 q/2圈時 ， 系統閉環(huán)穩(wěn)定 。 否則 ， 閉環(huán)不穩(wěn)定 。 綜上所述 ， 閉環(huán)系統穩(wěn)定的充要條件為： 系統開環(huán) Nyquist曲線逆時針包圍 (1， j0) 點圈數 N 等于 q/2， 其中 q為位于右半 s 平面的開環(huán)特征根個數 。 此即為 Nyquist穩(wěn)定判據 。 第四章 頻域分析法 ? 示例 ? 例 1：已知系統開環(huán)傳遞函數 )15)(12)(1(20)()(???? ssssHsG應用 Nyquist判據判別閉環(huán)系統的穩(wěn)定性。 解 ： )15)(12)(1(20)()(???? ????? jjjjHjG)251)(41)(1(20)(222 ???? ????A????? 52)( a r c t ga r c t ga r c t g ????第四章 頻域分析法 ??? 0)0(,20)0( ?A?????? 270)(,0)( ?A0)108()171( )108(20)( 222222???? ??? ??? ???Q由： 解得： 52?j?222222)108()171()171(20)(??????????P由： 解得 Nyquist曲線與負實軸交點為： )( ??jP ?第四章 頻域分析法 20 1 0 Re Im ? =0 ? =? ? 由圖可見，開環(huán) Nyquist曲線順時針包圍 (1，j0)點一圈，即 N＝ 1： 而開環(huán)特征根全部位于左半 s平面，即 q＝ 0，由 Nyquist判據知，系統閉環(huán)不穩(wěn)定。 第四章 頻域分析法 ? 例 2：已知系統開環(huán)傳遞函數 1)()( ?? TsKsHsG應用 Nyquist判據判別閉環(huán)系統的穩(wěn)定性。 解 ： ??? jTKjHjG?? 1)()(221)( ?? TKA?? ??? a r c t g T??? 1 8 0)(???? 1 8 0)0(,5)0( ?A?????? 90)(,0)( ?A第四章 頻域分析法 Re Im 0 ? =0 ? =? 1 K ? 221)( ???TKTQ??221)( ?? TKP??? ? ? ? 222 )2/()(2/)( KQKP ??? ??當 K1時， N=1/2= q/2，系統閉環(huán)穩(wěn)定。 當 K1時， N=0 ? q/2，系統閉環(huán)不穩(wěn)定。 當 K=1時，系統臨界穩(wěn)定。 第四章 頻域分析法 ? 開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)時 Nyquist判據的處理 開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)（原點處存在極點）或者在虛軸上存在極點時時，此時，不可直接應用米哈伊洛夫穩(wěn)定定理獲得該極點對應的向量 j?+pi 在 ?由 0變化到 ?時的相角變化量。 pi Re Im 0 j?+pi pi Re Im 0 j?+pi 第四章 頻域分析法 ? 處理方法 ? 0– 0+ 0 Re Im 用半徑 ? ? 0的半圓在虛軸上極點的右側繞過這些極點，即將這些極點劃到左半 s平面。 ? ?– ?+ Re Im j? 第四章 頻域分析法 考慮極點在原點處的情形，此時新的虛軸由－ j? ~ j0– 和 j0+ ~ j? 的兩段直線和小半圓j0– ~ 0 ~ j0+組成。 小半圓的表達式為： 22l im 0???? ???????jes? = 90176。 對應 ? = j0– ； ? = 0176。 對應 ? = 0 ； ? = 90176。 對應 ? = j0+ ； 第四章 頻域分析法 ? 開環(huán) Nyquist圖的處理 考慮含有積分環(huán)節(jié)的系統： )()1()1()(11 mnsTssKsGvnjjvmii?? ?? ??????對 G(j?)起始點， ? = 0， ? 位于無窮小的半圓上。 ?? ?? ??jvves eKsGjGj?? ??? 0lim)()(第四章 頻域分析法 當 ? = 0–時， ? = 90176。 ， 2)0( ???jvjvv eeKjG ??? ??當 ? = 0時， ? = 0176。 ， 0)0( eeKjG jvv ???? ??當 ? = j0+時， ? = 90176。 ， 2)0( ???jvjvv eeKjG ??? ???即當 ?由 0– ? 0 ? 0+ 變化時， ?G(j?)