【正文】 二維傅立葉變換特性 – 先對行做變換： 然后對列進(jìn)行變換 ： f(x,y) （ 0， 0） （ N1， M1） x y F(x,v) （ 0， 0） （ N1， M1） x v F(x,v) （ 0， 0） （ N1， M1） x v F(u,v) （ 0， 0） （ N1， M1） u v 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :二維傅立葉變換特性 ? 平移性定理 – 平移性的描述 函數(shù)自變量的位移的傅立葉變換產(chǎn)生一個(gè)復(fù)系數(shù) F{f(xa,yb)} = exp[j2?(au+bv)]F(u,v) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :二維傅立葉變換特性 ? 平移性成立的證明 用一維函數(shù)為例進(jìn)行證明： 設(shè)位移為 a,f(xa)的傅立葉變換為： ? F{f(xa)} = F(u) = ? f(xa)exp(j2?ux)dx ? 將積分乘以 1 = exp(j2?au) exp(j2?au) 且設(shè)： v = xa, dv = dx 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :二維傅立葉變換特性 ? 平移性成立的證明 F{f(xa)} = F(u) ? =? f(xa)exp(j2?ux)exp(j2?au)exp(j2?au)dx ? ? =exp(j2?au) ? f(xa)exp(j2?ux)exp(j2?ua)dx ? 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :二維傅立葉變換特性 ? = exp(j2?au) ? f(xa)exp[j2?u(xa)]dx ? ? = exp(j2?au) ? f(v)exp[j2?uv]dv ? = exp(j2?au)F(u) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :二維傅立葉變換特性 ? 周期與共軛對稱 – 周期性的描述： 離散傅立葉變換 DFT和它的逆變換是以 N為周期的 對于一維傅立葉變換有： F(u) = F(u + N) 對于二維傅立葉變換有： F(u,v) = F(u + M,v+N) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :二維傅立葉變換特性 ? 周期與共軛對稱 – 共軛對稱性的描述： 傅立葉變換結(jié)果是以原點(diǎn)為中心的共軛對稱函數(shù) 對于一維傅立葉變換有： F(u) = F*(u) 對于二維傅立葉變換有： F(u,v) = F*(u ,v) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :二維傅立葉變換特性 ? 共軛對稱性證明 以一維傅立葉變換為例證明 ： F(u) =∫ f(x)exp[j2?ux]dx =∫ f(x)exp[j2?(u)x]dx =∫ f(x)exp[j2?(u)x]*dx（ 取共軛復(fù)數(shù) ） = F*(u) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :二維傅立葉變換特性 ? 旋轉(zhuǎn)特性 – 旋轉(zhuǎn)特性描述：如果 f(x,y)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度 ? ，那么 f(x,y)旋轉(zhuǎn)后的圖象的傅立葉變換也旋轉(zhuǎn)了相同的角度 ? 。 k = max(log(1 + |F(u,v)|)) 值域 [0,k]的上限 （ 最大值 ） 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 離散傅立葉變換的顯示 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 離散傅立葉變換的顯示 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :二維傅立葉變換特性 二維傅立葉變換特性 ? 可分離性 ? 周期與共軛對稱 ? 平移性 ? 旋轉(zhuǎn)特性 ? 線性與相似性 ? 均值性 ? 拉普拉斯 ? 卷積與相關(guān) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :二維傅立葉變換特性 ? 可分離性 – 二維離散傅立葉變換 DFT可分離性的基本思想是： 二維 DFT可分離為兩次一維 DFT – 應(yīng)用： 二維快速傅立葉算法 FFT ，是通過計(jì)算兩次一維 FFT實(shí)現(xiàn)的 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :二維傅立葉變換特性 ? 可分離性的定義 M1 N1 F(u,v)=1/MN? [?f(x,y)e(j2?vy/N)] e(j2?ux/M) x=0 y=0 u = 0, 1, 2, … M1。 y = 0, 1, 2, ...N1 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ?離散傅立葉變換的計(jì)算與顯示 – 離散傅立葉變換的計(jì)算舉例 – 離散傅立葉變換的顯示 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 離散傅立葉變換的計(jì)算舉例 x f(x0)=f(x0+?x) 0 1 2 3 1 2 3 4 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 F(0) = 1/4Σ f(x)exp[0] = 1/4[f(0) + f1(1) + f(2) + f(3)] = 1/4(2 + 3 + 4 + 4) = F(1) = 1/4Σ f(x)exp[j2π x/4)] = 1/4(2e0 + 3e –j2π/4 + 4e –j2π2/4 + 4e –j2π3/4) = 1/4(2 + j) F(2) = 1/4(1 + j0) F(3) = 1/4(2 + j) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 離散傅立葉變換的計(jì)算舉例 – 因?yàn)?，函?shù) f(x,y)的傅立葉變換是 f(x,y)積分的函數(shù)，因此計(jì)算每一個(gè)傅立葉變換值，原函數(shù) f(x,y)的每一個(gè)點(diǎn)都需要參予 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 離散傅立葉變換的顯示 通過對 傅立葉變換模 ，來顯示傅立葉變換圖象。 {f(x0),f(x0+?x),f(x0+2?x), ... , f(x0+[N–1]?x)} 表示相對與連續(xù)函數(shù)的