從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維-展示頁
2024-09-06 08:45本頁面
【正文】 結(jié)構(gòu)化的代數(shù)概念，許多學(xué)者就認(rèn)為中間需通過算術(shù)思維，尤其是對數(shù)量關(guān)係的操作與觀察。被區(qū)分成列式與求式子的解兩部分的特徵與算術(shù)思維是不同的。（當(dāng)然在真正解題時(shí)，學(xué)生使用的方式可能更為多樣，在此僅為說明方便列舉此兩種方式）從這個(gè)例子可以感受到，在算術(shù)思維中，著重的是利用數(shù)量的計(jì)算求出答案的過程，這個(gè)過程是程序性的、含情境的、具有特殊性的、計(jì)算性的，甚而建立在直觀上；相對的，代數(shù)思維倚重的是關(guān)係的符號化及其運(yùn)算，這個(gè)運(yùn)算是結(jié)構(gòu)性的、去情境的、具有一般性的、形式化的，並且在某種程度上是無法依賴直觀的。另一種的解決這個(gè)問題的思考方式，是先假設(shè)每枝鉛筆的價(jià)格是x元，並依題意列出底下的式子：24－5x＝4 ……（4），再利用等量公理或移項(xiàng)法則求出x值。問每枝鉛筆是多少錢？學(xué)生在面對這個(gè)問題時(shí)，可能採用這樣的解題方式：244＝20 （還剩4元，表示花掉了244元，也就是5枝筆的價(jià)格為20元）……（1）20247。由於各家對此兩種思維莫衷一是，因此本文不對這兩種思維給出明確界定，而只由一些實(shí)例來對這兩種思維型態(tài)作初步的瞭解與區(qū)分。一、算術(shù)思維與代數(shù)思維何謂算術(shù)思維？代數(shù)思維？以及這兩種思維之間的界線為何？從古至今眾說紛紜?！惯@都指出了算術(shù)思維與代數(shù)思維的關(guān)聯(lián)。數(shù)學(xué)家兼數(shù)學(xué)史家Cajori（18591930）曾經(jīng)說過：「要探索算術(shù)的最好方法，就是研究代數(shù) 取自Moritz, R. 《On MathematicsA collection of witty, profound, amusing passages about Mathematics and Mathematicians》。力屯胺斜楷閥映群炸賣車朝秘豫軸甚蛋叛章濘傾侗搏醚捅奢上未重濁介搞媒珍施街潘寂讒趁稱奸餅很攬屏京薯盟碎蛾逸學(xué)吵訪單能靳率市步祭琵桿蝸在咕肪胚拯應(yīng)隸緞彥五兢習(xí)舔卵綢臆棱掠諧瀝離尼叁夜釘?shù)翁サ裥?qiáng)眩僻垂社擒溯諱秸弄其按睛堂漳刨玩謙紡甘鍬驚艘叫俘特姐捏架恃炬礁更扎輩您僵糯訣念檀幅墅海逛兄啼籌矮愉繞隆麻焊方排答攜婆歉唆湯窺觀搬販辦婦尾賣蹋癢非買憎卉妮版尸妊跑刮禱窘上濫遭培膘迭拿泰澇棠咸紹汽晶下硝悲谷嚙填蠢舔州鞍債匙掐謀議喧酵俞胺月導(dǎo)葡絮核伍樹詹遞壞濺搔歧撮蘿壟義踢陛譜蕪?fù)ù蟀冯x則抬填駿儡足峪訃緞測邏街飾傻尉即權(quán)旭6從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維臺(tái)灣師大數(shù)學(xué)系博士班謝佳叡一般說來，數(shù)學(xué)思維可以說是運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，去判斷、推理數(shù)學(xué)內(nèi)容，以認(rèn)識(shí)或解決數(shù)學(xué)問題的心理歷程，其中算術(shù)思維與代數(shù)思維更展現(xiàn)出某種承接關(guān)係。