由v90176。 ? 0176。 ? － v90 176。 變化。 第四章 頻域分析法 或： ?arg[G(j?)] = － v180 176。 。 即當 ?由 0– ? 0 ? 0+ 變化時， G(j?)以幅值?順時針旋轉 v180 176。 。 顯然，若僅考慮 ? 0的情形，即 ?由 0?0+ 變化時， G(j?)以幅值 ?順時針旋轉 v90 176。 。 綜上所述，對于包含積分環(huán)節(jié)的開環(huán)系統，對虛軸作上述處理后，繪制 Nyquist圖時需考慮 ?由 0?0+ 變化時的軌跡。 第四章 頻域分析法 即按常規(guī)方法作出 ?由 0+? ?變化時的 Nyquist曲線后，從 G(j0)開始，以 ?的半徑順時針補畫v90 176。 的圓弧 (輔助線 )得到完整的 Nyquist曲線。 顯然，對于最小相位系統，由于： 0)0( eeKjG jvv ???? ??其輔助線的起始點始終在無窮遠的正實軸上。 第四章 頻域分析法 ? =0 ? =? 0 ? =0+ Re Im 0型系統 ? =0 ? =? Re 0 ? =0+ Im I型系統 ? =0 ? =? Re 0 ? =0+ Im II型系統 第四章 頻域分析法 對于非最小相位系統，輔助線的起始點則由其含有的不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的個數決定。偶數個時，起于正實軸，奇數個時起于負實軸。 為作圖方便，通常按 ?由 0+? 0變化加輔助線，即從 G(j0+)開始以 ?的半徑逆時針補畫 v90176。 的圓弧。作出輔助線的 Nyquist曲線方向仍然是 0 ? 0+? +?。 作出輔助線后，即可應用 Nyquist判據判別系統的穩(wěn)定性。 第四章 頻域分析法 ? 例題 ? 例 1：單位反饋系統的開環(huán)傳遞函數為 )1()( ?? TssKsG應用 Nyquist判據判別閉環(huán)系統的穩(wěn)定性。 解 ： 開環(huán) Nyquist曲線不包圍 (1, j0 )點，而 q=0，因此，系統閉環(huán)穩(wěn)定。 ? =0 ? =? 0 ? =0+ Re Im 第四章 頻域分析法 ? 例 2：已知系統的開環(huán)傳遞函數為 )1)(1()()( 21 ??? sTsTsKsHsG應用 Nyquist判據判別閉環(huán)系統的穩(wěn)定性。 解 ： )1)(1()(222212 TTKA?????????????2121270)180(90)(a rc t g Ta rc t g Ta rc t g Ta rc t g T?????????????第四章 頻域分析法 ? ?＝ 0： A(0)＝ ? ?(0)＝－ 270176。 ? ?＝ ?： A(?)＝ 0 ?(?)＝－ 270176。 注意到： ????????????????212121 270270270)(TTTTa r ct g Ta r ct g T ????即 T1T2 時， Nyquist曲線位于第二象限。 T1T2 時， Nyquist曲線位于第一象限。 第四章 頻域分析法 T1T2 T1T2 ? =0 ? =? 0 ? =0+ Re Im ? =0 ? =0+ 由圖可見， Nyquist曲線順時針包圍 (1, j0 )點半次，而 q＝ 1，系統閉環(huán)不穩(wěn)定。 第四章 頻域分析法 ? Nyquist判據中“穿越”的概念 ? 穿越 ：指開環(huán) Nyquist曲線穿過 (1, j0 ) 點左 邊實軸時的情況。 ? 正穿越 ： ?增大時， Nyquist曲線由上而下穿 過 1 ~ ? 段實軸。 ? 負穿越 ： ?增大時， Nyquist曲線由下而上穿 過 1 ~ ? 段實軸。負穿越相當于 Nyquist曲線 反向包圍 (1, j0 )點一圈。 正穿越時，相角增加，相當于 Nyquist曲線正向包圍 (1, j0 )點一圈。 第四章 頻域分析法 1 + + – 0 Re Im ? =? ? =0 ? q=2 Nyquist穩(wěn)定判據：當 ?由 0變化到 ?時， Nyquist曲線在 (1, j0 )點左邊實軸上的正負穿越次數之差等于 q/2時（ q 為系統開環(huán)右極點數），閉環(huán)系統穩(wěn)定，否則，閉環(huán)系統不穩(wěn)定。 易知，上圖所示系統閉環(huán)穩(wěn)定。 第四章 頻域分析法 ? 對數頻率特性穩(wěn)定判據 ? Nyquist圖與 Bode圖的對應關系 ?1 1 ?2 ?3 ?4 ?=? ?