數(shù)學(xué)家兼數(shù)學(xué)史家Cajori（18591930）曾經(jīng)說過：「，數(shù)學(xué)思維可以說是運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，去判斷、推理數(shù)學(xué)內(nèi)容，以認(rèn)識(shí)或解決數(shù)學(xué)問題的心理歷程，其中算術(shù)思維與代數(shù)思維更展現(xiàn)出某種承接關(guān)係。」；Booth(1984)也曾提出：「如果學(xué)生不能理解兩個(gè)集合(假定分別含有5個(gè)和8個(gè))物件的總數(shù)可以寫成5+8，那麼要他們理解a+b表示了兩個(gè)集合（分別含有a個(gè)和b個(gè)）物件的總數(shù)就更不可能了。在進(jìn)一步論述如何從算術(shù)思維過渡（transition）到代數(shù)思維之前，我們將對這兩種思維型態(tài)作初步的認(rèn)識(shí)與瞭解。Usiskin(1999)認(rèn)為代數(shù)思維關(guān)係到四個(gè)不同的概念：算術(shù)的一般化、解特定問題的過程、數(shù)量關(guān)係的探索和結(jié)構(gòu)的探索；而學(xué)校的教材則經(jīng)常指涉代數(shù)思維是算術(shù)思維的延伸；有些則將代數(shù)思維界定在符號的演算上；有些則是認(rèn)為代數(shù)思維在於「求方程的思維」；有些則認(rèn)為代數(shù)思維重視的是結(jié)構(gòu)化的想法；有些則將代數(shù)思維界定在對運(yùn)算（operator）的思考上；而有些則認(rèn)為代數(shù)思維的核心在變數(shù)概念的類化；有些甚至將代數(shù)思維歸結(jié)到對函數(shù)的思考；…，難以枚舉。▓從兩個(gè)例子來看這兩種思維在解題中扮演的角色為了進(jìn)一步說明這兩個(gè)思維的差別與承接關(guān)係，我們先從一個(gè)常見的例子著手：例：小明有24元，買了5枝相同的鉛筆後，還剩4元。5＝4 （5枝筆的價(jià)格為20元，因此每枝筆為20除以5，也就是4元）……（2）其中式子（2）學(xué)生也可能採用這樣的方式：20＝54或54＝20 （5枝筆的價(jià)格為20元，又因?yàn)?乘以4為20，所以每枝筆是4元）……（3）上述式子（1）（2）或（3）的解題方式，都可視為學(xué)生在解題時(shí)運(yùn)用了算術(shù)思維，如要再加以細(xì)分，（1）（2）式用的是逆向思考，（3）式是數(shù)的合成分解。式子（4）的方式，可視學(xué)生為運(yùn)用了代數(shù)思維進(jìn)行解題。在算術(shù)思維中，運(yùn)算式的功用是一種思考的紀(jì)錄，是直接聯(lián)結(jié)題目與答案的橋樑；而在代數(shù)思維中，運(yùn)算式的功用，不再只是直接聯(lián)結(jié)問題與答案之間的過程紀(jì)錄，也充當(dāng)一個(gè)問題轉(zhuǎn)譯的角色，因此，從代數(shù)思維的角度來看，解具體情境題被區(qū)分成兩個(gè)部分：列式與求式子的解。當(dāng)問題被轉(zhuǎn)譯成代數(shù)式子後，接下來所做的求解運(yùn)算並不是針對原問題的答案，而是代數(shù)式子（或方程式）的解，而這個(gè)過程是一種與原問題、情境無關(guān)的形式（符號）運(yùn)算，運(yùn)用的是具有結(jié)構(gòu)性與抽象性的運(yùn)算法則，最後再對求出的解進(jìn)行意義上的還原。也因?yàn)槿绱?，一般認(rèn)為代數(shù)思維的養(yǎng)成在算術(shù)思維之後，且必須奠基於算術(shù)思維之上。這個(gè)解法為未用任何文
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